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2013年全国各地中考数学试卷分类汇编:点直线与圆的位置关系

发布时间:2013-11-05 10:39:50  

点直线与圆的位置关系

一.选择题

1.(2013白银,10,3分)如图,⊙O的圆心在定角∠α(0°<α<180°)的角平分线上运动,且⊙O与∠α的两边相切,图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r(r>0)变化的函数图象大致是( )

- 1 -

以O为圆心作⊙O交BC于点

M、N,⊙O与AB、AC相切,切点分别为D、E,则⊙O的半径和∠MND的度数分别为( )

3.(2013·泰安,13,3分)如图,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,点C是中点,则下列结论不成立的是( ) 的

- 2 -

A.OC∥AE B.EC=BC C.∠DAE=∠ABE D.AC⊥OE

考点:切线的性质;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.

专题:计算题.

分析:由C为弧EB的中点,利用垂径定理的逆定理得出OC垂直于BE,由AB为圆的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到AE垂直于BE,即可确定出OC与AE平行,选项A正确; 由C为弧BE中点,即弧BC=弧CE,利用等弧对等弦,得到BC=EC,选项B正确; 由AD为圆的切线,得到AD垂直于OA,进而确定出一对角互余,再由直角三角形ABE中两锐角互余,利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE,选项C正确;AC不一定垂直于OE,选项D错误.

解答:解:A.∵点C是的中点,∴OC⊥BE,

∵AB为圆O的直径,∴AE⊥BE,

∴OC∥AE,本选项正确;

B.∵

=,∴BC=CE,本选项正确;

C.∵AD为圆O的切线,∴AD⊥OA,

∴∠DAE+∠EAB=90°,

4.(2013·济宁,10,3分)如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB、AC于点E、D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为( )

- 3 -

A.4 B. C.6 D.

考点:切线的性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;圆周角定理. 专题:计算题.

分析:连接OD,由DF为圆的切线,利用切线的性质得到OD垂直于DF,根据三角形ABC为等边三角形,利用等边三角形的性质得到三条边相等,三内角相等,都为60°,由OD=OC,得到三角形OCD为等边三角形,进而得到OD平行与AB,由O为BC的中点,得到D为AC的中点,在直角三角形ADF中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长,进而求出AC的长,即为AB的长,由AB-AF求出FB的长,在直角三角形FBG中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长,再利用勾股定理即可求出FG的长. 解答:解:连接OD,

∵DF为圆O的切线,∴OD⊥DF,

∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°,

∵OD=OC,∴△OCD为等边三角形,∴OD∥AB,

又O为BC的中点,

∴D为AC的中点,即OD为△ABC的中位线,

∴OD∥AB,∴DF⊥AB,

在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,

∴AD=4,即AC=8,∴FB=AB-AF=8-2=6,

在Rt△BFG中,∠BFG=30°,

则根据勾股定理得:FG=3.故选B.

点评:此题考查了切线的性质,等边三角形的性质,含30°直角三角形的性质,勾股定理,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

5. (2013杭州3分)在一个圆中,给出下列命题,其中正确的是( )

A.若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径,则这两条直线不可能垂直

- 4 -

B.若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径,则这两条直线与圆一定有4个公共点

C.若两条弦所在直线不平行,则这两条弦可能在圆内有公共点

D.若两条弦平行,则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径

【答案】C.

【解析】解:A.圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时,两条直线可能垂直,故本选项错误;

B.当两圆经过两条直线的交点时,圆与两条直线有三个交点;

C.两条平行弦所在直线没有交点,故本选项正确;

D.两条平行弦之间的距离一定小于直径,但不一定小于半径,故本选项错误

【方法指导】本题考查了直线与圆的位置关系、命题与定理,解题的关键是熟悉直线与圆的位置关系.

6.(2013贵州省黔东南州,7,4分)Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为

点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于( )

- 5 -

8.(2013河南省,7,3分)如图,CD是?O的直径,弦AB?CD于点G,直线EF与?O相切与点D,则下列结论中不一定正确的是( )

(A)AG?BG (B)AB∥EF

(C)AD∥BC (D)?ABC??ADC

【解析】由垂径定理可知:(A)一定正确。由题可知:EF?CD,又因为AB?CD,所

AC,根据同弧以AB∥EF,即(B)一定正确。因为?ABC和?ADC所对的弧是劣弧?

所对的圆周角相等可知(D)一定正确。

【答案】C

9. (2013重庆市(A),8,4分)如图,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,PO=26cm,

PA=24cm,则⊙O周长为( )

A.18πcm B.16πcm C.20πcm D.24πcm

- 6 -

【答案】C.

【解析】根据切线的性质,连接OA,得∠OAP=90°,所以OA

=10cm,则⊙O的周长为20πcm.

【方法指导】本题考查切线的性质、勾股定理、圆的周长计算.由于圆的切线垂直于经过切

点的半径,所以经常用以提供直角三角形,从而引入勾股定理进行计算.在上面计算

时,要学会运用平方差公式简便计算,即

=10cm.

10.(2013重庆,8,4分)如图,AB是⊙O的切线,B为切点,AO与⊙O交于点C,若∠BAO=40°,则∠OCB的度数为( )

(第8题图) A

A.40° B.50° C.65° D.75°

【答案】C

【解析】∵AB是⊙O的切线,∴∠OBA=90°,∴∠O=90°-∠BAO=90°-40°=50°,又∵OB=OC,∴∠OCB=∠OCB=1(180°-50°)=65°,故选C. 2

【方法指导】本题考查了对切线的性质的掌握,考差了直角三角形两锐角互余和等腰三角形的性质.圆的切线垂直于过切点的半径,可以把直线和圆的位置关系问题转化为直角三角形的问题解决;根据同圆的半径相等,可以建立等腰三角形解答问题.

二.填空题

1.(2013湖北省咸宁市,1,3分)如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线PQ的最小值为 2 .

- 7 -

2.(2013黑龙江省哈尔滨市,17)如图,直线AB与⊙O相切于点A,AC、CD是⊙O的两条弦,且CD∥AB,若⊙O 的半径为

考点:垂径定理;勾股定理。切线的性质。

- 8 - 5,CD=4,则弦AC的长为 . 2

分析::本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造

出直角三角形是解答此题的关键。

解答:连接OA,作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2,由于CD∥AB得EOA三点共线,

连OC,在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE=

中由勾股定理得

AC=

3,从而AE=4,再直角三角形AEC2

3.(2013江苏苏州,16,3分)如图,AB切⊙O于点B,OA=2,∠OAB=30°,弦BC∥

?的弧长为.OA,劣弧BC(结果保留π)

【答案】?. 3

【解析】分析:如图,连接OB,OC,由AB为圆的切线,利用切线的性质得到△AOB为直角三角形,根据30°所对的直角边等于斜边的一半,由OA求出OB的长,且∠AOB为60°,再由BC与OA平行,利用两直线平行内错角相等得到∠OBC为60°,又OB=OC,得到△BOC为等边三角形,确定出∠BOC为60°,利用弧长公式即可求出劣弧BC的长. 解:如图,连接OB,OC.

∵AB为圆O的切线,∴∠ABO=90°.

- 9 -

在Rt△ABO中,OA=2,∠OAB=30°,∴OB=1,∠AOB=60°.

∵BC∥OA,∴∠OBC=∠AOB=60°.

又OB=OC,∴△BOC为等边三角形.

∴∠BOC=60°.

?的弧长为l=则劣弧BC

所以应填n?r60??11==?. 1801803?1或?. 33

【方法指导】此题考查了切线的性质,含30度直角三角形的性质,以及弧长公式,熟练掌握切线的性质是解本题的关键..

【易错警示】弄不清楚弧长公式,或求不出圆心角.

4.(2013湖南永州,13,3分)如图,已知△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,MN与⊙O相切,切点为A,若∠MAB=30°.则∠B= 度.

N

【答案】60°.

【解析】连接OA,则OA⊥MN,由于∠MAB=30°,所以∠OAB=90°-30°=60°,而OA=OB,所以∠B=∠OAB=60°.

【方法指导】有切线连半径,这是解决有关切线计算或证明的常用的辅助线。

三.解答题

1.(2013江西,22,9分)如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,半径为2的圆与y轴交于点A,点P(4,2)是⊙O外一点,连接AP,直线PB与⊙O相切于点B,交x轴于点C.

(1)证明PA是⊙O的切线;

(2)求点B的坐标;

(3)求直线AB的解析式.

- 10 -

【思路分析】(1) 点A在圆上,要证PA是圆的切线,只要证PA⊥OA(∠OAP=90°)即可,由A、P两点纵坐标相等可得AP∥x轴,所以有∠OAP+∠AOC=180°得∠OAP=90°;

(2) 要求点B的坐标,根据坐标的意义,就是要求出点B到x轴、y轴的距离,自然想到构造Rt△OBD,由PB又是⊙O的切线,得Rt△OAP≌△OBP,从而得△OPC为等腰三角形,在Rt△PCE中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出关于CE的方程可求出CE、OC的长,△OBC的三边的长知道了,就可求出高BD,再求OD即可求得点B的坐标;(3)已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式.

[解](1)证明:依题意可知,A(0,2)

∵A(0,2),P(4,2),

∴AP∥x轴,

∴∠OAP=90°,且点A在⊙O上,

∴PA是⊙O的切线;

(2)解法一:连接OP,OB,作PE⊥x轴于点E,BD⊥x轴于点D,

∵PB切⊙O于点B,

∴∠OBP=90°,即∠OBP=∠PEC

又∵OB=PE=2,∠OCB=∠PEC

∴△OBC≌△PEC

∴OC=PC

(或证Rt△OAP≌△OBP,再得到OC=PC也可)

设OC=PC=x,

则有OE=AP=4,CE=OE-OC=4-x,

在Rt△PCE中,∵PC2=CE2+PE2,

∴x2=(4-x)2+22,解得x=5

2,

∴BC=CE=4-52=3

2, ∵1

2OB·BC=113156

2OC·BD,即2×2×2=2×2×BD,∴BD=5

∴OD=OB2?BD2=4?36

25=8

5,

- 11 -

由点B在第四象限可知B(86,?); 55

解法二:连接OP,OB,作PE⊥x轴于点E,BD⊥y轴于点D,

∵PB切⊙O于点B,

∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC

又∵OB=PE=2,∠OCB=∠PEC

∴△OBC≌△PEC

∴OC=PC(或证Rt△OAP≌△OBP,再得到OC=PC也可)

设OC=PC=x,

则有OE=AP=4,CE=OE-OC=4-x,

在Rt△PCE中,∵PC2=CE2PE2,

∴x2=(4-x)2+22,解得x=

∴BC=CE=4-5, 253=, 22

∵BD∥x轴,

∴∠COB=∠OBD,

又∵∠OBC=∠BDO=90°,

∴△OBC∽△BDO, ∴OBCBOC==, BDODBO

35

2即==, BDBD2

86∴BD=,OD=, 55

由点B在第四象限可知B(86,?); 55

(3)设直线AB的解析式为y=kx+b,

?b?2,86?由A(0,2),B(,?),可得?86; 55k?b???5?5

?b?2,解得?∴直线AB的解析式为y=-2x+2. k??2,?

【方法指导】从整体把握图形,找全等、相似、等腰三角形;求线段的长要从局部入手,若是直角三角形则用勾股定理,若是相似则用比例式求,要掌握一些求线段长的常用思路和方法.

2.((2013白银,27,10分)如图,在⊙O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为点E.

(1)若OC=5,AB=8,求tan∠BAC;

(2)若∠DAC=∠BAC,且点D在⊙O的外部,判断直线AD与⊙O的位置关系,并加以证明.

- 12 -

3.(2013兰州,27,10分)已知,如图,直线MN交⊙O于A,B两点,AC是直径,AD平分∠CAM交⊙O于D,过D作DE⊥MN于E.

(1)求证:DE是⊙O的切线;

(2)若DE=6cm,AE=3cm,求⊙O的半径.

- 13 -

考点:切线的判定;平行线的判定与性质;圆周角定理;相似三角形的判定与性质. 专题:几何综合题.

分析:(1)连接OD,根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°,且D在⊙O上,故DE是⊙O的切线.

(2)由直角三角形的特殊性质,可得AD的长,又有△ACD∽△ADE.根据相似三角形的性质列出比例式,代入数据即可求得圆的半径.

解答:(1)证明:连接OD.

∵OA=OD,

∴∠OAD=∠ODA.(1分)

∵∠OAD=∠DAE,

∴∠ODA=∠DAE.(2分)

∴DO∥MN.(3分)

∵DE⊥MN,

∴∠ODE=∠DEM=90°.

即OD⊥DE.(4分)

∵D在⊙O上,

∴DE是⊙O的切线.(5分)

(2)解:∵∠AED=90°,DE=6,AE=3, ∴

连接CD.

∵AC是⊙O的直径,

∴∠ADC=∠AED=90°.(7分)

∵∠CAD=∠DAE,

∴△ACD∽△ADE.(8分)

- 14 - .(6分)

∴. .

则AC=15(cm).(9分)

∴⊙O的半径是7.5cm.(10分)

点评:本题考查常见的几何题型,包括切线的判定,线段等量关系的证明及线段长度的

求法,要求学生掌握常见的解题方法,并能结合图形选择简单的方法解题.

4.(2013广东珠海,17,7分)如图,⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,且与AB相切于点A

(1)求证:BC为⊙O的切线;

(2)求∠B的度数.

- 15 -

O为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD=.

(1)求⊙O的半径OD;

(2)求证:AE是⊙O的切线;

(3)求图中两部分阴影面积的和.

- 16 -

交⊙O于点T,过T作AD的垂线交AD的延长线于点C.

(1)求证:CT为⊙O的切线;

- 17 -

(2)若⊙O半径为2,CT=,求AD的长.

考点:切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理.

分析:(1)连接OT,根据角平分线的性质,以及直角三角形的两个锐角互余,证得CT⊥OT,CT为⊙O的切线;

(2)证明四边形OTCE为矩形,求得OE的长,在直角△OAE中,利用勾股定理即可求解. 解答:(1)证明:连接OT,

∵OA=OT,

∴∠OAT=∠OTA,

又∵AT平分∠BAD,

∴∠DAT=∠OAT,

∴∠DAT=∠OTA,

∴OT∥AC,(3分)

又∵CT⊥AC,

∴CT⊥OT,

∴CT为⊙O的切线;(5分)

(2)解:过O作OE⊥AD于E,则E为AD中点,

又∵CT⊥AC,

∴OE∥CT,

∴四边形OTCE为矩形,(7分)

∵CT=,

∴OE=,

又∵OA=2,

∴在Rt△OAE中,

∴AD=2AE=2.(10分)

点评:本题主要考查了切线的判定以及性质,证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题.

1.点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.

(1)求证:PA是⊙O的切线;

(2)若PD=,求⊙O的直径.

- 18 -

7.(2013湖北宜昌,21,10分)半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧,⊙O与l相切于点F,DC在l上.

(1)过点B作的一条切线BE,E为切点.

①填空:如图1,当点A在⊙O上时,∠EBA的度数是 30° ;

- 19 -

②如图2,当E,A,D三点在同一直线上时,求线段OA的长;

(2)以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置,向左移动正方形(图3),至边BC与OF重合时结束移动,M,N分别是边BC,AD与⊙O的公共点,求扇形MON的面积的范围.

- 20 -

- 21 -

8. (2013湖南长沙,22,8分)如图,⊿ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,∠DBC=∠BAC.

1)求证:BC是⊙O的切线;

(2)若⊙O的半径为2,∠BAC=30°,求图中阴影部分的面积.

BA(第22题)

9 . (2013江苏南京,25,8分) 如图,AD是圆O的切线,切点为A,AB是圆O 的弦。过点B作BC//AD,交圆O于点C,连接AC,过

点C作CD//AB,交AD于点D。连接AO并延长交BC

于点M,交过点

C的直线于点P,且?BCP=?ACD。

- 22 -

(1) 判断直线PC与圆O的位置关系,并说明理由:

(2) 若AB=9,BC=6,求PC的长。

解析: 解法一:(1) 直线PC与圆O相切。

如图?,连接CO并延长,交圆O于点N,连接BN。

∵AB//CD,∴?BAC=?ACD。

∵?BAC=?BNC,∴?BNC=?ACD。

∵?BCP=?ACD,∴?BNC=?BCP。

∵CN是圆O的直径,∴?CBN=90?。

∴?BNC??BCN=90?,∴?BCP??BCN=90?。

∴?PCO=90?,即PC?OC。

又点C在圆O上,∴直线PC与圆O相切。 (4分)

(2) ∵AD是圆O的切线,∴AD?OA,即?OAD=90?。

∵BC//AD,∴?OMC=180???OAD=90?,即OM?BC。

∴MC=MB。∴AB=AC。

在Rt△AMC中,?AMC=90?,AC=AB=9,MC= ?

1

2 =3,

由勾股定理,得AMAC?MC=9?3=62。

设圆O的半径为r。

在Rt△OMC中,?OMC=90?,OM=AM?AO?r,MC=3,OC=r, 由勾股定理,得OM 2?MC 2=OC 2,即(6?r)2?32=r2。解得r=

在△OMC和△OCP中,

∵?OMC=?OCP,?MOC=?COP, 27 8 2。

27 ? 8 OM CM 3 ∴△OMC~△OCP。∴=,即= OC PC 27 PC 。

8 2

∴PC= 27 。(8分) 7

解法二:(1) 直线PC与圆O相切。如图?,连接OC。 ∵AD是圆O的切线,∴AD?OA, 即?OAD=90?。 ∵BC//AD,∴?OMC=180???OAD=90?, 即OM?BC。

∴MC=MB。∴AB=AC。∴?MAB=?MAC。 ∴?BAC=2?MAC。又∵?MOC=2?MAC,∴?MOC=?BAC。 ? ∵AB//CD,∴?BAC=?ACD。∴?MOC=?ACD。又∵?BCP=?ACD, ∴?MOC=?BCP。∵?MOC??OCM=90?,∴?BCP??OCM=90?。

∴?PCO=90?,即PC?OC。又∵点C在圆O上,∴直线PC与圆O相切。

(2) 在Rt△AMC中,?AMC=90?,AC=AB=9,MC= 1

2 BC=3,

- 23 -

由勾股定理,得AMAC?MC=9?3=62。

设圆O的半径为r。

在Rt△OMC中,?OMC=90?,OM=AM?AO?r,MC=3,OC=r, 由勾股定理,得OM 2?MC 2=OC 2,即(6?r)2?32=r2。解得r=

在△OMC和△OCP中,∵?OMC=?OCP,?MOC=?COP, 27 8 。

27 ? 2 8 OM CM 3 ∴△OMC~△OCP,∴=,即= OC PC 27 PC 。

2 8

∴PC= 27

7 。(8分)

10.(2013·聊城,24,?分)如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA的平行线与AF相交于点F,CD=

(1)四边形FADC是菱形;

2)FC是⊙O的切线. ,BE=2.求证:

考点:切线的判定与性质;菱形的判定.

分析:(1)首先连接OC,由垂径定理,可求得CE的长,又由勾股定理,可求得半径OC的长,然后由勾股定理求得AD的长,即可得AD=CD,易证得四边形FADC是平行四边形,继而证得四边形FADC是菱形;

(2)首先连接OF,易证得△AFO≌△CFO,继而可证得FC是⊙O的切线.

解答:证明:(1)连接OC,

∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∴CE=DE=CD=×4

设OC=x,∵BE=2,∴OE=x-2,

在Rt△OCE中,OC=OE+CE,∴x=(x-2)+(2

∴OA=OC=4,OE=2,∴AE=6, 在Rt△AED中,AD==4,∴AD=CD,

- 24 - 22222=2, ),解得:x=4, 2

∵AF是⊙O切线,∴AF⊥AB,

∵CD⊥AB,∴AF∥CD,

∵CF∥AD,∴四边形FADC是平行四边形,∴?FADC是菱形;

(2)连接OF,

∵四边形FADC是菱形,∴FA=FC,

在△AFO和△CFO中,

∴△AFO≌△CFO(SSS),∴∠FCO=∠FAO=90°,即OC⊥FC,

∵点C在⊙O上,∴FC是⊙O的切线.

点评:此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.

11.(2013·鞍山,23,6分)如图,点A、B在⊙O上,直线AC是⊙O的切线,OC⊥OB,连接AB交OC于点D.

(1)AC与CD相等吗?问什么?

(2)若AC=2,AO=,求OD的长度.

考点:切线的性质;勾股定理.

专题:计算题.

分析:(1)AC=CD,理由为:由AC为圆的切线,利用切线的性质得到∠OAC为直角,再由OC与OB垂直,得到∠BOC为直角,由OA=OB,利用等边对等角得到一对角相等,再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等,利用等角对等边即可得证;

(2)由ODC=OD+DC,DC=AC,表示出OC,在直角三角形OAC中,利用勾股定理即可求出OD的长.

解答:解:(1)AC=CD,理由为:∵OA=OB,∴∠OAB=∠B,

- 25 -

∵直线AC为圆O的切线,∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°,

∵OB⊥OC,∴∠BOC=90°,∴∠ODB+∠B=90°,

∵∠ODB=∠CDA,∴∠CDA+∠B=90°,∴∠DAC=∠CDA,则AC=CD;

(2)在Rt△OAC中,AC=CD=2,AO=,OC=OD+DC=OD+2,

222222根据勾股定理得:OC=AC+AO,即(OD+2)=2+(),解得:OD=1.

点评:此题考查了切线的性质,勾股定理,等腰三角形的性质,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

12.(2013?东营,20,8分)如图,点C为⊙O上一点,若?BACAB为⊙O的直径, CAM,过点C作直线垂直于射线AM,垂足为点D.

A

(第20题图)

(1)试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;

(2)若直线与AB的延长线相交于点E,⊙O的半径为3,并且?CAB?30°. 求CE的长.

分析:(1)连接CO,根据?OCA??DAC,证明DC∥AD,再根据AD?l,得OC?CD从而证明CD是⊙O的切线.

(2)由题意得?COE?2?CAB?60?,则在Rt?

COE中,

CE?OC?tan60??3?

(1)解:直线CD与⊙O相切. ??????1分

A

(第20题答案图)

理由如下:连接OC.

∵OA=OC

- 26 - ,

∴∠BAC=∠OCA

∵∠BAC=∠CAM

∴∠OCA=∠CAM

∴OC∥AM??????????3分

∵CD⊥AM

∴OC⊥CD

∴直线CD与⊙O相切. ??????????5分

(2)解:

∵?CAB?30°

∴∠COE=2∠CAB=60?

∴在Rt△COE中,OC=3,CE=OC·tan60?

=??????????8分

点拨:要证明过圆上已知点的直线是圆的切线时,只需连结圆心和这点,再证过已知点的半径垂直于这条直线即可.

13. 2013?新疆12分)如图,已知⊙O的半径为4,CD是⊙O的直径,AC为⊙O的弦,B为CD延长线上的一点,∠ABC=30°,且AB=AC.

(1)求证:AB为⊙O的切线;

(2)求弦AC的长;

(3)求图中阴影部分的面积.

【思路分析】(1)如图,连接OA,欲证明AAB为⊙O的切线,只需证明AB⊥OA即可;

(2)如图,连接AD,构建直角△ADC,利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4,然后利用勾股定理来求弦AC的长度;

(3)根据图示知,图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积.

【解析】(1)证明:如图,连接OA.

∵AB=AC,∠ABC=30°,

∴∠ABC=∠ACB=30°.

∴∠AOB=2∠ACB=60°,

∴在△ABO中,∠AOB=180°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°,即AB⊥OA,

又∵OA是⊙O的半径,

∴AB为⊙O的切线;

- 27 -

(2)解:如图,连接AD.

∵CD是⊙O的直径,

∴∠DAC=90°.

∵由(1)知,∠ACB=30°,

∴AD=CD=4,

则根据勾股定理知AC=

(3)解:由(2)知,在△ADC中,∠DAC=90°,AD=4,AC=4

S△ABC=AD?AC=×4×4=8.

∵点O是△ADC斜边上的中点,

∴S△AOC=S△ABC=4.

+4=+4,即图中阴影部分的面积,则=4,即弦AC的长是4; 根据图示知,S阴影=S扇形ADO+S△AOC=是+4.

【方法指导】本题考查了切线的判定,圆周角定理以及扇形面积的计算.解答(3)时,求△AOC的面积的面积的技巧性在于利用了“等边同高”三角形的面积相等的性质

14. (2013浙江丽水8分)

如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点F。

(1)求证:BE=CE;

(2)求∠CBF的度数;

(3)若AB=6,求的长。

- 28 -

15. (2013?衢州8分)如图,已知AB是⊙O的直径,BC⊥AB,连结OC,弦AD∥OC,直线CD交BA的延长线于点E.

(1)求证:直线CD是⊙O的切线;

(2)若DE=2BC,求AD:OC的值.

【思路分析】(1)首选连接OD,易证得△COD≌△COB(SAS),然后由全等三角形的对应角相等,求得∠CDO=90°,即可证得直线CD是⊙O的切线;

(2)由△COD≌△COB.可得CD=CB,即可得DE=2CD,易证得△EDA∽△ECO,然后由相似三角形的对应边成比例,求得AD:OC的值.

【解析】1)证明:连结DO.

∵AD∥OC,

∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD.…(1分)

又∵OA=OD,

∴∠DAO=∠ADO,

∴∠COD=∠COB.…(2分)

在△COD和△COB中,

- 29 -

∴△COD≌△COB(SAS)…(3分)

∴∠CDO=∠CBO=90°.

又∵点D在⊙O上,

∴CD是⊙O的切线.…(4分)

(2)解:∵△COD≌△COB.

∴CD=CB.…(5分)

∵DE=2BC,

∴ED=2CD. …(6分)

∵AD∥OC,

∴△EDA∽△ECO.…(7分) ∴.…(8分)

【方法指导】此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.

16.(2013山西,23,9分)(本题9分)如图,AB为的直径,点C在⊙O上,点P是直径AB上的一点(不与A,B重合),过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。

(1)在线段PQ上取一点D,使DQ=DC,连接DC,试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由。

- 30 -

(2)若cosB=3,BP=6,AP=1,求QC的长。5 解析】解:(1)CD是⊙O的切线,

理由如下:连接OC,∵OC=OB,∴∠B=∠1.又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2

∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°∴∠B+∠Q=90°∴∠1+∠2=90°∴∠DCO=∠QCB-(∠1+∠2)=180°-90°,

∴OC⊥DC,∵OC是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线

(2)连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.

在Rt△ABC中,

321

BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6)×5=5.

- 31 -

6

BP在Rt△BPQ中BQ=cosB=5=10

2129

∴QC=BQ-BC=10=5=5

17.(2013四川乐山,22,10分)选做题:从甲、乙两题中选做一题,如果两题都做,只以甲题计分。

题甲:如图,AB是⊙O的直径,经过圆上点D的直线CD恰∠ADC=∠B。

(1)求证:直线CD是⊙O的的切线;

(2)过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E,且

,BD=2,求线段AE的长。

18.(2013四川遂宁,24,10分)如图,在⊙O中,直径AB⊥CD,垂足为E,点M在OC上,AM的延长线交⊙O于点G,交过C的直线于F,∠1=∠2,连结CB与DG交于点N.

- 32 -

(1)求证:CF是⊙O的切线;

(2)求证:△ACM∽△DCN;

(3)若点M是CO的中点,⊙O的半径为4,cos∠BOC=,求BN的长.

- 33 -

圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交与点D,E,且∠CBD=∠A.

(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论.

(2)若AD:AO=6:5,BC=3,求BD的长.

- 34 -

20.(2013贵州省黔东南州,22,12分)如图,在直角三角形ABC中,∠ABC=90°.

(1)先作∠ACB的平分线;设它交AB边于点O,再以点O为圆心,OB为半径作⊙O(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);

(2)证明:AC是所作⊙O的切线;

(3)若BC=,sinA=,求△AOC的面积.

- 35 -

如图16,△OAB中,OA = OB = 10,∠AOB = 80°,以点O为圆心, 6为半径的优弧⌒MN分别交OA,OB于点M,N.

(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.

求证:AP = BP′;

(2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求点T到OA的距离;

3

)设点Q在优弧⌒MN上,当△AOQ的面积最大时,直接写出∠BOQ的度数.

解析:

(1)证明:如图2,∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80o+∠BOP.

∠BOP’=∠POP’+∠BOP=80o+∠BOP

∴∠AOP=∠BOP’ ····················································· 2分

又∵OA=OB,OP=OP’

- 36 -

∴△AOP≌△BOP’ ···················································· 4分

∴AP=BP’··································································· 5分

(2)解:连接OT,过T作TH⊥OA于点H

∵AT与⌒MN相切,∴∠ATO=90o ····························································· 6分

∴AT?

··················································· 7分 1111?OA?TH=?AT?OT,即?10?TH=?8?6 2222

24∴TH=,即为所求的距离 ·································································· 9分 5∵

(3)10o,170o ······································································································· 11分

【注:当OQ⊥OA时,△AOQ的面积最大,且左右两半弧上各存在一点】

22.(2013黑龙江省哈尔滨市,25)

如图,在△ABC中,以BC为直径作半圆0,交AB于点D,交AC于点E.AD=AE

(1)求证:AB=AC;

(2)若BD=4,

BO=AD的长.

考点:(1)圆周角定理;全等三角形的性质;相似三角形的判定

分析:连接CD、BE,利用直径所对圆周角900、证明△ADC≌△AEB得AB=AC,(2)利用△OBD∽△ABC得BDBO得BC=4再求AB=10从而 AD=AB—BD=6此题利用相似?BCAB

三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识.此题综合性较强,难度适中,注意数形结合思想的应用.

解答:(1)证明:连接CD、BE ∵BC为半圆O的直径.

∴∠BDC=∠CEB=900

- 37 -

∴∠LADC=∠AEB=900 又∵AD=AE ∠A=∠A

∴△ADC≌△AEB ∴AB=AC

(2)解:连接0D ∵OD=OB.∴∠OBD=∠ODB

∵AB=AC ∴∠0BD=∠ACB ∴∠ODB=∠ACB

又∵∠OBD=∠ABC.∴△OBD∽△ABC ∴BDBO. ?BCAB

∵BO?BC=4.又∵BD=4

∴AB=10 ∴AD=AB—BD=6 ?

23.(2013湖北省咸宁市,1,8分)如图,△ABC内接于⊙O,OC和AB相交于点E,点D在OC的延长线上,且∠B=∠D=∠BAC=30°.

(1)试判断直线AD与⊙O的位置关系,并说明理由;

(2)AB=6,求⊙O的半径.

- 38 -

- 39 -

24.(2013湖北黄冈,20,7分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB.

(1)求证:DC为⊙O的切线.

(2)若⊙O的半径为3,AD=4,求AC的长.

【答案】(1)证明:连接OC.

∵OC=OA,

∴∠OAC=∠OCA.

又∠OAC=∠DAC,

∴∠DAC=∠OCA.

∴OC∥AD,

∴OC⊥CD,

即DC为⊙O的切线.

(2)解:连接BC.

由(1)知△ADC∽△ACB, ∴ADAC=,即AC2=AD·AB. ACAB

又⊙O的半径为3,

∴AB=6,AD=4,

∴AC

【解析】(1)证明DC为⊙O的切线,就是要连接OC,证明OC⊥DC.(2)连接BC,证明△ADC∽△ACB,利用相似三角形的对应边相等计算求解.

【方法指导】本题考查圆的直径所对的圆周角是直角、切线的证明及相似三角形的判定和性质.证明圆的切线有两种常用方法:1.当直线和圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,然后证明直线垂直于这条半径,简称“连半径,证垂直”.2.当直线和圆的公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直,证半径”.后面一种方法的应用在中考试卷中渐呈增多趋势,要引起注意.

25.(2013江苏苏州,27,8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长DE交BC的延长线于点F.

- 40 -

第27题图

(1)求证:BD=BF;

3,求⊙O的半径. 5

【思路分析】(1)连接OE,由AC为圆O的切线,利用切线的性质得到OE垂直于AC,再由BC垂直于AC,得到OE与BC平行,根据O为DB的中点,得到E为DF的中点,即OE为三角形DBF的中位线,利用中位线定理得到OE为BF的一半,再由OE为DB的一半,等量代换即可得证;

(2)在直角三角形ABC中,由cosB的值,设BC=3x,得到AB=5x,由BC+CF表示出BF,即为BD的长,再由OE为BF的一半,表示出OE,由AB﹣OB表示出AO,在直角三角形AOE中,利用两直线平行同位角相等得到∠AOE=∠B,得到cos∠AOE=cosB,根据cosB的值,利用锐角三角函数定义列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即可求出圆的半径长.

【解】(1)证明:连接OE,

∵AC与圆O相切,

∴OE⊥AC,

∵BC⊥AC,

∴OE∥BC,

又∵O为DB的中点,

∴E为DF的中点,即OE为△DBF的中位线,

∴OE=BF,

又∵OE=BD,

则BF=BD;

(2)解:设BC=3x,根据题意得:AB=5x,

又∵CF=1,

∴BF=3x+1,

由(1)得:BD=BF,

∴BD=3x+1, (2)若CF=1,cosB=

∴OE=OB=,AO=AB﹣OB=5x﹣=,

∵OE∥BF,

∴∠AOE=∠B,

- 41 -

∴cos∠AOE=cosB,即=,即=,

解得:x=,

则圆O的半径为=.

【方法指导】此题考查了切线的性质,锐角三角函数定义,以及圆周角定理,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

【易错警示】记不住圆的有关性质而出错.

26.(2013江苏扬州,25,10分)如图,△ABC内接于⊙O,弦AD⊥AB交BC于点E,过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F,且∠ABF=∠ABC.

(1)求证:AB=AC;

(2)若AD=4,cos∠ABF=4,求DE的长. 5

【思路分析】(1)如图,由BF是⊙O的切线,利用弦切角定理,可得∠3=∠C,又由∠ABF=∠ABC,可证得∠2=∠C,即可得AB=AC;

(2)如图,首先连接BD,作AG⊥BC于点G.∠D=∠2=∠3,

可得cosD=cos∠3=4,然后在Rt△ABD中,利用勾股定理即5

可求得BD的长,继而在Rt△ABG中求得BG的长,则可求得

答案.

【解】(1)证明:连接BD,由AD⊥AB得BD必过圆心O,

∵BF是⊙O的切线,∴BD⊥BF,∴∠ABF+∠ABD=90°.

又∵AD⊥AB,∴∠D+∠ABD=90°.∴∠ABF=∠D.

∵∠ABF=∠ABC,∠D=∠C,∴∠C=∠ABC,∴AB=AC;

44,∴cos∠D=. 55

AD4在Rt△ABD中,AD=4,∴DB=??5,由勾股定理得AB=3. cos?D5

44由(1)知∠ABF=∠ABE, cos∠ABF=,∴cos∠ABE=. 55

AB315在Rt△ABE中,EB=??. cos?ABE4

5(2)解:∵∠ABF=∠D,cos∠ABF=

9由勾股定理得AE

??, 4所以DE=AD-AE=4-97=. 44

【方法指导】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.

【易错警示】不知道怎么作辅助线而无法解答.

- 42 -

27.(2013贵州安顺,25,12分)

如图,AB是⊙O直径,D为⊙O上一点,AT平分∠BAD交⊙O于点T,过T作AD的垂线交AD的延长线于点C。

(1)求证:CT为⊙O的切线;

(2)若⊙O半径为2,CT=3,求AD的长。

【思路分析】(1)连接OT,根据角平分线的性质,以及直角三角形的两个锐角互余,证得CT⊥OT,CT为⊙O的切线;(2)证明四边形OTCE为矩形,求得OE的长,在直角△OAE中,利用勾股定理即可求解.

【解】(1)证明:连接OT∵OA=OT,∴∠OAT=∠OTA,

又∵AT平分∠BAD,∴∠DAT=∠OAT,

∴∠DAT=∠OTA,∴OT∥AC,

又∵CT⊥AC,∴CT⊥OT,

∴CT为⊙O的切线;????????(6分)

(2)过O作OE⊥AD于E,则E为AD中点,

又∵CT⊥AC,∴OE∥CT,∴四边形OTCE为矩形,

∵CT=,∴OE=3

又∵OA=2∴在Rt△OAE中,AE=OA?OE?2222?(3)2?1,

∴AD=2AE=2???????????????(12分)

【方法指导】本题主要考查了切线的判定以及性质,证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题.

28.(2013山东临沂,23,9分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,E为BC上一点,以CE为直径作⊙O,AB与⊙O相切于点D,连接CD,若BE=OE=2.

(1)求证:∠A=2∠DCB;

(2)求图中阴影部分的面积(结果保留?和根号).

- 43 -

【答案】:(1)证明:连接OD.

∵AB与⊙O相切于点D,∴∠ODB=90°,∴∠B+∠DOB=90°.

∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠A=∠DOB.

∵OC=OD,∴∠DOB=2∠DCB.∴∠A=2∠DCB.

(2)方法一:在Rt△ODB中,∵OD=OE,OE=BE,

1OD=, 2OB∴sin∠B=

∴∠B=30°,∠DOB=60°.

∵BD=OB·sin60°

=,

∴S△DOB=11OD·DB=×

=. 22

60??OD22S扇形ODE==?. 3603

2S阴影=S△DOB-S扇形ODE

=-?. 3

方法二:连接DE,在Rt△ODB中,∵BE=OE=2,

∴DE=1OB=OE. 2

∵OD=OE,∴△DOE为等边三角形,即∠DOB=60°.

【方法指导】本题综合了三角形与圆的性质、切线的性质、特殊角的三角函数等多个知识点。

29.(2013山东滨州,22,8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E,EF⊥AC,垂足为F.求证:直线EF是⊙O的切线.

【答案】:证明:连接OE,

∵ OB = OE,

∴ ∠B = ∠OEB.

∵ AB = AC,

∴ ∠B = ∠C.

- 44 -

∴ ∠OEB = ∠C.

∴ OE∥AC.

∵ EF⊥AC,

∴ OE⊥EF.

∴ 直线EF是⊙O的切线.

【解析】连接OE,则根据OB=OE可得:∠B=∠OEB,由AB=AC,可得∠C=∠B,继而可得∠OEB=∠C,根据平行线的判定可得OE∥AC,再根据平行线的性质得∠OEF=∠CFE=90°,则OE⊥EF,由切线的判定定理即可得出结论.

【方法指导】本题考查了切线的判定、平行线的性质及判定和等腰三角形的性质,关键是作出辅助线,利用等角代换得出∠OEF为直角,难度一般.

30. (2013广东省,24,9分)如题24图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,?ABC?900,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延长线于点E.

(1)求证:∠BCA=∠BAD;

(2)求DE的长;

(3)求证:BE是⊙O的切线.

【思路分析】(1)由“等弦”可以直接得到“等圆周角”;(2)由同弧所对的圆周角相等及直角对应相等可证两三角形相似,再由相似可计算DE的长;(3)判定. BE是⊙O的切线有多种办法,比较简单的方法是由BA=BD得∠OBD=∠OBA,然后利用平行线证垂直。

【解】(1)在⊙O中,∵弦BD=BA,且圆周角∠BCA和∠BAD分别对BA和BD, ∴∠BCA=∠BAD.

(2)∵BE⊥DC,∴?E?900

又∵∠BAC=∠EDB

∴△ABC∽△DEB ∴ABAC, ?DEBD

在Rt△ABC中,?ABC?900,AB=12,BC=5,由勾股定理得AC=13, 1213?, DE12

144∴DE=. 13∴

- 45 -

(3)方法一:如图,连结OB,

∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA

∵BA=BD

∴∠OBD=∠OBA

又∠BDC=∠OBA

∴∠OBD=∠BDC

∴OB∥DE

∴∠ODE=900

即BE⊥OB于B,所以,BE是⊙O的切线.

方法二:连结OB

∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB

∵四边形ABCD内接于⊙O

∴∠BAC+∠BCD=180°

又∵∠BCE+∠BCD=180°

∴∠BCE=∠BAC

由(1)知∠BCA=∠BAD

∴∠BCE=∠OBC

∴OB∥DE

∵BE⊥DE

∴BE⊥OB于B,所以,BE是⊙O的切线.

【方法指导】解决本题这类多步问题,有一个常规的思路,就是解决后面的问题往往要用到前面的结论,比如本题,解决第二问时要用到第一问的结论,解决第三问时,要用到前两问的结论.

31.(2013浙江湖州,20,8分)如图,已知P是⊙O外一点,PO交⊙O于点C,OC=CP=2,AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,连结PB.

(1)求BC的长;

(2)求证:PB是⊙O的切线.

- 46 -

【思路分析】(1)首先连接OB,由弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,易证得△OBC是等边三角形,则可求得BC的长;

(2)由OC=CP=2,△OBC是等边三角形,可求得BC=CP,即可得∠P=∠CBP,又由等边三角形的性质,∠OBC=60°,∠CBP=30°,则可证得OB⊥BP,继而证得PB是⊙O的切线.

【解】 (1)连结OB.

∵弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,∴∠COB=60°.

又∵OC=OB,

∴△OBC是正三角形.

∴BC=OC=2.

(2)证明:∵BC=CP,∴∠CBP=∠CPB.

∵△OBC是正三角形,∴∠OBC=∠OCB=60°.

∴∠CBP=30°.

∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°.

∴OB⊥BP.

∵点B在⊙O上,∴PB是⊙O的切线.

【方法指导】此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.

32. (2013江苏泰州,23,10分)如图AB是⊙O的直径,AC、 DC为弦,∠ACD=60°,P为AB延长线上的点,∠APD=30°.

(1)求证:DP是⊙O的切线;

(2)若⊙O的半径为3cm,求图中阴影部分的面积.

【思路分析】(1)连接OD,BD,证PD⊥OD;

(2)先解直角三角形POD,求PD长,然后

观察到s阴影?s?POD?s扇OBD计算.

【解】(1)证明:连接OD,BD

∵OD=OB ∠ABD=∠ACD=60° ∴△OBD是等边三角形

∴∠DOB=60°

∵∠DOB+∠ODP +∠APD =180° ∠APD=30°

∴∠ODP =90°

∴PD⊥OD

∴PD是⊙O的切线.

(2)在Rt△POD中,OD=3cm, ∠APD=30°

- 47 -

∵tan30??33 ,

∴PD??

PDtan30?

160???323? ???3???23602∴图中阴影部分的面积?S△POD?S扇形OBD

【方法指导】本题主要考查圆切线判定,等边三角形性质及扇形面积的求法,并融合解直角三角形知识,体现了在知识的交汇点处命题的思想,始终关注核心知识、技能的考查.求阴影面积类问题也是各地中考热点题型,往往采用整体减部分得部分的思想转化为规则图形求解.

33.(2013山东德州,20,8分)如图,已知⊙O的半径为1,DE是⊙O的直径,过D点作⊙O的切线AD,C是AD的中点,AE交⊙O于B点,四边形BCOE是平行四边形。

(1)求AD的长;

(2)BC是⊙O的切线吗?若是,给出证明,说明理由。

【思路分析】本题考查了圆的基本性质、直线与圆位置关系与

平行四边形等.(1)根据平行四边形性质,通过添加辅助线(连

接BD),再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可求出AD

长;(2)连接OB,证OB⊥BC即可.

【解】1)连接BD,则∠DBE=90,

∵四边形BCOE是平行四边形,

∴BC∥OE,BC=OE=1

在Rt△ABD中,C为AD的中点,

∴BC=1AD=1 2

∴AD=2

(2)连接OB,由(1)得BC∥OD,且BC=OD。

∴四边形BCDO是平行四边形

又∵AD是⊙O的切线。

∴OD⊥AD

∴四边形BCDO是矩形。

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切线

【方法指导】本题以圆为背景,但考查了圆周角、圆的切线性质判定与性质、平行四边形、矩形等知识.一般情况下,证明一条直线是否为圆的切线,看这条直线是否过径外断,如果没有,哪可以添加这条辅助线,再证其相互垂直.

34.(2013山东菏泽,17,10分) 如图,BC是⊙O的直径, A是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点D,取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.

(1)求证:AP是⊙O的切线;

(2)若OC=CP,AB=6,求CD的长.

【思路分析】(1)连接OA,证OA⊥PA即可;

(2)转化为直角三角形中,根据锐角三角函数

边角关系求解

.

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【解】(1)证明:连接AO,AC.

∵BC是⊙O的直径

∴∠BAC=90°∴∠CAD=90°

∵点E是CD的中点

∴CE= CE= AE????????2分

在等腰△EAC中,∠ECA= ∠EAC

∵OA=OC ∴∠OAC= ∠OCA

∵CD是⊙O的切线 B ∴CD⊥OC

∴∠ECA + ∠OAC = 90°

∴∠EAC + ∠OAC = 90°

∴OA⊥AP

∴AP是⊙O的切线????????5分

(2)由(1)知OA⊥AP

在Rt△OAP中,∵∠OAP = 90°, OC= CP= OA即OP= 2OA, ∴sin?P?(第18题) OA1? OP2

∴?P?30?,∴?AOP?60?????????7分

∴AC?AB??tan60

又∵在Rt△DAC中,∠CAD = 90°, ∠ACD = 90°-∠ACO= 30°

∴CD?AC??4????????10分 cos?ACD【方法指导】本题考查了圆的切线性质、判定,与圆有关的基本性质,直角三角形相关知识等.在运用切线的性质时,若已知切点,连接切点和圆心,得垂直;若不知切点,则过圆心向切线作垂直,即“知切点连半径,无切点作垂直”.

35.(2013四川凉山州,27,8分)在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(?3,

,C(?3,1),D(?2,?2),E(0,?3)。 ?1)

(1)画出△ABC的外接圆?P,并指出点D与?P的位置关系;

(2)若直线经过点D(?2,?2),E(0,?3),判断直线与?P的位置关系。

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【思路分析】(1)要画出圆,只要确定圆的圆心与圆的半径就可以了,判断点与圆的位置关

系就是要比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可;

(2 )只要证明PD⊥即可。

【解】(1)∵A(1,1),B(?3,?1),C(?3,1),

来*~源中国教育出版网&%]?BC?2,AC=4。=,

∴AB2?20?22?42?BC2?AC2,

∴△ABC是直角三角形,且AB斜边。

∴△ABC的外接圆?P的圆心为AB的中点,且坐标为(-1,0),

∴AB?

画图如图所示。

∵D(?2,?2),P (-2,0),

∴PD??D在?P上。

(2)直线与?P相切。

理由如下:连结PE,

∵直线经过点D(?2,?2),E(0,?3),

∴PE?1?3?10,PD?1?2?5,DE?2?1?5,

∴PE?PD?DE,

∴△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°。

∴PD⊥,∴直线与?P相切。

【方法指导】本题考查的圆的知识,涉及到的知识比较多,三点确定一个圆,直径所对的圆周角是直角,判断点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系。

36.(2013广东湛江,23,10分)如图,已知AB是⊙O的直径,P为⊙O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC.

(1)求证:PA为⊙O的切线;

(2)若OB=5,OP=22222222222225,求AC的长.

3

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【思路分析】(1)设法证∠OAP=90°,(2)利用垂径定理,勾股定理及面积法可求AC的长。

【解】

(1)设AC与OP相交于点H

∵AB是直径,∴AC⊥BC,∠BAC+∠B=90°

∵OP∥BC,∴OP⊥AC,∠AOB=∠B

∵∠P=∠BAC

∴∠P+∠AOP=90°,于是∠OAB=90°

∴PA为⊙O的切线

(2)∵OP⊥AC,∴AC=2AH

在直角三角形

PAO中,AP

?20? 3由面积法可知:AH?OA?AP?OP5?20?4 3

所以AC=8

【方法指导】一、判别直线是圆的切线有两种方法,如果直线与圆有交点,则连接交点与圆心,证这条线段垂直于直线即可;如果直线与圆没有直接的联系,则过圆心作直线的垂线段,证垂线段等于圆的半径即可。

二、求线段的长度有以下常用的方法:

1.用勾股定理,适用于已知两边的直角三角形中;

2.用相似三角形,适用于有相似三角形的图形中;

3.面积法,适用于有直角三角形的图形中有高的存在。

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