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第七讲 无理数与算术平方根

发布时间:2013-11-07 10:35:47  

“无理数”的由来
公元前 500 年,古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟 子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实, 一个正方形的 对角线与其一边的长度是不可通约的(若正方形边长是 1,则 对角线的长不是一个有理数)这一不可通约性与毕氏学派“万 物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领 导人惶恐、恼怒,认为这将动摇他们在学术界的统治地位。 希勃索斯因此被囚禁,受到百般折磨,最后竞遭到沉舟身亡 的惩处。 毕氏弟子的发现, 第一次向人们揭示了有理数系的缺陷, 证明它不能同连续的无限直线同等看待,有理数并没有布满 数轴上的点, 在数轴上存在着不能用有理数表示的 “孔隙” 。 而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数” 。于是,古 希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续性的设想彻底

地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称 为数学史上的第一次危机, 对以后 2000 多年数学的发展产生 了深远的影响,促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明, 推动了公理几何学与逻辑学的发展,并且孕育了微积分的思 想萌芽。不可通约的本质是什么?长期以来众说纷坛,得不 到正确的解释,两个不可通约的比值也一直被认为是不可理 喻的数。15 世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数” , 17 世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。然而, 真理毕竟是淹没不了的,毕氏学派抹杀真理才是“无理” 。人 们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者,就把不 可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来.

复习 所有的分数都是有理数。
什么是有理数?

正整数
整数 有理数

0 负整数 正分数

分数

负分数

有理数可以表示成小数吗? 把下列各数转化成小数,你有什么发现呢?
4 5 8 2 3, , ,? , . 5 9 45 11

有理数总可以用有限小数或无 限循环小数表示。 反过来,任何有限小数或无限 循环小数也都是有理数。

是否所有的小数都是有理数呢?

有限小数
小数

无限循环小数 无限小数
无限不循环小数

1.怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大 正方形?

(1)设大正方形的边长为a,a满足什么条件? (2)a可能是整数吗?说说你的理由。 (3)a可能是分数吗?说说你的理由。

归纳:在等式a2 =2中,a既不是整数, 也不是分数,所以a不是有理数。 那么a到底是一个怎么样的数呢?

2. 面积为2的正方形边长a究竟是多少?

a2 =2

估算a的整数部分是多少?
? 首先,距离2比较近的平方数有哪些? ∵1<2<4 2 2 2 ∴1 ? a ? 2 ∴1 ? a ? 2 ∴a的整

数部分是1.

a2 =2

估算a的十分位是多少?
∵ 1.1 ? 1.21 1.2 ? 1.44 1.3 ? 1.69
2 2 2

1.4 ? 1.96 1.5 ? 2.25
2 2

又∵1.96 ? 2 ? 2.25 2 2 2 ∴ 1.4 ? a ? 1.5 ∴a的十分位为4.

试一试
? 若 a ? 5 ,求a的整数位和十分位各为多少? (写清楚过程)
2

定义:
无限不循环小数 1)________________称作无理数 有限小数或无限循环小数 2)_________________________称作有理数

请判断下列各数是有理数还是无理数 1)5.010101…… 2)5.01001…(两个1之间依次多1个0) 3)3.1415926 ……(即π的值) 5 4)
7

判断一个数是无理数的条件
? ? ? ? 是小数 是无限小数 是无限不循环小数 (三者缺一不可)

对比与区别
无限 1)5.010101……是______(有限/无 循环 限)_____(循环/不循环)小数;
无限 2)5.010010001……是______(有限/无 不循环 限)______(循环/不循环)小数.

定义:如果一个正数x的平方等于a,即 x2 =a ,那么这个正数x就叫做a的算术平方 根,记为“ a ”,读作“ 根号 a ”。a叫 做被开方数
规定:0的算术平方根是0,即 0 ? 0
非负数

a ≥0

(a≥0)
非负数

算术平方根具有双重非负性

? 例题1. 如图所示 ? (1)以直角三角形的斜边为边的正方形的 面积是多少? ? (2)设该正方形的边长为,则应满足什么 条件? ? (3)是有理数吗?

? 变式练习:如图是由16个边长为1的正方形 拼成的,连接这些小正方形的若干顶点, 得到五条线段CA,CB,CD,CE,CF, 其中长度不是有理数的有 条。

例题2


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