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第39课时 角平分线

发布时间:2013-11-04 11:36:13  

驶向成功的 彼岸

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思考

角平分线的这条性 质是怎样得到的呢?

?角平分线的性质是什么



? 用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两 边叠合在一起,再把纸片展开,你看到 了什么?

? 角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等

开启智慧 ?定理 角平分线上的点到这个角的两边 ? 距离相等.
A

?如图,已知:OC是∠AOB的 平分线,P是OC上任意一点 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D,E. O ?求证:PD=PE(平分线上的 点到这个角的两角边距离 相等).

D
1 2 E B P C

? 证明: 因为PD⊥OA,PE⊥OB(已知),
? 所以 ∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义).
A
D 在△PDO和△PEO中,因为 ∠DOP=∠EOP(已知), ∠PDO=∠PEO(已证), PO=PO(公共边), ∴△PDO≌△PEO (A.A.S)



O

∴PD=PE 数学语言描述:

1 2 E

P

C

B ∵OC是∠AOB的角平分线 ,P是OC上一点

又∵ PD⊥OA于D , PE⊥OB于E
∴ PD=PE

四 问答 :1、如图,在Rt△ABC 中, BD是∠B 的平分线 , A DE⊥AB,垂足为E, E DE与DC 相等吗? 为什么? 答: DE=DC。 D

∵ BD是∠ABC的平分线 (D在∠ABC的平分线上)B
又∵ DE⊥BA,垂足为E, DC⊥BC,垂足为C, ∴ DE=DC。
思考

C

做完本题后,你对角平分线,又增加了什么认 识?

角平分线的性质, 为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径。

?

反过来,到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢?
已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB, 点D、E为垂足,PD=PE. 求证:点P在∠AOB的平分线上.
证明: PD⊥OA,PE⊥OB,点D、E 为垂足, ∴∠PDO= ∠PEO=Rt ∠ 在Rt △PDO 与Rt △PEO中 O A

D
1 2 E B P

C



PD=PE(已知) OP=OP(公共边)

∴Rt△PDO≌△PDO ∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上

于是就有定理: 到一个角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上 A
D
数学语言描述: ∵PD⊥OA于D,PE⊥OB于E O 1 2 E B P

C

又∵PD=PE
∴点P在∠AOB的平分线上 即:OP是∠AOB的平分线.

命题:三角形三个角的平分线相交于一点.

?基本想法是这样的:我们知道,两条直线 相交只有一个交点.要想证明三条直线相交 于一点,只要能证明两条直线的交点在第三 A 条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习 ND 的内容. P 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是 B E,F,D. E ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.

思 考 分 析

M F C



练习 ? 课时训练
A

1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
角平分线上

的点到角的两边的距离相等 (________________________________)
1 2 E D B

2、判断题( ∴ BD (

×)
C

∵ 如图,AD平分∠BAC(已知)

B

= DC



角的平分线上的点到角的 ) 两边的距离相等。

A C

D

练习 1. 如图,在直线l上找出一点P,使得点P到 ∠AOB的两边OA、OB的距离相等.

提示:作 ∠AOB的平分 线,交直线l于P 就是所求的点 (第 1 题)

如图,已知 BD=CD,BF⊥AC,CE⊥AB,求证: 点D在∠BAC的平分线上
证明: ∵BF⊥AC, CE⊥AB ∴∠BED=∠CFD=90 在△BED和△CFD中 ∠BED=∠CFD
∠BDE=∠CDF BD = CD

∴△BED≌△CFD (AAS)

∴ DE = DF
又∵DE⊥AB, DF⊥AC ∴点D在∠BAC的平分线上.

5.如图,E是∠AOB的平分线上一点, EC⊥OA,ED⊥OB,垂足为C.D 求证:(1)OC=OD (2)DF=CF

练习2.

如图,已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F,

求证:点F在∠DAE的平分线上.
证明:作FG⊥AE于G.FH⊥AD于H FP⊥CB于P,作射线OF ∵CF平分∠ECB ∴FG=FP(角平分线上的点到角 两边距离相等) 同理可证:FH=FP ∴FG=FH ∴点F在∠EOD的平分线上(到角两边距 离相等的点在这个角的平分线上)

G

P

H

小结: 1.角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 2、角平分线的判定定理 到角两边距离相等的点在这个角的角平分线 上 3、角平分线的性质定理为我们证明线段 相等提供新的方法

作业(共4+1个题)
1、下列结论,正确的有( )
①到角两边距离相等的点,在这个角的角平分线上②角的平分线与三角形平 分线都是射线③任何一个命题都有逆命题④假命题的逆命题一定是假命题 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、如图,直线a,b,c表示三条相互交叉的公路,现在要建一个中转站,要求它 到三条公路的距离要相等,则可供选择的地址有( ) A、1处 B、2处 C、3处 D、4处

3、如图:△ABC中,∠B, ∠C的平分线相交于O点,作MN||BC, EF||AB,GH||AC, BC=a , AC=b, AB=c, 则△GMO的周长+△ENO的周长 +△FHO的周长= a A
b c M B G O N F H C E

4、如图:∠B=∠C=90 ,M是BC的中点, DM平分∠ADC, 求证: AM平分∠DAB
D
C

A
1 2

M B B D

A

C

思维拓展: AD为△ABC的角平分线, 求证 : S AB AB DB (1) : △ABD ? , ? S△ACD AC AC CD
(2) : 设D为BC上一点, 连结AD, 若

S△ABD AB ? , 则AD为角平分线 S△ACD AC

(提示:过D作DE⊥AB于E, DF⊥AC于F, 过点A作AH⊥BC于H.)


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