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直线和圆

发布时间:2013-11-05 11:39:14  

回忆
d1
O

点与圆的位置关系
A d3 C d2

r

B

数量特征

点A在圆内
点B在圆上 点C在圆外

d1 ? r d2 ? r
d3 ? r

课题:直线与圆的位置关系
如果把点换成一条直线, 直线和圆又有哪几种位置关系?

尝试活动
请同学们在纸上画一个圆,把直尺边缘看成一条直线, 任意移动直尺,观察有几种位置关系?

直线与圆有三种位置关系 O O O 相切 相交 (1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交。 这时直线叫做圆的割线。 相离

l

(2)相切:直线与圆有唯一个公共点时,叫做直线和圆相切。
这时直线叫做圆的切线。

(3)相离:直线与圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。

探索与发现

直线与圆位置关系的数量特征

O O d1 r

r

O d2 相切

r

d3

相离

相交 (1)直线 l 和 ⊙O 相交 (2)直线 l 和 ⊙O 相切 (3)直线 l 和 ⊙O 相离

d1 ? r d2 ? r
d3 ? r

符号“ ”读作“等价于”。它表示从左端可以推出右端 并且从右端也可以推出左端。

练习1:
已知圆的直径为13cm,如果直线和圆心的距离为: (1) d =4.5cm 时,直线与圆的位置关系是 相交 , 有 两 个交点; (2) d =6.5cm时,直线与圆的位置关系是 相切 , 有 一 个交点; (3) d =8cm时,直线与圆的位置关系是 相离 , 0 有 个交点。
6.5 4.5 8

例 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 3 cm , BC = 4 cm , 以
C 为圆心,r 为半径的圆与 AB 有怎样的关系?为什么? (1)r = 2 cm ; (2) r = 2.4 cm ; (3) r = 3 cm . B D C A

解: C 作 CD⊥AB 于 D,在 Rt △ABC 中, 过

AB ? AC 2 ? BC 2 ? 32 ? 42 ? 5
根据三角形面积公式有 CD ·AB = AC ·BC

?

AC ? BC 3 ? 4 CD ? ? ? 2.4(cm) AB 5
即圆心 C 到 AB 的距离 d = 2.4 cm.

(1)当 r = 2 cm 时, 有 d > r ,因此⊙O 和 AB 相离. (2)当 r = 2.4 cm 时, 有 d = r ,因此⊙O 和 AB 相切. (3)当 r = 3 cm 时, 有 d < r ,因此⊙O 和 AB 相交.

练习2:

在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 3 , AB = 5 , 以 C 为圆心, r 为半径作圆,那么: (1)直线AB与⊙ C相离时, r 的取值范围是 0 ? r ? 2.4 ; (2)直线AB与⊙ C相切时, r 的取值范围是 (3)直线AB与⊙ C相交时, r 的取值范围是

r ? 2.4 r ? 2.4

; ;

B
点 悟

D
C A

当圆心到 直线的距离一 定时,圆与直 线的位置关系 由这个圆的半 径大小确定。

练习3:
如图,已知∠AOB=300,M为OB上一点,且OM=5cm, 以M为圆心,以 r 为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系? 为什么? A (1) r =2cm; N (2) r =2.5cm; (3) r =4cm。 B O 解 : 过M作MN⊥OA于N M ∵ ∠AOB=300

1 1 ∴MN= ×OM= ×5= 2.5cm 2 2
即圆心M到直线OA的距离是d=2.5cm . (1)当 r = 2cm 时, r <d,因此⊙M与OA相离。 (2)当 r = 2.5cm 时, r =d ,因此

⊙M与OA相切。 (3)当 r = 4cm 时, r >d ,因此⊙M与OA相交。

1、直线 与圆的位置关系表: 直线和圆的位置关系 相交

公共点个数
圆心到直线距离 d 与半径 r 关系 公共点名称 直线名称

2
d<r

相切 1 d=r

相离 0 d>r 无 无

交点
割线

切点
切线

2、(1)利用了分类的思想把直线和圆的位置关系分为三类 讨论; (2)用了数形结合的思想,通过 d 与 r 这两个数量之间的关系 来研究直线和圆的位置关系。

作业:
2 课本 58页
( 求

3cm 习题6.3

第 2,3题


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