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24.2点、直线、圆和圆的位置关系(1)

发布时间:2013-11-05 12:39:03  

(第一课时)

“大漠孤烟直,长河落日圆”

一、课前预习,引入新知
1、点和圆的位置关系有几种?判断依据是什么?
(1)d<r (2)d=r (3)d>r 点在圆内 点在圆上 点 在圆外

2、“大漠孤烟直,长河落日圆” 是唐朝诗人王 维的诗句,它描述了黄昏日落时分塞外特有的景 象。那么太阳在升起的过程中与地平线有几种位 置关系?每种情况下直线与圆各有几个交点?

(2)请思考:如果我们把太阳看作一个圆,海平线看 作一条直线,在太阳升起的过程中,直线与圆的公共 点的个数是否发生了变化?可分为几种情况呢?

(2)请思考:在太阳升起的过程中,如果我们把太阳看 作一个圆,海平线看作一条直线,直线与圆的公共点的 个数是否发生了变化?可分为几种情况呢?

(2)请思考:在太阳升起的过程中,如果我们把太阳 看作一个圆,海平线看作一条直线,直线与圆的公共 点的个数是否发生了变化?可分为几种情况呢?

3.在纸上画一条直线,把硬币的边缘看 作圆,在纸上移动硬币.

你能发现直线与圆的公共点个数的变 化情况吗?公共点最少时有几个?最多 时有几个?
● ●

O


O

O

二、课中研讨

通过实验,你认为直线和 圆的位置关系会有哪几种情 况?

直线与圆的位置关系
(用公共点的个数来区分) 直线和圆有两个公共点, 特点:
叫直线和圆相交, 这时的直线叫做圆的割线。 直线和圆有唯一的公共点, 特点: 叫做直线和圆相切。 这时的直线叫切线, 唯一的公共点叫切点。 直线和圆没有公共点, 特点: 叫做直线和圆相离。
.O

.
A

.O

.
B l

.
切点 A

l

.O

l

练习:看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
(1) (2)
· O

(3) l
· O

l
· O

l 相离 (4) 相交 (5) 相切

· O

相交

l


l

· O

(5)



· O

l

如果,公共点的个数不好判断, 该怎么办? “直线和圆的位置关系”能否像 “点和圆的位置关系”一样进行数 量分析?

2、在上图中分别作出圆心到直线的垂线段, 设垂线段的长为d,圆的半径为r,比较不同 位置关系下d与r的大小关系。
①直线与圆相离 ② 直线与圆相切 d>r d=r

③ 直线与圆相交

d<r

3、归纳:直线和圆的位置关系的性质和判定(用圆心 o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分)
.O

1、直线和圆相离

d

> r
d

r ┐ l

2、直线和圆相切

d

= r

.o d r ┐

l

3、直线和圆相交

d < r

.O d r ┐

l

练习与例题
1、已知圆的直径为13cm,设直线和圆心的距离为d : 2 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有____个公共点. 1 相切 2)若d=6.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. 相离 0 3)若d= 8 cm ,则直线与

圆______, 直线与圆有____个公共点. 2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm 2)若AB和⊙O相切, 则 ;

d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm . 相交 3.直线和圆有2个交点,则直线和圆_________; 相切 直线和圆有1个交点,则直线和圆_________; 相离 直线和圆有没有交点,则直线和圆_________;

4.已知⊙O的半径为3,点A在直线l上,点A 到⊙O的圆心O的距离为3,则l与⊙O的位置关 系为 D 。 A.相离
O

B.相切

C.相交

D.相交或相切
O

·
A

·

A

l

l

5. 若d和R是方程 x2-4x+m=0 的两个实数根, 且直线L与⊙O相切,则m= 4 .

总结:
判定直线 与圆的位置关系的方法有____种: 两
直线 与圆的公共点 (1)根据定义,由________________

的个数来判断; 圆心到直线的距离d与半径r (2)根据性质,由_________________ 的关系来判断。

在实际应用中,常采用第二种方法判定。

例1、在Rt

ABC中,∠ C=90°,AC=3cm, BC= 4cm, (3)r=3cm

则以C为 圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系? (1)r =2cm, (2) r =2.4cm

解: 过C点作CD⊥AB,垂足为D ∵ ∠ C=90°,AC=3cm, BC= 4cm, ∴ AB = 5 1 1 ∵S ABC = AC×BC= AB×CD
3 A

C 4 D B

∴3×4 = 5×CD 12 即d = 2.4 ∴ CD = 5 (1)当r =2cm 时 , d > r ∴ 圆与AB相离 (2)当r =2.4cm 时 , d = r∴ 圆与AB相切 (3)当r =3 cm 时 , d < r ∴ 圆与AB相交

2

2

变式一
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm, BC=4cm,以C为圆心,r为半径作圆。 0cm<r<2.4cm 1、当r满足________________时, ⊙C与直线AB相离。
d=2.4c m

B
r=2.4cm 2、当r满足____________ 时, ⊙C与直线AB相切。 r>2.4cm 3、当r满足____________时, ⊙C与直线AB相交。

5

4
C 3

D

A

r=2.4cm 当r满足___________ _____________ 或3cm<r≤4cm 时,⊙C与
线段AB只有一个公共点.

在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=3cm,BC=4cm, 以C为圆心,r为半径作圆。

B

5
4
D

d=2.4cm

C

3

A

例2:如图,⊿ABC中,∠C=90°,∠A=30°,O为AB 上 一点,BO=m, ⊙O的半径为

⑴当m为何值时,直线BC与⊙O相切; ⑵当m在什么范围内取值时,直线BC与⊙O相离、相交?

例3:如图,点A是一个半径为300m的圆形森林公园的中心, 在森林公园附近有B,C两村庄,现要在B,C两村庄之间修 一条长为1000m的笔直公路将两村连通, 现测得∠ABC=45°, ∠ACB= 30°.问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计 算进行说明.

A

45°

30°

B

D

C

五、总结反思,拓展新知
1.小结:直线与圆的位置关系
直线与圆的 位置关系

相交
O r

相切
O

相离
O d
l

r l





d

l

d

r

公共点个数

公共点名称
直线名称 圆心到直线距 离d与半径r的 关系

2个 交点 割线 d<r

1个 切点 切线 d=r

没有

d>r

2.如图,已知正方形ABCD的边长为a,AC与

BD交于点E,过E作FG∥AB分别交AD、BC 于F、G,问以B为圆心, 为半径的圆与直 线AC、FG、DC的位置关系如何?为什么?
提示:分别是相切,相交,相离。因为 容易证明△ABC是等腰直角三角形,BE 是斜边上的高,于是有AB=√2*BE, BE=(√2/2)*a 所以此圆经过点E,因为 BE⊥AC,所以AC与圆相切;因为FG经 过点E且不垂直于AC,所以FG与圆相交; 因为点B到直线DC的距离等于a,大于 半径(√2/2)*a,所以DC与圆不相交。

再见


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