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2、平面直角坐标系

发布时间:2013-11-07 10:35:44  

平面直角坐标系

【知识回顾】

(一)有序数对:有顺序的两个数a与b组成的数对。

1、记作(a ,b);

2、注意a、b的先后顺序对位置的影响。

(二)平面直角坐标系

1、平面直角坐标系 x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。

2、为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意:x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。

3、点的坐标的概念

对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标。

点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当a?b时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。

平面内的点与有序实数对是一一对应的。

4、不同位置点的坐标的特征:

(1)各象限内点的坐标有如下特征:

点P(x, y)在第一象限?x >0,y>0;

点P(x, y)在第二象限?x<0,y>0;

点P(x, y)在第三象限?x<0,y<0;

点P(x, y)在第四象限?x>0,y<0。

(2)坐标轴上的点有如下特征:

点P(x, y)在x轴上?y为0,x为任意实数。

点P(x,y)在y轴上?x为0,y为任意实数。

特殊位置点的特殊坐标小结:

( (3)点P(x, y)坐标的几何意义:

①点P(x, y)到x轴的距离是|y|;②点P(x, y)到y袖的距离是|x|;

22③点P(x, y)到原点的距离是x?y。

(4)关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征:

①点P(a, b)关于x轴的对称点是P1(a,?b);②点P(a, b)关于y轴的对称点是P2(?a,b); ③点P(a, b)关于原点的对称点是P3(?a,?b)。

补充:点P(a, b分线的对称点为P5(?b,?a)。

(三)坐标方法的简单应用

1、用坐标表示地理位置;2、用坐标表示平移。

利用平面直角坐标系绘制区域内一些点的分布情况平面图,过程如下:

? 建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x轴、y轴的正方向;

? 根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;

? 在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称。

用坐标表示平移:见下图

一、坐标系的建立

【例】某市有A,B,C,D四个大型超市,分别位于一条东西走向的平安大路两侧,如图所示(图中每个小正方形的边长为1个单位长度),请建立适当的直角坐标系,并写出四个超市相应的坐标。

【变式练习2】如图,方格纸上有M,N两点,以N为原点,建立平面直角坐标系,则M点的坐标为(3,4),若以M点为坐标原点建立平面直角坐标系,则N点的坐标为 。

二、点、象限、坐标

1、求点的坐标

【例1】(直接求点的坐标)若点A位于x轴上方,距x轴2个单位长度,且位于y轴左方,距y轴3个单位长度,则A点坐标为 。

【变式练习1】已知点P(x,y)在第二象限,且x?2?3,y?3?4,则点P的坐标为 ;

2【变式练习2】已知点P(x,y)在第四象限,且x?9,y?1?2,则点P的坐标为;

【变式练习3】(2013年乌鲁木齐)对平面上任意一点(a,b),定义f,g两种变换:f(a,b)=(a,-b),如f(1,2)=(1,-2);g(a,b)=(b,a),如g(1,2)=(2,1)。据此得g(f(5,-9))= 。

【例2】(与几何图形结合求点的坐标)已知等边△ABC,点A在坐标原点,B点的坐标为(6,0),则点C的坐标为 。

【变式练习1】正方形OABC的边长为4,若OA与x轴的正方形成60°角,求A、B、C的坐标。

【变式练习2】如图,△ABC中,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(4,3),如果要使△ABD与△ABC全等,那么点D的坐标是 。

【例3】(旋转、折叠求点的坐标)(2013年湖南怀化)如图,在方格纸上建立的平面直角坐标系中,将OA绕原点O按顺时针方向旋转180°得到OA′,则点A′的坐标为 。

【变式练习1】如图,在平面直角坐标系中,OABC是正方形,点A的坐标是(4,0),点P为边AB上一点,∠CPB=60°,沿CP折叠正方形,折叠后,点B落在平面内点B′处,则B′点的坐标为 ;

2、象限内点的坐标特征

【例4】已知P点坐标为(2a?1,a?3)。

①若点P在x轴上,则a= ; ②点P在y轴上,则a= ;

③点P在第三象限内,则a的取值范围是 ; ④点P在第四象限内,则a的取值范围是 。 【变式练习1】已知点P(m?5,n?3)为x轴和y轴的交点,则m= ,n= ;

【变式练习2】点P(x,y)是平面直角坐标系内一点,若xy?0,则点P的位置在 ;若xy?0,则点P的位置在 ;若xy?0,则点P的位置在 ;若x?y?0,则点P的位置在 。

【变式练习3】若a为整数,且点M(3a?9,2a?10)在第四象限,则a?1的值为( )

A.17 B.16 C.5 D.4

3、象限的确定

【例5】如果3x?13y?16?x?3y?2?0,那么点P(x,y)在第 象限,点Q(?x,y?1)在坐标平面内的 位置。

【变式练习1】如果a?b?0,且ab?0那么点(a,b)在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【变式练习2】若点P(x,y)在第四象限,则点M(x?y,y?x)在第 象限。

【变式练习3】(2013年淄博)如果m是任意实数,则点P(m?4,m?1)不可能在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 222

4、点到坐标轴、点到原点、点与点之间的距离

【例6】点P(3,-4)到x轴的距离是( )

A.3 B.4 C.5 D.-4

【变式练习1】坐标轴上到原点距离为4的点是 ;平面直角坐标系中,到原点距离为4的点有 个。

【变式练习2】如果m、n是任意实数,则点P(m,n)到x轴的距离是 ;到y轴的距离 是 ;到原点的距离是 。 【例7】A(1,-2)、B(-2,2)两点间的距离为 的坐标为 。

【变式练习1】在平面直角坐标系中,若点M(1,3)与点的值是 。

【变式练习2】在平面直角坐标系中,O为原点。

(1)点A的坐标为(3,-4),求线段OA的长;

(2)点B的坐标为(2,2),点C的坐标为(5,6),求线段BC的长;若P为线段BC的中点,求P的坐标。

5、一些特殊的点(原点,坐标轴上的点,与坐标轴平行直线上的点,一、三

象限,二四象限角平分线上的点)

【例8】已知M(4,?3)、N(?5,?3),则直线MN与x轴、y轴的位置关系分别

是 。

【变式练习1】在坐标平面内,点P的坐标是(x?1,?x?1),则点P在

象限的角平分线上;点P的坐标是(?x,x?5),且在某象限的角平分线上,则点P在 象限的角平分线上;点P的坐标是(?2x,x?6),且在某象限的角平分线上,则点P在 象限的角平分线上。 22

【变式练习2】已知点A(2,3),点B在某象限的角平分线上且AB∥x轴,则点B的坐标是 。 已知过点A(3,y)和点B(x,?3)的直线平行于y轴,且AB=5,则x、y的值分别是 。

【变式练习3】已知点P(3a?5,?6a?2)在第二、四象限的角平分线上,则a

6、平移、对称

【例9】如图,A、B的坐标为A(1,0),B(0,2),若将线段AB平移到A1B1,则a?b的值为

2013?a= 。

点A1关于x轴的对称点A2的坐标为B1关于y轴的对称点B2的坐标为段A1B1的中点为P,则点P关于原点对称的点P1的坐标为。

【变式练习1】如图,若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变,纵坐标分别变为原来的1,则点A的对应点的坐标是 。

2

【变式练习2】若x?3?y?4y?4?0,则点M(x,y)关于第一、三象限角平分线的对称点的坐标为 ;点M(x,y)关于第二、四象限角平分线的对称点的坐标为 。

【变式练习3】若P(a,8)和Q(7,b)关于y轴对称,则(a?b)20132

22【变式练习4】已知(x?2)?4y?4y?1?0,点M坐标为M(x,y)。

1) 求M点的坐标;

2) 分别求出M点关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标;

3) 求出M点关于第二、四象限角平分线的对称点的坐标。

知识一、坐标系的理解

例1、平面内点的坐标是( )

A 一个点 B 一个图形 C 一个数 D 一个有序数对

学生自测

1.在平面内要确定一个点的位置,一般需要________个数据;

在空间内要确定一个点的位置,一般需要________个数据.

2、在平面直角坐标系内,下列说法错误的是( )

A 原点O不在任何象限内 B 原点O的坐标是0

C 原点O既在X轴上也在Y轴上 D 原点O在坐标平面内

知识二、已知坐标系中特殊位置上的点,求点的坐标 点在x轴上,坐标为(x,0)在x轴的负半轴上时,x<0, 在x轴的正半轴上时,x>0

点在y轴上,坐标为(0,y)在y轴的负半轴上时,y<0, 在y轴的正半轴上时,y>0

第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同(即在y=x直线上);坐标点(x,y)xy>0

第二、 四象限角平分线上的点的横纵坐标相反(即在y= -x直线上);坐标点(x,y)xy<0

例1 点P在x轴上对应的实数是?,则点Py轴上 对应的实数是1,则点Q的坐标是 , 3

例2 点P(a-1,2a-9)在x轴负半轴上,则P点坐标是 。

学生自测

1、点P(m+2,m-1)在y轴上,则点P的坐标是2、已知点A(m,-2),点B(3,m-1),且直线AB∥x轴,则m的值为

3、 已知:A(1,2),B(x,y),AB∥x轴,且B到y轴距离为2,则点B的坐标是4.平行于x轴的直线上的点的纵坐标一定( )

A.大于0 B.小于0 C.相等 D.互为相反数

(3)若点(a ,2)在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上,则a= . (3)已知点P(x-3,1)在一、三象限夹角平分线上,则x= .

5.过点A(2,-3)且垂直于y轴的直线交y轴于点B,则点B坐标为( ).

A.(0,2) B.(2,0)C.(0,-3)D.(-3,0)

6.如果直线AB平行于y轴,则点A,B的坐标之间的关系是( ).

A.横坐标相等 B.纵坐标相等

C.横坐标的绝对值相等 D.纵坐标的绝对值相等

知识点三:点符号特征。

点在第一象限时,横、纵坐标都为 ,点在第二象限时,横坐标为 ,纵坐标为 ,点有第三象限时,横、纵坐标都为 ,点在第四象限时,横坐标为 ,纵坐标为 ;y轴上的点的横坐标为 ,x轴上的点的纵坐标为

例1 .如果a-b<0,且ab<0,那么点(a,b)在( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限, D、第四象限.

例2、如果2y<0,那么点P(x,y)在( ) x

(A) 第二象限 (B) 第四象限 (C) 第四象限或第二象限 (D) 第一象限或第三象限

学生自测

1.点P的坐标是(2,-3),则点P在第象限.

2、点P(x,y)在第四象限,且|x|=3,|y|=2,则P点的坐标是

3.点 A在第二象限 ,它到 x轴 、y轴的距离分别是 、2,则坐标是 ;

4. 若点P(x,y)的坐标满足xy﹥0,则点P在第象限;

若点P(x,y)的坐标满足xy﹤0,且在x轴上方,则点P在第 象限.

'若点P(a,b)在第三象限,则点P(-a,-b+1)在第 象限;

5.若点P(1?m, m)在第二象限,则下列关系正确的是 ( )

A.0?m?1 B.m?0 C.m?0 D.m6.点(x,x?1)不可能在 )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.7.已知点P(2x?10,3?x)在第三象限,则x )

A .3?x?5 B.3≤x≤5 C.x?5或x?3 8.(本小题12分)设点P的坐标(x,y),根据下列条件判定点P在坐标平面内的位置:

(1)xy?0;(2)xy?0;(3)x?y?0.

(2)点A(1-2,?)在第 象限.

(3)横坐标为负,纵坐标为零的点在( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)X轴的负半轴 (D)Y轴的负半轴

(4)如果a-b<0,且ab<0,那么点(a,b)在( )

(A)第一象限, (B)第二象限 (C)第三象限, (D)第四象限.

(5)已知点A(m,n)在第四象限,那么点B(n,m)在第 象限

(6)若点P(3a-9,1-a)是第三象限的整数点(横、纵坐标都是整数),那么a=

知识四:求一些特殊图形,在平面直角坐标系中的点的坐标。

过点作x轴的 线,垂足所代表的 是这点的横坐标;过点作y轴的垂线,垂足所代表的实数,

是这点的 。点的横坐标写在小括号里第一个位置,纵坐标写小括号里的第 个位置,中间用 隔开。

例1、X轴上的点P到Y轴的距离为2.5,则点P的坐标为( )

A(2.5,0) B (-2.5,0) C(0,2.5) D(2.5,0)或(-2.5,0)

例2、已知三点A(0,4),B(—3,0),C(3,0),现以A、B、C为顶点画平行四边形,请根据A、B、

C三点的坐标,写出第四个顶点D的坐标。

学生自测

1、点A(2,3)到x轴的距离为-4,0)到y轴的距离为C到x轴的距离为1,到y轴的距离为3,且在第三象限,则C点坐标是 。

2.若点A的坐标是(-3,5),则它到x轴的距离是y轴的距离是

3.点P到x轴、y轴的距离分别是2、1,则点P的坐标可能为 。

4.已知点M到x轴的距离为3,到y轴的距离为2,则M点的坐标为( ).

A.(3,2) B.(-3,-2) C.(3,-2)

D.(2,3),(2,-3),(-2,3),(-2,-3)

5.若点P(a,b)到x轴的距离是2,到y轴的距离是3,则这样的点P有 ( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6.已知直角三角形ABC的顶点A(2 ,0),B(2 ,3).A是直角顶点,斜边长为5,求顶点C的坐

标 .

7. 直角坐标系中,正三角形的一个顶点的坐标是(0,3),另两个顶点B、C都在x轴上,求B,C的坐标.

8.对于边长为6的正△ABC,建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标.

9.在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(0,0),(0,-5),(-2,-2),?以这三点为平行四边形的三个顶点,则第四个顶点不可能在第_______象限.

10.直角坐标系中,一长方形的宽与长分别是6,8,对角线的交点在原点,两组对边分别与坐标轴平行,求它各顶点的坐标.

11.在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(0,0),(0,-5),(-2,-2),?以这三点为平行四边形的三个顶点,则第四个顶点不可能在第_______象限.

12.(本小题11分)在图5的平面直角坐标系中,请完成下列各题:

(1)写出图中A,B,C,D各点的坐标;

(2)描出E(1,0),F(?1,3),G(?3,0),H(?1,?3);

(3)顺次连接A,B,C,D各点,再顺次连接E,F,G别是什么图形?

13.如图,正方形ABCD以(0,0)为中心,边长为4,求各顶点的坐标.

个封闭图形分图6

14.已知等边△ABC的两个顶点坐标为A(-4,0),B(2,0),求:(1)点C的坐标;(2)?△ABC的面积 知识点五:对称点的坐标特征。

关于x对称的点,横坐标不 ,纵坐标互为 ;关于y轴对称的点, 坐标不变, 坐标互为相反数;关于原点对称的点,横坐标 ,纵坐标 。

例1. 已知A(-3,5),则该点关于x轴对称的点的坐标为_________;关于y轴对的点的坐标为____________;

关于原点对称的点的坐标为___________;关于直线x=2对称的点的坐标为____________。

例2. 将三角形ABC的各顶点的横坐标都乘以?1,则所得三角形与三角形ABC的关系( )

A.关于x轴对称 B.关于y轴对称

C.关于原点对称 D.将三角形ABC向左平移了一个单位

学生自测

1在第一象限到x轴距离为4,到y轴距离为7的点的坐标是______________;在第四象限到x轴距离为5,到y轴距离为2的点的坐标是________________;

3.点A(-1,-3)关于x轴对称点的坐标是 关于原点对称的点坐标是

4.若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称,则

5.已知:点P的坐标是(m,?1),且点P关于x轴对称的点的坐标是(?3,2n),则m?_ ___,n?_____;

6.点P(?1,2)关于x轴的对称点的坐标是y轴的对称点的坐标是关于原点的对称点的坐标是 ;

7.若 M(关于原点对称 ,则 m?_____,n?_____; 3,m)与N(n,m?1)

8.已知mn?0,则点(m,n)在 ;

9

________轴对称;将某一图形的各顶点的纵坐标都乘以________轴对称.

10.点A(?3,4)关于x轴对称的点的坐标是 ( )

A.(3,?4) B. (?3,?4) C . (3, 4) D. (?4, ?3)

11.点P(?1,2)关于原点的对称点的坐标是 ( )

A.(1,?2) B (?1,?2) C (1,2) D. (2,?1)

12.在直角坐标系中,点P(?2,3)关于y轴对称的点P1的坐标是 ( )

A (2,3) B. (2,?3) C. (?2, 3) D. (?2,?3)

(b+2)=0,则点M(a,b)关于y轴的对称点的坐标为_______. 2

13.若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数,则此点一定

在( )

A.原点 B.x轴上 C.两坐标轴第一、三象限夹

角的平分线上

D.两坐标轴第二、四象限夹角的平分线上

知识点六:利用直角坐标系描述实际点的位置。需要根据

具体情况建立适当的平面直角坐标系,找出对应点的坐

标。

例1、(2009绍兴市)如图是绍兴市行政区域图,若上虞市

区所在地用坐标表示为(1,2),诸暨市区所在地用坐标表

示为(?5,?2),那么嵊州市区所在地用坐标可表示为

______________

学生自测:

10.课间操时,小华、小军、小刚的位置如下图左,小华对小刚说,如果我的位置用(0,0)表示,小军的位置用(2,1)表示,那么你的位置可以表示成( )

A.(5,4) B.(4,5) C.(3,4) D.(4,

3)

11.(2008双柏县) 如上右图,小明从点O出发,先向西走40米,再向南走30米到达点M,如果点M的位置用(-40,-30)表示,那么(10,20)表示的位置是( )

A、点A B、点B C、点C D、点D

知识点七:平移、旋转的坐标特点。

图形向左平移m个单位,纵坐标不变,横坐标 m个单位;图形向右平移m个单位,纵坐标不变,横坐标 m个单位;图形向上平移个单位,横坐标 ,纵坐标增加n个单位;向下平移n个单位, 不变, 减小n个单位。旋转的情形,同学们自己归纳一下。

例1. 三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A(2,-1)、B(1,-3)、C(4,-3.5).

把三角形A1B1C1向右平移4个单位,再向下平移3个单位,恰好得到三角形ABC,试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标,并在直角坐标系中描出这些点;在平面直角坐标系中,将点M(1,0)向右平移3个单位,得到点M1,则点M1的坐标为________.

学生自测

2.(本小题10分)矩形ABCD在坐标系中的位置如图3所示,若矩形的边长AB为1,AD为2,则点A,B,C,D的坐标依次为________;把矩形向右平移3个单位,得矩形A?B?C?D?,A?,B?,C?,D?的坐标为________.

3.小华若将平面直角坐标系中一只猫的图案向右平移了3个单位

状,大小都不变,则她将图案上的各点坐标________.

图3

10..平面直角坐标系中一条线段的两端点坐标分别为(2,1),(4,1),若将此线段向右平移1个单位长度, 则变化后的线段的两个端点的坐标分别为_____;?若将此线段的两个端点的纵坐标不变,??横坐标变为原来的2?倍,??则所得的线段与原线段相比_______;若将此线段的两个端点的横坐标不变,纵坐标分别加上1,?则所得的线段与原线段相比_______;若横坐标不变,纵坐标分别减去3,?则所得的线段与原线段相比_________。

19.线段CD是由线段AB平移得到的,点A(-1,3)的对应点C(2,5),则B(-3,-2)的对应点D的坐标为 。

4.在平面直角坐标系中,点P(2,1)向左平移3个单位得到的的点在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

长度,而猫的形

6.将三角形ABC的各顶点的横坐标不变,纵坐标分别减去3,连结所得三点组成的三角形是由三角形ABC( )

A.向左平移3个单位 B.向右平移3个单位

C.向上平移3个单位 D.向下平移3个单位

37.如图,已知直角坐标系中的点A,点B的坐标分别为A(2,4),B(4,0),且P为AB的中点,若将线段AB向右平移3个单位后,与点P对应的点为Q,则点Q的坐标为 ( ) A.(3,2) B.(6,2) C.(6,4)

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