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八年级数学14章导学案

发布时间:2013-11-05 11:39:11  

第十四章 整式的乘法与因式分解

14.1 整式的乘法

课题: 14.1.1同底数幂的乘法(第1课时)

学习目标:1.熟记同底数幂的乘法的运算性质,了解法则的推导过程.

2.能熟练地进行同底数幂的乘法运算. 会逆用公式aman=am+n.

3.通过法则的习题教学,训练学生的归纳能力,从未知转化成已知

学习重点:掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算. 学习难点:对法则推导过程的理解及逆用法则. 学习过程:

一、知识回顾,引入新课

问题二:(用5分钟时间解答问题四9个问题,看谁做的快,思维敏捷!) 1.根据乘方的意义填空: (1)23×24 =(2×2×2)×(2×2×2×2) (2)5

3×54 =(×(34

2.猜想:am·an(m,n都是正整数) 3.验证:am·an =(×(

=(

)=a

??

4.归纳:同底数幂的乘法法则:am×an= (m、n都是正整数) 文字语言:

5.法则理解:①同底数幂是指底数相同的幂.如(-3)2与(-3)5,(ab3)2与(ab3)5,(x-y)2与(x-y)3 等.

②同底数幂的乘法法则的表达式中,左边:两个幂的底数相同,且是相乘的关系;右边:得到一个幂,且底数不变,指数相加.

6.法则的推广: am·an·ap(m,n,p都是正整数).

思考:三个以上同底数幂相乘,上述性质还成立吗?

同底数幂的乘法法则可推扩到三个或三个以上的同底数幂的相乘. am·an·ap=am+n+p,am·an·…·ap=am+n+…+p(m、n…p都是正整数) 7.法则逆用可以写成

底数幂的乘法法则也可逆用,可以把一个幂分解成两个同底数幂的积,其中它们的底数与原来幂的底数相同,它的同指数之和等于原来幂的指数.如:25=23·22=2·24等.

8.应用法则注意的事项:

①底数不同的幂相乘,不能应用法则.如:32·23≠32+3; ②不要忽视指数为1的因数,如:a·a5≠a0+5.

三、理解运用,巩固提高(用3分钟自主解答例1-例2,看谁做的又快又正确!)

例1.计算:(1)103×104; (2)a ? a3 (3)a ? a3?a5 (4) xm×x3m+1

例2.计算:(1)(-5) (-5)2 (-5)3 (2)(a+b)3 (a+b)5 (3)-a·(-a)3

(4)-a3·(-a)2 (5)(a-b)2·(a-b)3 (6)(a+1)2·(1+a)·(a+1)5

四、深入探究、活学活用

例3. (1)已知am=3,am=8,求am+n 的值.

(2)若3n+3=a,请用含a的式子表示3n的值.

(3)已知2a=3,2b=6,2c=18,试问a、b、c之间有怎样的关系?请说明理由.

五、实践运用,巩固提高(用5分钟时间解决下面5个问题,看谁做的快,方法灵活!)

七、达标检测,体验成功(时间6分钟,满分100分)

1.下列计算中 ① b5+b5=2b5 ,②b5·b5=b10 , ③y3·y4=y12 ,④m·m3=m4 , ⑤m3·m4=2m7 , 其中正确的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.x3m+2不等于( )

A.x3m·x2

B.xm·x2m+2 C.x3m+2 D.xm+2·x2m 3.计算5a? 5b的结果是( ) A.25ab B.5ab C.5a+b D.25a+b 4.计算下列各题

(1)a12? a (2)y4y3y (3)x4x3x (4)xm-1xm+1

(5)(x+y)3(x+y)4(x+y)4 (6)(x-y)2(x-y)5(x-y)6

5. 解答题:⑴xa+b+c=35,xa+b=5,求xc的值.

(2)若xx ?xm? xn=x14求m+n.

(3)若an+1? am+n= a6 ,且m-2n=1,求mn的值.

(4)计算:x3? x5+x? x3?x4.

六、总结反思,归纳升华

通过本节课的学习,你有哪些感悟和收获,与同学交流一下:

①学到了哪些知识?②获得了哪些学习方法和学习经验?③与同学的合作交流中,你对自己满意吗? ④在学习中,你受到的启发是什么?你认为应该注意的问题是什么?

知识梳理:__________________________________________________________; 方法与规律:________________________________________________________; 情感与体验:________________________________________________________; 反思与困惑:______________________________________________________.

1.判断(每小题3分,共18分) (1) x5·x5=2x5 ( ) (2) m + m3 = m4 ( ) (3) m·m3=m3 ( ) (4)x3(-x)4=-x7 ( ) (5)y5 · y5 = 2y10 ( ) (6)c · c3 = c3 ( ) 2.填空题:(每空3分,共36分)

(1)m4m5; (2)yn?3?y3?y5?n; (3)??a?2??a?3 (4)??x2???x?2

(5) x5 ·x ·x3 ; (6)(x+y)3 · (x+y)4 (7)①x5 ·( )= x 8 ②a ·( )= a6 (8)

xx(93. ⑴x3m?3可以写成( )

A.3xm?1 B.x3m?x3 C.x3?xm?1 D.x3m?x3

⑵am?2,an

?3,则a

n?m

=( )

A.5 B.6 C.8 D.9 ③下列计算错误的是( ) A.(- a)·(-a)2=a3 B.(- a)2·(-a)2=a4 C.(- a)3·(-a)2=-a5 D.(- a)3·(-a)3=a6 ④如果xm-3·xn = x2,那么n等于( ) A.m-1 B.m+5 C.4-m D.5-m 4.计算:(每小题5分,共30分) (1)103×104 (2)(-2)2·(-2) 3·(-2) (3)a·a3·a5

(4) (a+b)(a+b)m(a+b)n (5) (-a)2·a3 (6) (x-2y)2? (2y-x)5

课题:14.1.2 幂的乘方(第2课时)

学习目标:1.理解幂的乘方的运算法则,能灵活运用进行计算,并解决实际问题.

2.在双向运用幂的乘方运算法则的过程中,培养学生思维的灵活性;

学习重点:能灵活运用幂的乘方法则进行计算.

学习难点:幂的乘方与同底数幂的乘法运算的区别,提高推理能力和表达能力. 学习过程:

一、创设情境,导入新课:我们知道a a a a a=a5,那么类似地a5a5a5a5a5可以写成(55)5,

说出32012的个位数字是几吗?

2. 逆用法则(2)

a

mn

a

mn

?(an)?(am)

(_____)

mn

: (1)

(__)

a

12

?(a3)

(___)

?(a2)

3

(____)

?(a4

(_____)

?(a6)

(_____)

?(am)

(______)

?(an)

=(

a

)

m

=(

a

(___)

)

n

(3)9?3

(____)

五、深入学习,巩固提高

1.下列各式中,计算正确的是( )

344164

347⑴上述表达式(55)5是一种什么形式?(幂的乘方)

⑵你能根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则计算出它的结果吗? 二、观察猜想,归纳总结

1.试试看:(1)根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空:

① ?23?2

?23?23?2??; ②(a

m

)2=________×_________ =__________;

③ ?32?3?3?? ④ ?a3?4?a??. 2. 类比探究:当m,n为正整数时,

??????个

??

am

?

n

?a?m???am??????a?m

?a

m?m??m

?a??.

??个

观察上面式子左右两端,你发现它们各自有什么样的特点?它们之间有怎样的运

算规律?请你概括出来: . 3.总结法则 (am)n=________________(m,n都是正整数) 幂的乘方,_________________不变,______________________. 三、理解运用,巩固提高

1.计算(1)?103?5; (2)?b3?4; (3)?a3?5??a5?3. (4)?x3?2??x2?3?2x4??x4?2 (5)?a4?5???a2?10?a???a2?5???a3?3 (6)??x?y?2?3???x?y?3?4 (7)?m?n??n?m?2???m?n?n?2

归纳小结:同底数幂的乘法与幂的乘方的区别:相同点都是 不变;不同点,前者是指数 ,后者是指数 .

2.(1)已知325?83?22x,求x的值.(2)已知x2n

?3,求?x3n?

2

的值.

四、深入探究,活学活用

1.我们知道31=3,它的个位数字是3;32=9它的个位数字是9;33=27它的个位数字是7;34=81它的个位数字是1,??再继续下去看一看,你发现了什么?你能很快

A.?a3??a6

B. a?a?a

C. ?a3??a12 D. a?a?a

2.下列计算正确的是( )

A.x2+x2=2x2 B.x2x2=2x4

C.(a3

)3=a10

D.(am)n

=(an)m

3.x3m?1可写成( ) A.?x3?m?1

B.?xm?3?1

C.?xm?3?x D.xm3

?x

4.(a2)3a4 等于( ) A.m9 B.m10

C.m12

D. m14

5.填空:?x4?3?;?x3?2?x5?a5??ay?3?a11,则y? .

6.(1)若10x?3,10y?2,求代数式10

3x?4y

的值.(2)?9n?2

?316,求n的值.

7.一个棱长为103的正方体,在某种条件下,其体积以每秒扩大为原来的102倍的速度膨胀,求10秒后该正方体的体积.

六、达标检测,体验成功

1.⑴计算下列各式,结果是x8的是( ) A.x2·x4 B.(x2)6 C.x4+x4 D.x4·x4

⑵下列四个算式中:①(a3)3=a3+3=a6;②[(b2)2]2=b2×2×2=b8;③[(-x)3]4

=(-x)12

=x12④(-y2)5=y10,其中正确的算式有( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ⑶计算(a-b)2n·(a-b)3-2n·(a-b)3的结果是( ) A.(a-b)4n+b B.(a-b)6 C.a6-b6 D.以上都不对 2.⑴a12=a3·______=_______·a5=______·a·a7. ⑵an+5=an·______;(a2)3=a3·______;(anb2nc)2=________. ⑶若5m=x,5n=y,则5m+n+3=_______ 3.计算:(1)(53)2;(2)(a3)2+3(a2)3 ; (3)(-x)n·(-x)2n+1·(-x)n+3;

(4)ym·ym+1·y; (5)(x6)2+(x3)4+x12 (6)(-x-y)2n·(-x-y)3;

课题:14.1.3 积的乘方(第3课时)

学习目标:1.会进行积的乘方运算,进而会进行混合运算.

2.经历探索积的乘方运算法则的过程,明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得来的.

3.通过积的乘方法则的探究及应用,让学生继续体会从特殊到一般的认知规律,从一般到特殊的应用规律. 学习重点:积的乘方运算法则及其应用. 学习难点:各种运算法则的灵活运用. 学习过程:

一、创设情境,导入新课

1、已知一个正方体的棱长为2×103cm,?你能计算出它的体积是多少吗? 列式为:

2.讨论:体积应是V=(2×103)3cm3,这个结果是幂的乘方形式吗?底数是 ,其中一部分是103幂,但总体来看,底数是 . 因此(2×103)3应该理解为 .如何计算呢? 二、探究学习,获取新知

1.读一读,做一做:

(1)(ab)2=(ab)·(ab)=(aa)·(bb)=

(2)(ab)3= = =a( )b( )

(3)(ab)4= = =

(4)(ab)n= = =a( )b( )

(其中n是正整数)

2.总结法则:积的乘方公式:(ab)n = (n为正整数)文字语言: .

3.如果是三个或三个以上几个数的积的乘方,这个运算性质还适用吗? 如:(abc)n = .

4.在运用积的乘方运算时,应注意的问题:积的乘方运算对于三个或三个以上几

个数的积的乘方运算 ,即:(abc)n = a nbn cn

;在运用积的乘方运算性质时,①要注意结果的符号;②要注意积中的每一项都要进行乘方,不要掉项. 三、理解运用,巩固提高

例3 计算:(1)(2b)3 (2)(2×a3)2 (3)(-a)3 (4)(-3x)4 (5)(-5b)3 (6)(-2x3)4

四、深入探究,自我提高

1.积的乘方运算性质:(ab)n =anbn,把这个公式倒过来应该是: .

2.倒过来之后的公式说明的意思是什么?你能用自已的语言说明一下吗?

3.试一试 (1)()

2012

8

?(0.125)

2012

(2)0.25

?55

(3)(?0.25)2011?42011 (4)[(-5)502]4×(24

)2009145

(5)(?7)2010?(1)2011?(?1)2009 (6)(14)90?(5)90?(32

)90

五、总结反思,归纳升华

知识梳理:1.积的乘方法则:积的乘方等于每一个因式乘方的积.即(ab)n = a nbn

(n是正整数).2.三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质.如(abc)n = a nbn cn(n是正整数)3.积的乘方法则可以进行逆运算.即a nbn =(ab)n(n为正整数)

方法与规律:___________________________; 情感与体验:___________________________; 反思与困惑:___________________________. 六、达标检测,

(一)1.(ab)2 2.(ab)3 3.(a2b)3

4. (2a2b)2 5.(-3xy2)3 6.(-13

a2bc3)2 7.(5分)42×8n= 2( )( ) =2( )(二)1.下列计算正确的是( )

A.(xy)3=x3y B.(2xy)3=6x3y3 C.(-3x2)3=27x5 D.(a2b)n=a2nbn 2.若(ambn)3=a9b12,那么m,n的值等于( ).

A.m=9,n=4 B.m=3,n=4 C.m=4,n=3 D.m=9,n=6 3.下列各式中错误的是( )

A.[(x-y)3]2=(x-y)6 B.(-2a2)4=16a8

C.〔-13

3

m2n〕

=-

127

m6n3

D.(-ab3)3=-a3b6

4、 计算(x4)3 · x7的结果是 ( )

A. x12 B. x14 C. x19 D.x84

5. 下列运算中与a4· a4结果相同的是 ( )

A.a2· a8 B.(a2)4 C.(a4)4 D.(a2)4·(a2)4 (三)计算: (1) (a2b)??a2b?2 (2) ?x2?xm?3?x2m (3)?3

?????

1xy2z3?2???

??2

???

(4)?b?a? ?b?a?3?a?b?5

(四)拓展题: 1.已知2007m?4,2007n

?5,求2007m?n和2007m?n的值.

2.已知2?4x?8x?221,求x的值.

课题:14.1.4 整式的乘法(第4-7课时)

单项式乘以单项式

学习目标:1.会熟练利用单项式乘单项式的法则进行相关运算;

2.通过对单项式法则的应用,培养观察、比较、归纳及运算的能力.

教学重点、难点:单项式与单项式相乘的法则,注意积的系数、字母及其指数 学习过程:

一、知识回顾,导入新课 1.同底底数幂的乘法: 幂的乘方: 积的乘方: 同底数幂的除法: 2.判断下列计算是否正确,如有错误加以改正. (1)a3·a5=a10 ( ) (2)a·a2·a5=a7; ( ) (3)(a3)2=a9; ( ) (4)(3ab2)2·a4=6a2b4.( ) 3.计算:(1)10×102×104=( ); (2) (-2x2y3)2=( ). (3) (a+b)·(a+b)3·(a+b)4

=( ); 4.一个长方形的底面积是4xy,高是3x,那么这个长方体的体积是多少? 请列式: . 这是一种什么运算?怎么进行呢?本节我们就来学整式的乘法. 二、探究学习,获取新知 1.探究: 4xy·3x 如何进行计算?

2.仿例计算:(1)3x2y·(-2xy3)= = . (2)(-5a2b3)·(-4b2

c)= = .

(3)3a2·2a3

= ( )×( )= .

三、理解运用,巩固提高 1.计算①(1

3

2)·(6ab)= ; ②4y· (-2xy2) = ③(-5a2b)(-3a)= ; ④(2x3)·22

= ; ⑤(-3a2b3)(-2ab3c)3= ; ⑥(-3x2y) ·(-2x)2= .

2.归纳总结:(1)通过计算,我们发现单项式乘单项式法则实际分为三点: 一是先把各因式的__________相乘,作为积的系数; 二是把各因式的_____ 相乘,底数不变,指数相加; 三是只在一个因式里出现的________,连同它的_______作为积的一个因式. (2)单项式相乘的结果仍是 .

3.推广:(1)计算:3a3b·2ab2·(-5a2b2

) =

方法总结:多个单项式相乘,只要把它们的系数相乘作为积的系数,同底数的幂相乘即可. (2)做一做:①(2x2y) ?(- 3xy3) ?(x2y2z)

②( 4×10 3) ?(3×102) ? (0.25×104)

4.计算⑴?34

(?2x2y)2?(?1xy)?(?xy)3?(?x2)?

3

(2)2(x?y)?(x?y)2?(3)1x3?(?2xy)2?(x?y)3?(y?x)2?

125.卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约7.9×103

米/秒,则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少? 四、实践应用,提高技能 1.判断:①单项式乘以单项式,结果一定是单项式( ) ②两个单项式相乘,积的系数是两个单项式系数的积( )

③两个单项式相乘,积的次数是两个单项式次数的积( )

2.计算(1)0.4x2y?(12xy)2-(-2x)3?xy3 (2)????122abc??????3abc?32??1??

??12a3

b? 3. 已知单项式?2axby?8与单项式4a2yb3x?y的和是单项式,求这两个单项式的积.

3

4.已知?2x3m?1y2n与4xn?6y?3?m的积与?x4y是同类项,求m、n的值. 六、达标检测,

1.填空题: (1)3a2 ? 2a3= (2)(-9a2b3)? 8ab2=

(3)

(-3a2)3 ? (-2a3)2= (4)-3xy2z ? (x2y)2= (5)3ab2?(1

3

a2b)?2abc? (6)(?6x2)2?(?3x)3x?(7)(?xyz2)2?(?2xy2)2?(2x2y2z)2?(?3y2z2)?

2.光的速度约为3×105千米/秒,太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒,那么地球与太阳的距离约为 千米. 3.计算: (每小题9分,共18分) (1)??223??35?1???3abc??????4c??123 (2)??2

abc??3an?1bn???2?3ab?????ac?

单项式乘以多项式

学习目标:1.了解单项式乘以多项式的意义,理解单项式与多项式的乘法法则;

2.能熟练、正确地运用法则进行单项式与多项式的乘法运算.

学习重点难点:理解并熟练运用法则.正确判断单项式与多项式相乘的积的符号. 学习过程:

一、联系生活 设境激趣

1.

,

⑴有几种算法计算共花了多少钱?

⑵各种算法之间有什么联系?

请列式:方法1: ;

方法2: . 联系 ??①

2.将等式15(5.20+3.40+0.70) =15×5.20+15×3.40+15×0.70 中的数字用字母代替也可得到等式:m(a+b+c)=ma+mb+mc;??②

问题:如图长方形操场,计算操场面积? 方法1: . 方法2: .

可得到等式 (乘法分配律); 二、探究学习,获取新知.

1.等式②左右两边有什么特点?

2.提炼法则: 3.符号语言:a(b+c)=ab+ac 或 m(a+b+c)=ma+mb+mc

4.思想方法:剖析法则m(a+b+c)=ma+mb+mc,得出: 转化

单项式 → 单项式 ×单项式 乘法分配律 三、理解运用,巩固提高

1.计算:⑴(?2a2)?(3ab2?5ab3)

⑵(2ab2-2ab) ?ab ⑶(-2a).(2a23

-3a+1)

2.单项式与多项式相乘的步骤:①按积写成 ;②单项式的乘法运算. 3.讨论解决:(1)单项式与多项式相乘其依据是 ,运用的数学思想是 . (2)单项式乘多项式的结果仍是多项式,积的项数与原多项式的项数 . (3)单项式分别与多项式的每一项相乘时,要注意积的各

项符号的确定:同号相乘得 ,异号相乘得 .

4. 抢答:下列各题的解法是否正确,正确的请打∨错的请打×,并说明原因.

(1)21a(a2+a+2)=1a3+1222

a2+1 ( ) (2)3a2b(1-ab2c)=-3a3b3 ( ) (3)5x(2x2-y)=10x3-5xy( ) (4)(-2x).(ax+b-3)=-2ax2-2bx-6x ( ) 5.计算: ⑴ (5a2-2b)·(-a2) ⑵?2a2(12

ab?b2)?5a(a2b?ab2)

四. 题型探索 中考链接:先化简,再求值.

2a3b2(2ab3-1)-(-2

a2b2)(3a-9a2b3)其中a=13

2

3

,b=-3.

归纳小结:1.用单项式乘多项式法则去括号和单项式乘单项式法则进行计算. 2.合并同类项化简. 3.把已知数代入化简式,计算求值. 五、达标检测,体验成功

1、填空:(1) a (2a2一3a+1)=_______; (2)3ab(2a2b-ab+1) =_____; (3)(

34ab2+3ab一23b)(12ab)=_______;(4)(一2x2)(x2-1

2x一1) =_____. 2.选择题:(1)下列各式中,计算正确的是 ( )

A.(a-3b+1)(一6a)= -6a2+18ab+6a B.??1?

??3x2y??

??9xy?1??3x3y2?1

C.6mn(2m+3n-1) =12m2n+18mn2-6mn D.-ab(a2一a-b) =-a3b-a2b-ab2 (2)计算a2(a+1) -a(a2-2a-1)的结果为 ( )

A.一a2一a B.2a2+a+1 C.3a2+a D.3a2-a

(3)一个长方体的长、宽、高分别是2x一3、3x和x,则它的体积等于 ( )

A.2x2—3x2 B.6x-3 C.6x2-9x D.6x3-9x2

3.计算:(1)3x3

y?(2xy2

?3xy); (2)(?1?ab?a2b2

4

)?(?4a2b)

(3)(2x3一3x2+4x-1)(一3x); (4)???1xy?3y2?x2?

???6xy2?32?

?.

4.先化简,再求值.(1) x(x2?1)?2x2(x?1)?3x(2x?5);其中x??1

2

(2)m2 (m+3)+2m(m2—3)一3m(m2+m-1),其中m?5

2

⑶4ab(a2b-ab2+ab)一2ab2(2a2—3ab+2a),其中a=3,b=2.

多项式乘以多项式

学习目标:1.理解并经历探索多项式乘以多项式法则的过程. 2.熟练应用多项式乘以多项式的法则解决问题

学习重点难点:多项式乘以多项式的运算法则与应用. 学习过程:

一、温故知新,导入新课: 计算:⑴(-8a2b)(-3a) ⑵2x·(2xy2-3xy) 运用的知识与方法: 二、问题情境,探索发现 问题一:1.如下图,某地区退耕还林,将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米.求这块林区现在的面积S.(比一比看谁的方法多,运算快)

a b按①②④可得到的结论: 按①③④可得到的结论: 2.蕴含的代数、几何意义分别是: 3.归纳概括, 加深理解:①多项式与多项式相乘的法则:

多项式与多项式相乘, ②用字母表示为: . 三、理解运用 总结方法 问题二:1.计算⑴(x+2)(x-3) ⑵(3x-1)(2x+1) ⑶(x+2)(x+2y-1) 四、反馈矫正,注重参与 问题三:(下面的计算是否正确?如有错误,请改正)

⑴(3x+1)(x-2) ⑵ (3x-1)(2x-1) ⑶(x+2)(x-5) =3x2-6x-2 =6x2-3x-2x+1 =x2+5x+2x+10 =x2+7x+10 归纳多项式与多项式相乘注意事项:① ② ③ 五、综合运用 拓展提高

(中考链接)有一道题计算(2x+3)(3x+2)-6x(x+3)+5x+16的值,其中 x=-666 ,小明把x=-666错抄成x=666,但他的结果也正确,这是为什么?

六、实践运用 巩固新知

1.判断下列各题是否正确,并说出理由 .

(1).

(3x?1)(x?2)?3x2

?6x?x ( ) (2).(x?2)(x?5)?x2?7x?10 ( ) (3).(2a?5b)(3a?2b)?6a2?4ab?15ba?10b2

( )

2. 选择题:下列计算结果为 x2-5x-6的是( )

A.(x-2)(x-3) B. (x-6)(x+1) C. (x-2)(x+3) D. (x+2)(x-3) 3.如果ax2+bx+c=(2x+1)(x-2),则a = b = c = 4.一个三角形底边长是(5m-4n),底边上的高是(2m+3n) ,则这个三角形的面

积是 5. 王老汉承包的长方形鱼塘,原长 2x 米,宽 x 米,现在要把四周向外扩展 y

米,问这个鱼塘的面积增加多少?

七、达标检测,体验成功

1、下列计算是否正确?为什么?

(1) (5x+2y)(5x-2y)=(5x)2-(2y)2=25x2-4y2

(2) (-1+3a)(-1-3a)=(-1)2+(3a)2=1+9a2 (3) (-2x-3y)(3y-2x)=(3y)2-(2x)2=9y2-4x2 2.如果?x?a??x?b?中不含有x的一次项,则a,b一定满足( )

A.互为倒数 B. 互为相反数 C. a?b?0 D. ab?0 3.计算:(1) (3x2-2x-5)(-2x+3) (2) (2x-y)(4x2+2xy+y2)

(3) (3a+2b)2 (4) (x-1)(2x-3)

4.(13分)先化简,再求值:3x(x2?x?1)?(x?1)(3x2

?x),x12

5.(15分)有一个长为a米,宽为b米的长方形空地,因基建用去了其中一部分.

已知用去的长方形地长为2

13a米,宽为2

b米,求用去的这块地的面积是多少?剩下的面积又是多少?

同底数幂的除法

学习目标:理解同底数幂的除法运算法则,能灵活运用法则进行计算 学习重点难点:1.能灵活运用同底数幂的除法运算法则进行计算 .

2.应用同底数幂的除法运算法则解决数学问题.

学习过程:

一、自主学习,导入新课

1.我们已经知道同底数幂的乘法法则:am·an=am+n,那么同底数幂怎么相除呢? 2.(1)用你学过的知识完成下面计算.

①23·22=2( ) ②103·104=10( )③a4·a3=a( )

(2)根据上面的计算,由除法和乘法是互为逆运算,你能直接写出下面各题的

结果吗? ①25÷22= ;②107÷103= ;③a7÷a3

= (a≠0).

???5个??3.仿例计算:(用幂的形式填空)①25?22?2?2??2

2?2

? ;

107?103? ③a7?a3?4.类比探究:①一般地,当m、n为正整数,且m>n时

?????个

??am?an

?a?a???a?a??a???a, ????????

a个

②你还能利用除法的意义来说明这个运算结果吗?

③观察上面式子左右两端,你发现它们各自有什么样的特点?它们之间有怎样的运算规律?请你概括出来: 5.总结法则:同底数幂的除法性质: am÷an= (m、n为正整数,m>n,a≠0)

文字语言:同底数幂相除, . 6.(1)32÷32 =9÷9= (2)32÷32 =3( )-( )=3( )=

(3)an÷an=a( )-( )=a( )=1,也就是说,任何不为0的数的 次幂等于1;

字母作底数,如果没有特别说明一般不为0. 二、合作学习,获取新知

计算:(1)a8?a3 (2)??a?10

???a?3

(3)?2a?7

??2a?4

(4)x6÷x = ;(5)(-x)4÷(-x) = ; 三、深入探究 ,活学活用

1.你会计算 (a+b)4÷(a+b)2吗? 2.做一做 (1)(x – y)7 ÷(x – y)(2)(– x – y)3÷(x+y)2

3.由am÷an=am-n可知:am-n=am÷an ,你会逆用这个公式吗?试一试:

⑴已知3m=5,3n=4,求32m-n的值. ⑵已知642x?82x?4?16,求x的值。

⑶已知:5m=3,25n=4,求5m-2n+2的值.⑷若3m-2n-2=0,求106m?1002n?10的立方根

四、理解运用,巩固提高

1.下列计算中正确的是( )

A.??a?5?a3?a2 B. ?3xy2?2

?6x2y4C. a5?b2?a3b D. ??m?7

???m?2

??m5

2.填空:?p3?2?p5a10???a2?3?3x?y?6??y?3x?2?3.计算:(1)y10n

÷(y4n

÷ y2n

); (2)x7

÷x2

+ x·(–x)4

4.(1)xm = 5,xn = 3,求xm–n ⑵已知am?8,an?3,ak?2,求am?3k?2n的算术平方根

5.有一容积为?16?10?4

立方厘米的长方体水池,测得水面的面积为?16?10?3

方厘米,这个水池的深度是多少?

五、达标检测,体验成功

1.计算下列各式(结果以幂的形式表示): (1)109 ÷ 105 (2)a8 ÷ a7 (3)x7 ÷ (x6 ÷ x4 )

(4)104×105 ÷ 105 (5)x5 · x7 ÷ .x 4 (6)( -b )4 ÷(- b 2 ) ÷ b

2.(14分)如果x2m-1 ÷ x2 =xm+1,求m的值.

3.(14分)若10m=16,10n=20,求10m-n的值.

14.2 乘法公式

课题:14.2.1平方差公式(第8课时)

学习目标:1.能说出平方差公式的特点,并会用式子表示.

2.能正确地利用平方差公式进行多项式的乘法运算.

学习重点难点:掌握两数和乘以它们的差的结构特征. 学习过程:

一、联系生活,设境激趣

王林到小卖部去买饼干, 售货员告诉他: 共4.2千克,每千克3.8元.正当售货员还在用计算器计算时,王林马上说出了共15.96元,售货员很惊奇地问:“你怎么比计算器算的还快呢?”王林很得意的告诉她:这是一个秘密.

同学们,你能帮售货员揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘密吗? 二.观察概括,探索验证

1.经过本节课的学习,我们就能揭开这一秘密了.请同学们计算下面三道题: (1)(x+3)(x-3); (2) (m+5n)(m-5n); (3) (4+y)(4-y) .

2.请你观察思考:以上几个多项式与多项式相乘的式子有什么特点?积有什么特点?你能用字母表示吗?

观察发现:两数和乘以这两数的 等于这两数的

用一个数学等式表示为:(a+b)(a-b)= ??平方差公式. 3.观察图13.3.1,再用等式表示下图中图形面积的运算:

= - .

具有简洁美的乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. 三、理解运用,巩固提高

1. 填一填:①2x+12)(2x-1

2

)=( )2-( )2 =

②(3x+6y)(3x-6y)=( )2

-( )2= ③(m3+5)(m3-5)=( )2-( )2= 2. 辨一辨:

① (2x+3)(2x-3) =2x2-9 ②(x+y2)(x-y2) = x2-y2 ③(a+b)(a-2b) = a2-b2

3.说一说:下列各式都能用平方差公式计算吗?

①(2a-3b)(3b-2a) ②(-2a+3b) (2a+3b) ③(-2a-3b)(2a-3b) ④(2a-3b)(2a+3b) ⑤(2a+3b)(-2a-3b) ⑥(2a-3b)(-3b+2a)

4.做一做:(1)(a+3)( a-3) (2)(2a+3b)( 2a-3b) (3)(1+2c)( 1-2c)

(4)变式拓展:①(-2x-y)(2x-y) ②(-m+n)(-m-n) ③ (-2x-5y)(5y-2x)

四、实践应用,提高技能

1.下列可以用两数和乘以这两数差公式计算的是( ) A.(x-y)(x+y) B.(x-y)(y-x) C.(x-y)(-y+x) D.(x-y)(-x+y) 2.比一比:①(5+6x)(5-6x) ②(3m-2n)(3m+2n)

③(ab+8)(ab-8) ④(2x+y)(-2x+y) ⑤(-4a-0.1)(4a+0.1)

⑥(m+n)(m-n)+3n2 ⑦(-x +2)( -x-2) ⑧(-a+b)(a+b)

五、达标检测,体验成功

(一)选择题

1.下列运算中,正确的是( ) A.(a+3)(a-3)=a2-3 B.(3b+2)(3b-2)=3b2-4 C.(3m-2n)(-2n-3m)=4n2-9m2 D.(x+2)(x-3)=x2-6

2.在下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是( )

A.(x+1)(1+x) B.(11

2a+b)(b-2

a)

C.(-a+b)(a-b) D.(x2-y)(x+y2) 3.对于任意的正整数n,能整除代数式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的整数是( )

A.3 B.6 C.10 D.9

(二)填空题: 1.9.8×10.2=________; 2.(2x+11

2)(2x-2

)=

3.(2x+y)(2x-y)= 4.(3a+2b)(3a-2b) = 5.如果 a2-b2=10,(a+b)=2,则a - b=

(三)计算: 1.(x+6)(6-x) 2.(?x?12)(?x?12

) 3.(?2x2?12)(?2x2

?12)

4.(13a?b)(?b?13

a) 5.(-xx22

4 +y)( 4+y) 6.(2a-b)(2a+b)(4a+b);

课题:14.2.2 完全平方公式(第9课时)

2. 利用完全平方公式进行简便计算:(1)1992 (2)(x+2)2-(x-2)2 六、达标检测,体验成功

学习目标:1.理解两数和的平方的公式,并熟练应用

2.培养学生探索能力和概括能力,体会数形结合的思想.

学习重点难点:理解两数和的平方公式,熟练运用进行简单的计算. 学习过程:

一.温故知新,引入新知:

(1)两数和乘以这两数的差的公式是什么? (2)口述多项式乘以多项式法则. (3)计算 (2x-1)(3x-4) (5x+3)(5x-3) 二.自主学习,探求新知

情景问题:有一位老人非常喜欢孩子,每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果来招待他们.来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖,来三个,就给每人三块?? (1) 第一天有a个男孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? (2) 第二天有b个女孩一起去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖? (3) 第三天这(a+b)个孩子一起去看老人,老人一共给了这些孩子多少块糖? (4) 这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多?多多

少? (5) 自主总结出公式,导入新课: (a+b)2=a2+2ab+b2

这就是说,两数和的平方,等于它们的平方和加上它们乘积的2倍。

三.理解运用,提高认识

1.(a+b)2=a2+b2对吗?为什么? 2.仿照公式计算.(1)(x+y)2 (2)(x - y)2

四.深入探究,活学活用

例1.计算:⑴?x?y??x?y??x2?y2?

2

⑵3?m?1??5?m?1??m?1??2?m?1?2

例2.已知?a?b?2

?7,?a?b?2

?4,求a2?b2和ab的值。

例3.已知a?

1

22

a

?4,求a?b的值.

五、深入学习,巩固提高

1、判断正误:(1)(b-4a)2=b2-16a2.( ) (2)(

1

2

a+b)2=14a2+ab+b2.( )

(3)(4m-n)2=16m2-4mn+n2.( ) (4)(-a-b)2=a2-2ab+b2

.( )

1.a2+b2 =(a+b)2 - 2.a2+b2 =(a-b)2

+

3.若x+y=5,xy=3,则x2+y2 = 4.计算:(x+5)2-(x-2)(x-3)= 5.已知b?0,a2?b2?ab?3ab,则

ab= 6.若?x?a?2

?x2?x?14

,则a= 7.代数式4x2?kxy?y2是关于x,y的一个完全平方式,则k= 8.当a?b?3,x?y?1时,代数式:a2?2ab?b2?x?y= 9.已知x2?2x?y2?6y?10?0,则10.直击中考:⑴(2011.白银)若x2?6x?m是完全平方式,则m= ⑵已知x?y??5,xy?6,则x2?y2=

11.若(x-y)2 +N= x2+xy+y2 ,则N等于( )

A.xy B. 0 C. 2xy D. 3xy

12. 已知(a+b)2 =11, (a-b)2 =7,则

ab的值为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 13.如果a2?b2?2c2?2ac?2bc?0,则a?b的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.不能确定

?1222

14.计算:(1)?1?x?2

(2)??11??1??2a?b?

??

(3)???5x?10y?? (4)???cd?2??

(5)(2x?y?1)(2x?y?1) (6)(2x?y)2?4(x?2y)(x?2y) 先化简,再求值。

⑴?a?b?2

?b?a?b?,其中a=2,b==-1

?x?1?2

??x?3??x?3???x?3??x?1?,其中x2?2x?2

15.

(2)

14.3 因式分解

课题:14.3.1 提公因式法(第10课时)

学习目标:1.了解因式分解的意义,理解因式分解与多项式乘法的区别与联系.

2.会用提公因式法进行因式分解.

学习重点难点:怎样进行多项式的因式分解,如何能将多项式分解彻底. 学习过程:

一、温故知新,导入新课

1. 回忆:运用前两节所学的知识填空:

(1)2(x+3)=__________;(2)x2

(3+x)=__________; (3)m(a+b+c)=_______________________. 2.探索:你会做下面的填空吗? (1)2x+6=( )( ); (2)3x2+x3=( )( ); (3)ma+mb+mc=( )2.

3.归纳:把一个多项式化为几个整式的乘积形式,这就是因式分解(也叫分解因式).

4.反思:①分解因式的对象是_______,结果是_______的形式. ②分解后每个因式的次数要 (填“高”或“低”)于原来多项式的次数. 二、探究学习,获取新知

1.公因式的概念.

⑴一块场地由三个矩形组成,这些矩形的长分别为a,b,c,宽都是m,用两个不同的代数式表示这块场地的面积.

① ________________________, ②___________________

⑵填空:①多项式2x?6有 项,每项都含有 , 是这个多项式的公因式.

②3x2+x3有 项,每项都含有 , 是这个多项式的公因式. ③ma+mb+mc有 项,每项都含有 , 是这个多项式的公因式. ※多项式各项都含有的 ,叫做这个多项式各项的公因式. 2.提公因式法分解因式.

如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以 ,从而将多项式化成两个 的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.如:ma+mb+mc=m(a+b+c)

3.辨一辨:下列各式从左到右的变形,哪是因式分解?

(1)4a(a+2b)=4a2+8ab; (2)6ax-3ax2=3ax(2-x); (3)a2-4=(a+2)(a-2); (4)x2-3x+2=x(x-3)+2.

(5)36a2b?3a?12ab (6)bx?a?x?

?

b?a??

?

x? 4. 试一试: 用提公因式法分解因式:

(1)3x+6=3( ) (2)7x2-21x=7x( )

(3)24x3+12x2 -28x=4x( ) (4)-8a3b2+12ab3c-ab=-ab( ) 5.公因式的构成:①系数:各项系数的最大公约数;②字母:各项都含有的相同字母;③指数:相同字母的最低次幂.

6.方法技巧: (1)、用提公因式法分解因式的一般步骤:a、确定公因式b、把公因式提到括号外面后,用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.

(2)、为了检验分解因式的结果是否正确,可以用整式乘法运算来检验. 三、理解运用,巩固提高

1.把下列多项式分解因式:(1)-5a2+25a (2)3a2-9a 分析(1):由公因式的确定方法,我们可以这样确定公因式:

①定系数:系数-5和25的最大公约数为5,故公因式的系数为( ) ②定字母:两项中的相同字母是( ),故公因式的字母取( ); ③定指数:相同字母a的最低指数为( ),故a的指数取为( ); 所以,-5 a2+25a 的公因式为:( ) 2.练一练:把下列各式分解因式:

(1)-4x+2x2 (3)-8m2 n-2mn (3)a2b-2ab2 +ab (4)3x3–3x2

–9x

(3)-20x2y2-15xy2+25y3 (4)-4a3b3+6a2b-2ab (5)6a(m-2)+8b(m-2)

3. 分解因式:(1)a(a+1)+2(a+1) (2)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)

(3)4(x-y)3-8x(y-x)2 (4)(1+x)(1-x)-(x-1) 四、实践应用,提高技能

1.下列各式中,从等式左边到右边的变形,属因式分解的是 (填序号) ①x2?y2?1??x2?y2? ②x2?y2??x?y??x?y? ③x4?y4??x2?y2??x2?y2? ④?x?y?2?x2?2xy?y2

2.若分解因式x2?mx?15??x?3??x?n?,则m的值为 . 3.把下列各式分解因式:

⑴8m2n+2mn ⑵12xyz-9xy2 ⑶ 2a(y-z)-3b(z-y)

4.利用因式分解计算:21×3.14+62×3.14+17×3.14

3.把下列各式分解因式:①12a2b+4ab = ②-3a3b2+15a2b3 = ③15x3y2+5x2y-20x2y3 = ④-4a3b2-6a2b+2ab =

⑤4a4b-8a2b2+16ab4 = ⑥ a(x-y)-b(x-y) = 4.已知a+b=5,ab=3, 求a2b+ab2的值.

课题:14.3.2 公式法(第11课时)

学习目标:1.经历用平方差公式法分解因式的探索过程,理解公式中字母的意义。

例3 把下列各式分解因式:⑴t2+22t+121; ⑵m2+

12

n-mn. 4

2.会用平方差公式法对多项式进行因式分解。 3.体会从正、逆两个方面认识和研究事物的方法。

学习重、难点:应用平方差公式分解因式;正确运用平方差公式进行因式分解. 学习过程:

一、复习与交流:(-x+3)(-x-3)= (3a+2b)(3a-2b)= 二、创设情境、引入课题:自学课本P116-119,完成下列问题。 1.公式法分解因式在此公式是指什么公式? 2.什么条件下可以用平方差公式进行因式分解? 3.如何将多项式x2-1和9x2-4分解因式?

4.我们在学习整式乘法时用到了完全平方公式,其公式内容为 。像用平方差公式逆过来用可以分解因式一样,若把完全平方公式逆过来,就得到a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2。这样,我们就可以利用它们对多项式进行因式分解了。

三、一起探究,解决问题:

你能像分解x2-1和9x2-4一样将下面的多项式分解因式吗? ⑴p2-16= ; ⑵y2-4= ;

⑶ x2-1

= ; ⑷a2-b29

= .

实际上,把平方差公式 (a+b)(a-b)= a2-b2 逆过来,就得到 a2-b2=(a+b)(a-b)。

那么,一个整式只要表示成两个整式的平方差的形式,就可以用平方差公式分解因式,

这种分解因式的方法叫做 。

例1 把下列各式分解因式:⑴36- a2; ⑵4x2-9y2.

例2 把下列各式分解因式:⑴ a3-16a; ⑵2ab3-2ab.

例4 把下列各式分解因式: ⑴ax2+2a2x+a3 ⑵(x+y)2-4(x+y)+4

我们看到,凡是可以写成a2+2ab+b2或a2-2ab+b2这样形式的多项式,都可以用完全平方公式分解因式,即可以把它们化为(a+b)2或(a-b)2的形式。因此,我们把形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为 。 四、随堂练习

1.下列多项式,能用平分差公式分解的是( ) A.-x2-4y2 B.9 x2+4y2 C.-x2+4y2 D.x2+(-2y)2

2. 分解因式:25-(m+2p)2 = 3.分解因式:2ax2-2ay2= 4.分解因式:x5-x3= . 5. 分解因式:a2-(a+b)2= . 6. 分解因式:9(m+n)2-16(m-n)2

7. 36x2?kx?16是一个完全平方式,则k的值为( ) A.48 B.24

C.-48

D.±48

8. 分解因式4n3?4n2?n=.

9. 当a=3,a-b=1时,a2-ab的值是 .

10.在多项式2a+1中添加一个单项式,使其成为一个完全平方式,则添加的单项式为 .

11.分解因式:2mx2+4mx+2m = 五、拓展练习

1.用简便方法计算:(1)20012-4002+1 (2) 9992 (3 ) 20022

2.小明说:对于任意的整数n,多项式(4n2+5)2-9都能被8整除.他的说法正确吗?说明你的理由。

因式分解复习(第12课时)

学习目标:

1.理解因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式,是整式乘法的逆变形. 2.使学生灵活应用乘法公式进行分解因式,注意因式分解的彻底性. 3.培养良好的逆向思维,形成代数意识,和严谨的学习态度. 学习重点难点:能灵活应用因式分解的常用方法进行分解因式.

关键:抓住乘法公式的结构特征应用于多项式的分解,注意检验多项式是否分解彻底了.

学习过程:

一、知识回顾,巩固基础

1.提问:(1)什么叫做因式分解?

(2)因式分解的常用方法有哪些?应注意些什么? (3)整式乘法和因式分解有什么区别? 2.点评:复习因式分解时就强调下列几点:

(1)一个多项式进行分解因式,首先应考虑有没有公因式,?如果有公因式应提取,而且要提取彻底.(2)分解因式要分解到不能再分解为止,?一般没有特殊说明是在有理数范围内分解因式.(3)分解结果中的每一个因式应当是整式. (4)分解结果若出现相同因式,应写成幂的形式. 二、参与其中,探究新知

例1. 分解因式9(x+3)2(3x-2)+(2-3x) 解:

例2 . 分解因式4(x+2y)2-81(x-y)2

解:

三、随堂练习,巩固新知

1.下列变形中,从左到右是因式分解的是( )

A.mx+nx-n=(m+n)x-n B.21x3y3=3x3·7y3 C.4x2-9=(2x+3)(2x-3) D.(3x+2)(x-1)=3x2-x-2 2.用提公因式法分解因式.

(1)-20a-25ab (2)-a3b2-3a2b3

(3)9a3x2-27a5x2+36a4x4 (4)am-am+1

(5)a2(x-2a)2-a(2a-x)2 (6)(x-m)3-m(x-m)

3.用公式法分解因式.

(1)a2-36b2 (2)-9x2+16y2

(3)144x2-256y2 (4)-z2+(x-y)2 (5)(a+2b)2-(x-3y)2

4.分解因式:

(1) mn(m-n)-m(n-m)2 (2) x(x-y)3-x2(y-x)3

(3) 4(a+2b)2-25(a-b)2 (4) (x+y)2

+4(x+y)+4

(5) p2(a-1)+p(1-a) (6) 2x3-8x

四、全课小结,提高认识

1.本节主要内容有:因式分解和因式分解的方法,?学习了提公因式法和公式法.2.应充分感受到因式分解的过程与整式乘法恰好相反、?掌握检验因式分解的正确性的方法.

3.应灵活应用乘法公式进行因式分解,注意解题的完整性,?和因式分解结论的要求.

五、达标检测,体验成功 (一)、判断题: 1.(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4 ( )

2.a2-ab+1212

4b=(2

b-a) ( )

3.4a+6a+8a=2a(2a+3a+4a) ( )

4.分解因式a3-2a2+a-1=a(a-1)2-1 ( )

5.分解因式(x-y)2-2(x-y)+1=(x-1)2 ( )

(二)、填空题:

6.若n为整数,则(2n+1)2-(2n-1)2一定能被________整除. 322

25. 6a(m-2)+8b(m-2) 26.2x4-32y4

27.(a-b)+2m(a-b)-m2(b-a)

7.因式分解-x3y2-x2y2-xy=_______

8.因式分解(x-2)2-(2-x)3=_______ 9.因式分解(x+y)2-81=_______ 10.因式分解1-6ab3+9a2b6=_______

11.当m______时,a2

-12a-m可以写成两数和的平方. 12.若4a2-ka+9是两数和的平方,则k=_______.

13.利用因式分解计算:1998×6.55+425×19.98-0.1998×8000=________. (三)、选择题:

14.下列各式从左边到右边的因式分解中,正确的是( ) A.x2+y2-2xy=(x+y)2-2xy

B.(m-n)(a-b)2-(m+n)(b-a)2=-2n(a-b)2 C.ab(a-b-c)=a2b-ab2-abc D.am+am+1=am+1(a+1)

15.把a2

(x-3)+a(3-x)分解因式,结果是( ) A.(x-3)(a+a) B.a(x-3)(a+1)

C.a(x-3)(a-1) D.a2

(3-x)(1-a)

16.若x2

+mx+4能分解成两个一次因式的积,则m为( )

A.±1 B.±5 C.±2 D.±4 (四)、把下列各式分解因式:

17. ma+mb 18. 5y3-20y2 19. a2x2y-axy2

20. -4kx-8ky 21. a2b-2ab2 +ab 22. 3x3–3x2

–9x

2y2-15xy2+25y3 24. -24x3+28x2-12x

28.ab2(x-y)-ab(y-x)

30.1

m4+2m24n+4n2 31 32.(x+y)2-4z2 33 .125a2(b-1)-100a(1-b).-a4+2a2b2-b4

.25(3x-y)2-36(3x+y)2 29 23. -20x

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