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25.2圆的对称性(3)

发布时间:2013-11-07 13:36:38  

圆心角的概念
B A

O C

我们把顶点在圆心的 角叫做圆心角.
∠AOB ∠COD ∠BOD

D

∠AOC

探 究
如图,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A’OB’ 的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?
A′ B
A′ B

B′

B′

· O

A

O

·

A

A′

根据旋转的性质,将圆
B

B′

O

·

心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A′OB′的位置时, ∠AOB= ∠A′OB′,射线 OA与OA′重合, OB与OB′重合.而同圆的半径 A 相等,OA=OA′,OB=OB′, ∴点 A与 A′重合,B与B′重 合.

∴ AB与A ' B ' 重合,AB与A′B′重合. AB ? A ' B ' AB ? A ' B '.

弧、弦与圆心角的关系定理
前提 条件 等,所对的弦也相等,所对的弦心距相等. 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相

相等 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角_____,所对的弦 同圆或等圆中, 相等 相等 ________,所对的弦心距______; 两个圆心角、两

条弧、两条弦中 在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角______,所对的弧 相等 有一组量相等, _________,所对的弦心距______. 它们所对应的其 相等 相等 余各组量也相 等.

典例分析
例1:如图,在⊙O中, 11111111AC=BD,?1 ? 45?, 求∠2的度数。

解: ∵ AC=BD (已知)
∴ AC-BC=BD-BC (等式的性质) ∴

AB=CD
(在同圆中,相等的弧所 对的圆心角相等)

∴ ∠1=∠2=45°

小练习
一.判断下列说法是否正确:
1相等的圆心角所对的弧相等。( × ) 2相等的弧所对的弦相等。( × ) 3相等的弦所对的弧相等。( × ) 二.如图,⊙O中,AB=CD,
B 1 C D 2 O A

?1 ? 50

?

o ?2 ? ____. 50

典例分析
例2 如图, 在⊙O中, =AC ,∠ACB=60°, AB

求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.

A

证明:

? AB=AC
∴ AB=AC. 又∠ACB=60°, ∴ AB=BC=CA. ∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
B

O

·
C

典例分析 例3、已知,点O为∠A平分线上一点,⊙O分别 交∠A两边于点C、D和点E、F,求证:CD=EF
F

证明:从点O作OG⊥AF, OK⊥AD,垂足分别为G、K ∵OG=OK(角平分线性质) ∴CD=EF
A

G E ● C K O D

小练习
如图,AB、CD是⊙O的两条弦.

AB ? CD (1)如果AB=CD,那么___________, ?AOB ? ?COD _________________.
(2)如果 AB ? CD ,那么____________, AB=CD _____________. ?AOB ? ?COD (3)如果∠AOB=∠COD,那么 AB=CD _____________,_________. AB ? CD
A E

B

O

·
F

D

C

小练习
如图,AB、CD是⊙O的两条弦. (4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD 于F,OE与OF相等吗?为什么?
OE ? OF , 证明: OE ? AB, OF ? CD    ? 1 1 ? AE ? AB, CF ? CD 2 2   又 ? AB=CD    AE=CF ?
C O

A

E

B

·
F

D

  又 ? OA=OC    Rt ?AOE ? Rt ?COF ?     OE ? OF . ?


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