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25.3_解直角三角形3-坡度

发布时间:2013-11-05 08:36:47  

华东师大版9初中数学九年级上册

——坡度、坡角

魏义华

1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. B

2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2+b2=c2(勾股定理); c

a


; (2)两锐角之间的关系: ∠ A+ ∠ B= 90o (3)边角之间的关系: a sinA= c b cosA= c
别忽略我哦!



b

a tanA= b

b cotA= a

水库大坝的横断面是梯形, 坝顶宽6m,坝高23m,斜坡 AB的 坡度i=1∶3,斜坡CD 的 坡度i=1∶2.5,
i ? 1: 3

B

6

C
i=1:2.5 23

则斜坡CD的 坡面角α , 坝底宽AD和斜坡AB 的长应设计为多少?

A

D

i= h : l

坡面

1、坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α 。

α

h

水平面

l

2、坡度(或坡比)
如图所示,坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)
h 的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i, 即 i=—— l 坡度通常写成1∶m的形式,如i=1∶6.

3、坡度与坡角的关系

i?

h l

? tan?

坡度等于坡角的正切值

30 1、斜坡的坡度是 1 : 3 ,则坡角α=______度。
1:1 2、斜坡的坡角是450 ,则坡比是 _______。

1: 3 3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。

h

α
L

例1.水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高 23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度 i=1∶2.5,求: (1)坝底AD与斜坡AB的长度。(精确到0.1m ) (2)斜坡CD的坡角α。(精确到 10 )
分析:(1)由坡度i会想到产 生铅垂高度,即分别过点B、 C作AD的垂线。 A
i ? 1: 3

B
E

6

C
i=1:2.5
α

23

F

D

(2)斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上 就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF。

i ? 1: 3

B E

6

C
i=1:2.5
α

23

解:(1)分别过点B、C作BE⊥AD,CF⊥AD, 垂足分别为点E、 F,由题意可知 BE=CF=23m 在Rt△ABE中 EF=BC=6m

A

F

D

在Rt△ABE中,由勾股定理可得
AB ? AE2 ? BE2 ? 692 ? 232 ? 72.7m

?i ?

BE AE

?

(2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1:2.5=0.4
1 3

由计算器可算得

? AE ? 3BE ? 3 ? 23 ? 69m

? ? 220
答:坝底宽AD为132.5米,斜坡AB 的长约为72.7米.斜坡CD的坡角α约 为22°。

在Rt△DCF中,同理可得

i?

CF FD

?

1 2.5

FD ? 2.5CF ? 2.5 ? 23 ? 57.5m
? AD ? AE ? EF ? FD

=69+6+57.5 =132.5m

一段路基的横断面是梯形,高为4米,上底 的宽是12米,路基的坡面与地面的倾角分别 是45°和30°,求路基下底的宽.(精确 到0.1米 2 ? 1.414 3 ? 1.732 )
D
4米 12米

C
30°

A

45° E F

B

解:作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为E、F.由题意可知 DE=CF=4(米), 12米 CD=EF=12(米). D C 在Rt△ADE中, 4米
?i ? DE 4 ? ? tan45? AE AE

4 ? AE ? ? 4(米 ) tan45?

A

45° E F

30°

B

在Rt△BCF中,同理可得
BF ? 4 ? 6.93(米 ) tan30?

因此AB=AE+EF+BF ≈4+12+6.93≈22.93(米). 答: 路基下底的宽约为22.93米.

一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米.台阶被 拆除后,换成供轮椅行走的斜坡.根据这个城市的 规定,轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过30°.从斜 坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少?(精 确到0.1米)
C

1.2 30°
A

1.2 B

为了增加抗洪能力,现将横断面如图所示的 大坝加高,加高部分的横断面为梯形DCGH, GH∥CD,点G、H分别在AD、BC的延长线上, 当新大坝坝顶宽为4.8米时,大坝加高了几米?
H D M 6米 N G C

A

E

F

B

思考:如图是某公路路基的设计简图,等腰梯形 ABCD表示它的横断面,原计划设计的坡角为 A=22°37′,坡长AD=6. 5米,现考虑到在短期内车流 量会增加,需增加路面宽度,故改变设计方案,将图中 1,2两部分分别补到3,4的位置,使横断面EFGH为等 腰梯形,重新设计后路基的坡角为32°,全部工程的 用土量不变,问:路面宽将增加多少? 5 12 (选用数据:sin22°37′≈ ,cos22°37′ ≈ , 13 13 5 D C G tan 22°37′ ≈ , H 12 3 4

5 tan 32° ≈ 8

) A 1 E

2
M N

F

B

收获经验
1、学以致用 我们学习数学的目的就是解决实 际生活中存在的数学问题,因此,在解题时首先要 读懂题意,把实际问题转化为数学问题。 对于生活中存在的解直角三角形的问题,关 键是找到与已知和未知相关联的直角三角形,无直 则构(作某边上的高是常用的辅助线)。

2、解直角三角形的问题往往与其他知识联系, 因此,我们要善于要把解直角三角形作为一种 工具,能在解决各种数学问题时合理运用。

1、课本P102,第 10.12.13题;


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