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25.2圆的对称性(2)

发布时间:2013-11-07 13:36:39  

你知道赵州桥吗?

它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人 民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m, 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?

实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折, 重复几次,你发现了什么?由此你能得到 什么结论?

可以发现:圆是轴对称图形,任何一条直径所
在直线都是它的对称轴,它有无数条对称轴.

看一看
C C

.
A

O E B A

.

O
E B

D

D

AE≠BE

AE=BE

AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C

A

M└


O

你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由. B 小明发现图中有: ③AM=BM, 由 ① CD是直径 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ② CD⊥AB

D

⌒ ⑤AD=BD.



垂径定理
则OA=OB. 如图,小明的理由是: 连接OA,OB, 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB,OM=OM, ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. C ∴AM=BM. B ∴点A和点B关于CD对称. M└ ∵⊙O关于直径CD对称,


A

O

∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.

D

⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.



垂径定理 三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分 111弦所对的两条弧.
C

A

M└


如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O

∴AM=BM,

⌒ ⌒ AC =BC,

D

⌒ AD=BD.



AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C

A





M


O

D

你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你 的想法和理由. B 小明发现图中有: ②CD⊥AB, ⌒ ⌒ 可推得 ④AC=BC, 由 ① CD是直径 ⌒ ⌒ ③ AM=BM ⑤AD=BD.

垂径定理的 逆定理
如图,小明的理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB. 在△OAM和△OBM中, ∵OA=OB,OM=OM,AM=BM ∴△OAM≌△OBM. C ∴∠AMO= ∠ BMO. B ∴CD⊥AB M└ ∵⊙O关于直径CD对称, ●O ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
D

A

⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.



平分弦(不是直径)的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧.

典例分析
例1 :如图,已知在⊙O中, 弦AB的长为6厘米,⊙O的半 径为5厘米,求圆心O到AB的 距离。 A E B

. O

解:连结OA。过O作OE⊥AB,垂足为E,
1 1 AB ? ? 6 ? 3(cm) 则AE=BE= 2 2

又∵OA=5cm
∴在Rt△OEA中,有

OE ? OA2 ? AE 2 ? 52 ? 32 ? 4(cm)
因而,圆心O到弦AB的距离为4cm

典例分析
例2:已知:如图,在以O为圆 心的两个同心圆中,大圆的弦 AB交小圆于C,D两点。 求证:AC=BD。

O
E C D B

.

A

证明:过O作OE⊥AB,垂足为E, 则AE=BE,CE=DE。 AE-CE=BE-DE。 所以,AC=BD

判断题
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直

线必垂直弦

③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦

⑦在圆中,如果一条直线经过圆心且平分弦, 必平分此弦所对的弧
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线,将弦所对 的两条弧分别三等分

练 习
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如 图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长) 为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形 高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
37.4m

C
7.2m

A R

D

B

O

解:过桥拱所在的圆心O作AB的垂线,交 ? 于点C,交AB于点D, AB 则CD=7.2 1 1 由垂径定理得,AD= AB ? ? 37.4 ? 18.7 2 2 设圆O的半径为Rm, 在Rt?ADO中,AO=R,OD=R-7.2,AD=18.7 由勾股定理得,AO 2 ? OD 2 ? AD 2 ? R ? ( R ? 7.2) ? 18.7
2 2 2

C A D B

解得,R ? 27.9

R O


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