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轴对称复习课件1

发布时间:2013-11-06 09:42:50  

第十二章 轴对称

一.轴对称图形
? 把一个图形沿着一条直线折叠,如果直 1、轴对称图形: 线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴 对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说 这个图形关于这条直线(成轴)对称。

?2、轴对称: 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它 能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这 条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的 点是对应点,叫做_对称点_____.

知识回顾: 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形
A

轴对称
A'

图形
B

A

区别

(1)轴对称图形是指(一个 ) (1)轴对称是指(两个)图形 具 有特殊形状的图形, 的位置关系,必须涉及 只对( 一个 ) 图形而言; ( 两个 )图形; 不一定 只有一条 (2)只有(一条)对称轴. (2)对称轴( ) 如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分,那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称. 如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体,那 么它就是一个轴对称图形.

C

B

C

C'

B'

联系

4、轴对称的性质:
①关于某直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称 轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所 连线段的垂直平分线。 ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直 平分,那么这两个图形关于这条直线对称。

练习:
1、国旗是一个国家的象征,观察下面的国旗,是轴对称 图形的是( C )
A.加拿大、韩国、乌拉圭 C.加拿大、瑞典、瑞士 B.加拿大、瑞典、澳大利亚 D.乌拉圭、瑞典、瑞士

加拿大

韩国

澳大利亚 乌拉圭

瑞典

瑞士

2、小明照镜子的时候,发现T恤上的英 文单词在镜子中呈现“ ”的样子, 请你判断这个英文单词是( A ) (A) (C) (B) (D)

3、△ABC与△DEF关于直线L成轴 对称,则∠C是多少度?
L

A
650
40?

D
65?

750

B

C

F

E

已知:P为?MON内一点。P与A关于ON对称, 3. P与B关于OM对称。若AB长为15cm 求:PCD的周长. ?
解: ? P与A关于ON对称 ? ON为PA的中垂线(
A

N

D P

? DA=DP(
O



C

M

同理可有:CB=CP ?? PCD周长=PC+PD+CD

B

?? PCD周长=BC+AD+CD=AB 又AB= 15cm ?? PCD周长为15cm

二.线段的垂直平分线
1、什么叫线段垂直平分线? 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线, 叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。 2、线段垂直平分线有什么性质? 线段垂直平分线上的点与这条线段的 两个端点的距离相等 (纯粹性)。 你能画图说明吗?

3.逆定理:与一条线段两个端点距离相等的点, 在线段的垂直平分线上。(完备性)

4.线段垂直平分线的集合定

义:
线段垂直平分线可以看作是 与线段两个端点距离相等的所 有点的集合。
C B A

m

F

D

MN⊥AF于P AP = AF

1、图中的对称点有哪些? 2、点A和F的连线与直线MN 有什么样的关系?

M

p
A

F

直线MN垂直且平分线段AF
定义:经过线段的中点并 且垂直于这条线段,就叫 这条线段的垂直平分线, 也叫中垂线。
C B

Q
D

G
N 图中的两个三角形关于直线MN对称

E

轴对称的性质:

直线MN垂直 平分线段AF、 CD、BE
A

M

如果两个图形关于某 条直线对称,那么对称轴 是任何一对对称点所连线 段的垂直平分线。
即对称点的连线被对称轴 垂直平分。
类似地,轴对称图形的对称
B

p
F

Q
C D

G
N

E

轴,是任何一对对称点所 连线段的垂直平分线。

P.

.Q

动动手,你也会有发现!
画线段AB的垂直平分线L,在L上取任意点P,? 一量 量 点P到A与B的距离,你有什么发现?再取几个点试试。你 能说明理由吗?

结论:线段垂直平分线上的点与这条线段两 个端点的距离相等.
反过来,若AP=BP, 则P在线段AB的垂直平分线上。 结论:与一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点 距离相等的所有点的集合.

1、因为 AD为BC的中垂线 ,所以AB=AC。 线段垂直平分线上的点与这条 理由:
线段两个端点的距离相等.

A
B D C

2、因为 AB=AC ,所以A在线段BC的中垂线上 与一条线段两个端点距离相等的 理由:
点,在这条线段的垂直平分线上。

3、如图, NM是线段AB的中垂线, 下列说法正确的有:①②③ 。 ①AB⊥MN,②AD=DB, ③MN⊥AB, ④MD=DN,⑤AB是MN的垂直平分线

M

A

D N

B

4、下列说法:①若直线PE是线段AB的垂直平分线, 则EA=EB,PA=PB;②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂 直平分线段AB;③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂 直平分线上的点;④若EA=EB,则过点E的直线垂直 平分线段AB.其中正确的个数有( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

同步导学P26——第1题到第8题
8、如图,若AC=12,BC=7,AB的垂直平分 线交AB于E,交AC于D,求△BCD的周长。
解: ∵ED是线段AB的垂直平分线
A

∴ BD=AD
∵ △BCD的周长=BD+DC+BC
B

E

D

C

∴ △BCD的周长= AD+DC+BC
= AC+BC = 12+7=19

? 例 如图,点A和点B关于某条直线成轴 对称,你能作出这条直线吗?

A

B

? 练习:如图,与图形A成轴对称的是哪 个图形?画出它们的对称轴。

? 问题:对于轴对称图形而言,如何作 出它们的对称轴呢? ? 只要找到任意一组对应点,作出对应 点所连线段的垂直平分线,就得到此 图形的对称轴。

? 你能作出五角星的其它对称轴吗?

? 教材P35页第2题: ? 如图,角是轴对称

图形吗?如果是, 它的对称轴是什么?请画出来。

? 如图,A,B是路边两个新建小区,要 在路边增设一个公共汽车站。使两个 小区到车站的路程一样长,该公共汽 车站应建在什么地方?
B A

学生练习:P37页第9题

? 某地有两所大学和两条相交叉的公路 OA,OB,现计划修建一个物资仓库, 希望仓库到两所大学的距离相等,到 两条公路的距离也相等,请你确定该 点。
A M N B O

? 变式训练:某地有两所大学和两条相 交叉的公路OA,OB,现计划修建一个 物资仓库,希望仓库到两所大学的距 离相等,到两条公路的距离也相等, 请你确定该点。
A M O

B

N

教材P37页第11题。 ? 如图:请找出一点P,使点P到A,B两 点的距离相等,并且点P在∠ACB的平 分线上。
A

B C

? 如图,∠AOB内一点P,P1P2分别为P关 于OA,OB的对称点, P1P2交OA于M,交 OB于N,若P1P2 =5cm,求△PMN的周长。
p1 A M P O N B p2

? 如图,E为∠AOB的平分线上一点, EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D。 求证:OE为CD的垂直平分线。
B D

E

O C

A

? 如图,长方形ABCD沿着AE折叠,使点D 落在BC边上的F点处,如果∠BAF=600 求∠DAE,∠AEF的度数。
A D

E

B

F

C

? 如图,把一张长方形纸片ABCD对折, 使点C落在E处与AD交于点O,请写出图 E 中所有相等的线段。
A O D

B

C

三.用坐标表示轴对称小结: 在平面直角坐标系中,关于x轴对称 的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关 于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐
标相等.
点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为______. (x, - y) (- x, y) 点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为______.

练习
1、完成下表. (抢答)

已知点
关于x轴的对称点 关于y轴的对称点

(2,-3)

(-1,2)

(-6,-5) (0,-1.6)

(4,0)

(2, 3) (-1,-2) (-6, 5) (-2, -3) (1, 2) (6, -5)

(0,1.6) (4,0) (0, -1.6) (-4,0)

2、已知点P(2a+b,-3a)与点P’(8,b+2).
2 4 若点p与点p’关于x轴对称,则a=_____ b=_______. -20 6 若点p与点p’关于y轴对称,则a=_____ b=_______.

例:已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A (-3,5),B(- 4,1),C(-1,3),作出△ABC关于y y 轴对称的图形。
解:点A(-3,5),B(-4,1), C(-1,3),关于y轴对称 点的坐标分别为A’(3,5), B’(4,1),C’(1,3).依次连接 A’B’,B’C’,C’A’,就得到 △ABC关于y轴对称的 △A’B’C’.

A

·

c

C’ ··

B

·

5 4 3 2 1

A’ · B’ ·

-4 -3 -2 -1-10 归纳:(P44)先求出已知图形中的 -2 -3 特殊点(如多边形的顶点或端点)的 对应点的坐标,描出并连接这些点, -4 就可 得到这个图形的轴对称图形.

1 2 3 4 5

x

思考:如图,分别作出点P,M,N关于直线 x=1的对称点, 你能发现它们坐标之间分别 有什么关系吗? x=1 y
P(-2,4) 5 4 3 M(-1,1) 2’ 1

·

P’(4,4)

·
4

M’(3,1)

·

·
1 2 3

5

-4 -3

·

-2 -1

0 -1 -2

x

·

N(-3,-2)

N’(5,-2)

点(x, y)关于直线x=1对称的点的坐标为(2-x, y)

如图,分别作出△ABC关于直线x=1(记为m) 和直线

y=-1(记为n)对称的图形,它们的对应点的坐标 之间分别有什么关系?
Y A(-4,5)

m
D(6,5)

? 如图:

B(-1,3)

F(3,3)

C(-4,1)
O

E(6,1) x X

n

M(-4,-3)

G(-1,-5)

N(-4,-7) 点(x, y)关于直线x=1对称的点的坐标为(2-x, y) 关于直线y=-1对称的点的坐标为(x, -2-y) 点(x, y)关于直线x=m对称的点的坐标为(2m-x, y),关于直线y=n对称的点的坐标为(x, 2n-y)

归纳:若两点(x1,y1)、(x2,y2)关于 直线
x1 ? x2 ) x=m对称,则; X2=2m-x1 (m= 2

y =y
1

2

类似: 若两点(x1,y1)、(x2,y2)关于 直线y=n对称,则 x1=x2 ; y2=2n-y1
y1 ? y2 (n= ) 2

1.如图,△ABC中,边AB、BC的 垂直平分线交于点P。 (1)求证:PA=PB=PC。 (2)点P是否也在边AC的垂直 平分线上呢?由此你能得出什 么结论?

A

P C B

结论:三角形三条边的垂直平分线相 交于一点,这个点到三角形三个顶点 的距离相等。

4.利用轴对称变换作图:
如图:要在燃气管道L上修建一个泵站,分别 向A、B两镇供气,泵站修在管道什么地方, 可使所用的输气管道线最短?
A B L

P

利用轴对称变换作图:
1.有A、B、C三个村庄,现准备要建一所学 校,要求学校到三个村庄的距离相等,请 你确定学校的位置。
A

B

C

归纳:
由一个平面图形可以得到它关于一条 直线L成轴对称的图形,这个图形与原图 形的形状、大小完全相同; 新图形上的每一点,都是原图形 上的某一点关于直线L的对称点; 连接任意一 对对于的对应点的线段 被对称轴垂直平分。

思考
如果有一 个图形和一条直线,如何作出 与这个图形关于这条直线对称的图形呢?

如何画线段AB关于 直线l 的对称线段A′B′?
作法:
l
A

1、过点A作直线l的垂线,

A’

垂足为点O,在垂线上截OA’=OA, 点A’就是点A关 于直线l的对称点;
B B’

2、类似地,作出点B关
于直线l的对称点B’; ∴ 线段A’B’即为所求。 3、连接A’B’.

例1:如图,已知△ABC和直线l,作出与 △ABC关于直线l对称的图形。

分析:△ABC可以由三个 顶点的位置确定,只要能分别作 B 出这三个顶点关于直线l的对称点, 连接这些对称点,就能得到要作 C 的图形。 A 作法: O l 1、过点A作直线l的垂线,垂足 A’ 为点O, 在垂线上截取OA’=OA, C’ 点A’就是点A关于直线l的对 称点; B’ 2、类似地,分别作出点B、C关 ∴△A’B’C’即为所求。 于直线l的对称点B’、C’; 3、连接A’B’、B’C’、

我行了:如图,已知△ABC和直线l,作出与 △ABC关于直线l对称的图形。
B C A C’ B’ l A B’ A’

B
C

l

∴△A’B’C即为所求。 作法: 1、分别作出点A、B关于 直线l的对称点A’、B’; 2、连接A’B’、B’C、 CA’。

∴△AB’C’即为所求。 作法: 1、分别作出点B、C关于 直线l的对称点B’、C’; 2、连接AB’、B’C’、 C’A。

归纳
几何图形都可以看作由点组成, 我们只要分别作出这些点关于对称轴 的对应点,再连接对应点,就可以得 到原图形的轴对称图形; 对于一些由直线、线段或射线组成 的图形,只要作出图形中的一些特殊点 (如线段端点)的对称点,连接对称点, 就可以得到原图形的轴对称图形。

利用轴对称,可以设计出精美的图案。请你用所 学的知识来欣赏下列美丽的图案

要在燃气管道L上修建一个

泵站,分别向A、B两镇供
气,泵站修在管道的什么地

方,可使所用的输气管线最短?

B

A

你可以在L上找几个点试一 试,能发现什么规律吗? 哈,我知道怎样作

C? C

B?

下面的第二个时间可由第一个怎样变换而得到

练习 1.如图,把下列图形补成关于直线l对称的图形。

2.用纸片剪一个三角形,分别沿它一边的中线、 高、角平分线对折,看看哪些部分能够重合, 哪些部分不能重合.

1. 如图,A.B两地在一条河的两岸,现
要在河上建一座桥MN,桥造在何处才 能使从A到B的路径AMNB最短?(假设 ? . 河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)


M
N E
B

作法:1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E, 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置,MN为所建的桥。 证明:由平移的性质,得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处,连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为:

AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, M 在△ACE中,∵AC+CE>AE,


C D

∴AC+CE+MN>AE+MN, 即AC+CD+DB >AM+MN+BN

N

E
B

所以桥的位置建在CD处,AB两地的路程最短。

2. 如图,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同侧,为了方便灌溉作物,? 要在河边建一个抽水站,将河水送到A、B两地,问该站建在河边什么 地方,? 使所修的渠道最短,试在图中确定该点, 可

作法:作点B关于直线 a 的对称点点C,连接AC交直线

a于点D,则点D为建抽水站的位置。 证明:在直线 a 上另外任取一点E,连接 AE.CE.BE.BD, ∵点B.C关于直线 a 对称,点D.E A B · · 在直线 a上,∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, D AE+EB=AE+EC E 在△ACE中,AE+EC>AC, 即 AE+EC>AD+DB 所以抽水站应建在河边的点D处,

a

C

某中学七(4)班举行文艺晚会,桌子摆成两直条(如 图中的AO,BO),AO桌面上摆满了桔子,OB桌面上 摆满了糖果,坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果, 然后回到座位,请你帮助他设计一条行走

路线,使其 所走的总路程最短?

作法:1.作点C关于直线

G O OA 的 对称点点D, A H C 2. 作点C关于直线 OB N . 的对称点点E, E . B 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N, 则CM+MN+CN最短

D M

证明:在直线OA 上另外任取一点G,连接… D ∵点D,点C关于直线OA对称, G M O 点G.H在OA上,∴DG=CG, A H DM=CM, C N . 同理NC=NE,HC=HE, E ∴CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE, . B CG+GH+HC=DG+GH+HE, ∵DG+GH+HE>DE(两点之间,线段最短), 即CG+GH+HC>CM+CN+MN
即CM+CN+MN最短

? 4. 如图:C为马厩,D为帐篷,牧马人某一天要

从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到 河边饮马,然后回到帐篷,请你帮他确定这一 天的最短路线, 作法:1.作点C关于直线
A

F G
O

OA 的 对称点点F, H · C 2. 作点D关于直线 OB D · 的对称点点E, B 3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H, 则CG+GH+DH最短

E

证明:在直线OA 上另外任取一点G,连接… ∵点F,点C关于直线OA对称,点G.M在OA上, F ∴GF=GC,FM=CM, G O M 同理HD=HE,ND=NE, A
∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE, D · E CG+GH+HD=FG+GH+HE, B 在四边形EFGH中, ∵FG+GH+HE>FE(两点之间,线段最短), 即CG+GH+HD>CM+MN+ND 即CM+MN+ND最短

· C

H N

4、如图,在等腰直角三角形ABC中, ∠ACB=90°,点D为BC的中点,DE⊥AB, 垂足为点E,过点B作BF∥AC交DE的延长线 于点F,连接CF, (1)求证:AD ⊥CF (2)连接AF,试判断△ACF的形状,并 C 说明理由。
D F A E

B

F

5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90, DE是AB的垂直平分线,连接AE, ∠CAE:∠DAE=1:2,求∠B的 度数。 C
E

B

D

A

6.如下图△ABC中,AC=16cm, DE为AB的垂直平分线, △BCE的周长为26cm,求BC 的长。
D

A

E B

C

7.如图:在△ABC中,DE是AC的垂直 平分线,AC=5厘米,△ABD的周长等 于13厘米,则△ABC的周长 18厘米 是 。

A E

B

D

C

三.(等腰三角形)知识点回顾

1.等腰三角形的性质 ①.等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角) ②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合。(三线合一) 2、等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等。(等角对等边)

四.(等边三角形)知识点回顾
1.等边三角形的性质: 等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都 等于600 。 2、等边三角形的判定: ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。 3.在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么它 所对的直角边等于斜边的一半。

练习:
1、如图,在△ABC中,AB=AC时,

A

(1)∵AD⊥BC
∴∠ ____= ∠_____;____=____ BAD CAD BD CD (2) ∵AD是中线 ∴____⊥____; ∠_____= ∠_____ BAD AD BC CAD B (3) ∵ AD是角平分线 ∵____ ⊥____;_____=____ AD BC BD CD

D

C

2、“有一个等腰三角形的两条边长 20cm 分别是4cm和8cm,则周长为

3、若等腰三角形的一个角为400, 则另外两个角的度数为 700,700 或 400,1000

4、已知,如图: AB=AC AD=DC=BC 360 则∠A=
A

D C

B

5、已知,如图AB=AB=CD AD=BD 则∠BAC= 1080
A

B D

C

课堂练习:
1、哪个在镜子中的像跟原来的一样?(直 线表示进镜子、垂直放置在纸条前)

口 木 E 目 人 晶
★ ★ ★ ★ ★

S

N 中 田
★ ★

6、如图,在△ABC中, AB=AC=16cm,AB的垂直平分线 交AC于D,如果BC=10cm,那么 26cm △BCD的周长是_______cm.
A

E

D B
C

7、如图,P、Q是△ABC边上的两点, BP=PQ=QC=AP=AQ, 求∠BAC的度数。 A

B

P

Q

C

6、等腰三角形的一个角为100°, 底角为_____ 7、等腰三角形的周长为16cm,腰比 底长2cm,则腰长为_______ 8、等腰三角形的一边长为3cm,另一边 长为8cm,则它的周长是 。
A

9、如下图△ABC中, AC=16cm,DE为AB的垂直平 D 分线, △BCE的周长为26cm, 求BC的长。
B

E
C

作业布置:
已知,如图:△ABC中 AB=AC E为AC延长线上的一点 且CE=BD DE交BC于F (提示:过D作DG∥AE交BC于G 证△DFG≌△EFC即可) 求证:DF=EF A

D C
E

B

G F


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