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《多边形及其内角和》ppt课件

发布时间:2013-09-18 17:33:05  

人教版数学教材七年级下

7.3多边形及其内角和(2)

1、填空:如图,此多边形应记作 五 边形 ABCDE,AB 边的邻边是 AE 、 BC ,顶点E处的内角为 ∠AED ,过 2 条,它们 顶点A画出这个多边形的对角线,共有 把多边形分成 3 个三角形。 2、n边形有 n 个顶点, n 条边,有 n 个角, n 有 个不同顶点的外角. 5 条 3、四边形有 2 条对角线。五边形有 对角线。 4、四边形的一条对角线将它分成 2 个三角形. 5、从六边形的一个顶点出发可以画 3 条对角线,它 们将六边形分成 4 个三角形. E 6、正多边形的 边 相等, 角 相等. 7、多边形分为 凸多边形 和 凹多边形 两类. A

D

B

C

想一想
浙江金华兰溪诸葛八卦村
布局精巧玄妙,从高空俯视,全村呈八卦形,房屋、街巷 的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。

你能算出八卦图的内角和吗?

你能算它的内角和吗?

想一想

它们的内角和该怎么计算呢?
其他多边形的内角和呢?

你还记得三角形内角和是多少度?

(三角形内角和 180°)
你知道长方形和正方形的内角和是多少?

(都是360°)
其它四边形的内角和是多少?

四边形内角和 A B

D

C

那么如何求此五边形的内角和呢? 说说你的 探索思路?
3× 180°

=5400

探索过程一掠:
三角形 四边形 A D E B B CB C 2× 180° = 3600 C D 3× 180° =5400 五边形 A

A

1800

那么六边形、七边形的内角和呢?
六边形 七边形

4× 180° =7200

5× 180° =9000

边数

从一个顶点引出 对角线数

三角形个数

内角和

5 6 7
. . .

2 3 4
. . .

3 4 5
. . .

3×180°=540 ° 4×180°=720° 5×180°=900°
. . .

n

n-3

n-2

(n-2)×180°

综上所述,设多边形的边数为n,

则 n边形的内角和等于 (n一2)?180°

百家争鸣
B C
P

其他方法
如图1,在四边形内任取一点P, 连接PA、PB、PC、PD将四边 形变成有一个公共顶点的四个 三角形,四边形内角和等于 180°×4 - 360°= 360°

图 1
D

A A P D A P

图2

B
C B

如图2,在四边形的一边上任取一点P, 连接PB、PC,将四边形变成有一个公 共顶点的三个三角形,四边形内角和 等于180° ×3- 180° = 360°

其 他 方 案

图3
C D

如图3,在四边形外任取一点P,连接PA、 PB、PC、PD将四边形变成有一个公 共顶点的四个三角形,四边形内角和 等于180° ×3- 180° = 360°

照猫画虎
我们也可以利用以上不同的方法分 割多边形,得到n边形的内角和公式
An

A5

An
A4
A 1

A5
A4

p
A 1

A2

A 3

A2

p
An

A 3

An
A 1
A2

A5
A4
A 3
A 1

A5
A4

A2

A 3

p

最终结论
n边形内角和等于 (n-2)× 180°

抢 答
1、八边形的内角和等于多少度? 十边形呢?

(8-2) ×180°= 1080° (10-2) ×180°= 1440°
2、已知一个多边形每个内角都等108°

, 求这个多边形的边数?
解:设这个多边形的边数为 n,根据题意得:
(n-2) ×180=108n 解得:n=5 答:这个多边形是五边形。

Now I can ……
那么正五边形、正六边形、正八边形、 正n边形的每个内角分别是多少度呢?
……
正n边形
(5-2)×180°(6-2)×180° 5 6 (8-2)×180° 8 (n-2)×180° n

=108°

=120°

=135°

典型例题
例1、如果一个四边形的一组对角互补, 那么另一组对角有什么关系? C 解:如图四边形ABCD中, D

?A ? ?C ? 180
因为:

0

A
0 0

B

?A ? ?B ? ?C ? ?D ? (4 ? 2) ?180 ? 360

所以: ?B ? ?D ? 3600 ? (?A ? ?C) ? 1800

这就是说,如果四边形的一组对角互补, 那么另一组对角也互补。

清晨,小明沿一个 五边形广场周围的小路, 按逆时针方向跑步。

?(1)小明每从一条 街道转到下一条街 道时,身体转过的 角是 哪 个 角? ? (2)他每跑完一圈,身体转过的角 度之和是多少? ? (3)在上图中,你能求出?1+ ? 2+ ? 3+ ? 4+ ? 5=吗?你是怎样得到的?

1 B

A

5 E

2

C

3

4
D

E' A' θ

结论: ?1, ? 2, ? 3, ? 4, ? 5的和等于 360?

α B'

δ O β γ

D'

C'

多边形的外角和
如果广场的形状是六边形、八 边形,那么还有类似的结论吗? 多边形 内角的一边与另一边的反 向延长线所组成的角叫做这个多 边形的外角。 在每个顶点处取这个多边形的一 个外角,它们的和叫做这个多边 形的外角和。

多边形的外角和等于360?

An

A8

A1
A2 A3 A4

A7 A6

各抒己见
多边形 外角与内角有何关 系?还有其他方法可以推 导出多边形外角和?

A5 多边形的任何一个内角加上与它相邻的 内角都等于180°(平角),n个外角连同 它们的各自相邻的内角,共有n个180°, 总和为n× 180° ,再用它减去n个内角的 和,剩下的就是多边形的外角和了!

? 2?180 ? 360 多边形的外角和等于360?
0
0

n ?180 ? (n ? 2) ?180
0

0

例1. 已知一个多边形,它的内角和 等于外 角和的2倍,求这个多边形的边数。
解: 设多边形的边数为n ∵它的内角和等于 (n-2)?180°,

多边形外角和等于360o ,
∴ (n-2)?180°=2× 360o 。 解得: n=6

?这个多边形的边数为6。

例2. 一个多边形当边数增加1时,它的内角和增加
多少度? 外角和呢? 边数增加2或3呢? 解: 设多边形的边数为n, ∵它的内角和等于 (n-2)?180°,

当边数增加1时,内角和为(n+1-2)?180°, ? (n+1-2)?180°- (n-2)?180° =n?180°-180°-n?180°+360°

= 180°
?内角和增加180°

例3. 五边形中,前四个角的比是1:2:3:4,第五个角比 最小角多100 °,则这个五边形的内角分别为_____ ? 解;设五边形中前四个角的度数分别是x,2x,3x,4x, 则第五

个角度数是x+ 100 °. ? X+2x+3x+4x+x+ 100 °= (5-2)×180° ? 11X +100 °= 540° ? 11X = 440° ? X = 40° ? 则这个五边形的内角分别为40, 80°, 120°, 160°, 140°.

随堂练习
72° 1.正五边形 的每一个外角等于___.每一个内角等于 144° _____, 2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个 6 多边 形的边 数是_____

3.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个多 12 边形的边数是_____

今天的收获
1、 由n条不在同一直线上的线段首尾顺 次连结组成的平面图形称为n边形,又称为 多边形。 2、n边形从一个顶点所画对角线的条 数为:n-3 3、n边形的内角和等于:(n-2)×180° 4、利用类比归纳、转化的学习方法,可 以把多边形问题转化为三角形问题来解决; 5、方程的数学思想在几何中有重要的作用。

课后思考
1、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考 考他。将一个多边形截去一个角后(没有过 顶点)得到多边形的内角和将会( ) A、不变 B、增加 180°

C、减少 180° D、无法确定

1. 如果把多边形的边数增加1条,它的 内角和是2160°,那么这个多边形

的边数是 13



2. 一个多边形除了一个内角外,其余各角的
和为600°,那么除去的这个角的度数是120° , 这个多边形是 六 边形。

交一份满意的答卷!
1.已知四边形ABCD中,∠A与∠C互补.如果 ∠B=80°,则∠D的度数是 100° . 2.某四边形四个内角的度数之比为1:2:3:3,这 四个内角的度数分别是 40 °, 80 °, 120 °, 120 ° .

3.在四边形ABCD中,已知∠A=85 ° ∠C =115 ° ∠B比∠D大20°,则∠B的度数是 90° , ∠D的度数是 70 ° .

练一练: 已知在四边形ABCD中, ∠A= 90° ∠C= 90°,BE平分∠ABC,交CD于点E,DF 平分∠ADC,交AB于点F.求证:BE∥DF.
A

D E
F B C

4.若一个n边形的内角都相等,且内角的度数 与和它相邻的外角的度数比为3∶1,那么,这 个多边形的边数为________. 5.若一个十边形的每个外角都相等,则它的 每个外角的度数为________,每个内角的度数 为________.

6.若一个凸多边形的内角和等于它的外角和, 则它 的边数是_________. 7.如果一个多边形的每一个外角都相等,并 且它的内角和为2880°,那么它的内角为 _________.

练习
1、 若多边形的外角和与内角和之比为2∶9, 求这个多边形的边数及内角和。

2 、一个多边形中的各内角相等,且每个内角 与外角之差的绝对值为60°,求此多边形的边 数。 3、 已知多边形的一个内角的外角与其它 各内角的度数总和为600°,求边数.
4 、如果多边形的每个内角都比它相邻的 外角的4倍还多30°,求这个多边形的内 角和及对角线的总条数.

练习: 2. 已知一个多边形的每一个外角都 等于36?, 这个 多边形是 几边形?它的

每一个内角 是多少度? 3. 六角螺母的一个面是六边形的,这个六 边形的六个内角相等。求每一个内角的 度数。

计算
1. 已知一个多边形内角和是外 角和的2倍,求边数.

2. 已知多边形每个内角都等于 150°,求内角和.
3. 一个多边形除了一个内角为 130°外,其余各内角的和为 2030°,求多边形的边数. 4. 已知五边形五个内角的比为 1∶1.5∶2∶2.5∶3,求这个五边形 的五个外角.

8.已知多边形的内角和与某一个外角 的度数总和为1350°,求多边形的边 数.

学习了本节课你有 哪些 收获?

随堂练习
求下列图形中x的值:
1500

1400

2x 0

1200

x0
(1)
1200 80

x

0

x0
(2)
D

0

E
x

0

1500

750
(3)

x

0

600
1350

C

A (4)

B

AB∥CD

思考一:一个三角形中,它的内角最多可以有几个锐角? 为什么?

思考二:一个四边形中,它的内角最多可以有几个锐角? 为什么?
思考三:一个多边形中,它的内角最多可以有几个锐角? 为什么?

3

一个多边形中,它的外角最多可以有几个钝角?


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