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平行四边形的判定

发布时间:2013-11-04 12:34:04  

人教版数学教材八年级下

平行四边形的判定

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形


平行四边形 的性质:

平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等



平行四边形的邻角互补
对角线 平行四边形的对角线互

相平分

大家齐动手第十九章
A

四边形

D

B

C

如图,将两长两短的四根细木条用小钉绞合 在一起,做成一个四边形,使等长的木条成为 对边,转动这个四边形,使它形状改变,在图 形变化过程中,它一直是一个平行四边形吗?

行家伸伸手
凭直觉和测量都确实感受到它是平行四边形 我们如何用推理的方法加以证明呢?试一试吧!
已知:在四边形ABCD中, AB=CD , AD=BC
求证:四边形ABCD 是平行四边形

证 明 思 路

AB∥CD, AD ∥BC ∠1=∠2,∠3=∠4 ⊿ABC≌⊿CDA B

A 1 3 2

D

4
C

已知:在四边形ABCD中, AB=CD , AD=BC

求证:四边形ABCD 是平行四边形
证明: 如图所示,连接AC,
在 ABC与 CDA中: AB=CD(已知) AD=BC(已知) AC=AC(公共边)


1

4

3

2

ABC ≌

CDA(SSS)

百炼成金
由上面的证明你得到了什么结论?

B

结论:两组对边分别相等的四边形是平行 四边形

练一练
如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O, (1)若AD=8cm,AB=4cm,那么当BC=___cm, 8 4 CD=___cm时,四边形ABCD为平行四边形。

你也试一试
如图,将两根细木条AC、BD的中心 重叠,用小钉绞合在一起,用橡皮筋连接 木条的顶点,做成一个四边形ABCD,转 动两根木条,它一直是一个平行四边形吗? 你能证明吗?

对角线互相平分的 四边形是平行四边形

已知:在四边形ABCD中, AO=CO , BO=DO
求证:四边形ABCD 是平行四边形
证明: 如图所示,
在 AOD与 解题思路: COB中: A D 4

由此,你得出 什么结论?
3 B

1

四边形ABCD 是平行四边形 ∠AOD=∠COB (对顶角) BO=DO(已知)


AO=CO(已知)

O
2 C

AB∥CD, AD ∥BC
COB(SAS)
同理: ∠3=∠4

AOD ≌

对角线互相平分的 四边形是平行四边形

∴ ∠1=∠2

∠1=∠2,∠3=∠4

∴ AB∥CD, AD ∥BC

所以:四边形ABCD 是平行四边形

⊿AOD≌⊿COB;⊿AOB≌⊿COD

练一练
如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O, 若AC=10cm,BD=8cm,那么当AO= 5 cm, DO= 4 cm时,四边形ABCD为平行四边形。

大显身手
例1:已知:E、F是平行四边形ABCD对角线 AC上的两点,并且AE=CF. 求证:四边形BFDE是平行四边形
证明:连接BD,交AC于点O.

A
E O F

D

∵四边形ABCD是平行四边形

∴ AO=CO,BO=DO
∵AE=CF

B

C

∴AO-AE=CO-CF 即EO=FO 又∵ BO=DO ∴ 四边形BFDE是平行四边形

平行四边形的性质:

平行四边形的判定:

平行四边形的
两组对边分别平行

两组对边分别平行的
四边形是平

行四边形

平行四边形的

两条对角线互相平分的

对角线互相平分

四边形是平行四边形

练习:

AB 如图, ? DC ? EF , AD ? BC, DE ? CF ,图 中有 哪些互相平行的线段?
A
AB∥CD∥EF AD∥BC DE∥CF

D
E

B

C

F

自主探索
求证:两组对角分别相等的四边形是平 A 行四边形
证明: ∵ ∠A=∠C; ∠B=∠D 又∵ ∠A+∠C+∠B+∠D=3600 ∴ ∠A+ ∠B=1800;

D

B

C

∠A+ ∠D=1800;
∴AD ∥BC; AB ∥CD ∴四边形ABCCD是平行四边形 即:两组对角分别相等的四边形是平行四边形

请你谈一谈
本节课你有哪些收获?
平行四边形的判定方法: 1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。


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