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24.1锐角三角函数(第2课时)

发布时间:2013-11-07 13:36:40  

复习提问:

1、锐角∠A的正切函数符号如何表 tan A 示?
2、锐角∠A的正切是哪两边的比?
?A的对边 tan A= ?A的邻边

3.在Rt⊿ABC中,∠C=Rt∠,BC=9,AB=15 则锐角∠A的正切值是 3 。
B

4

C

A

想一想

如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时, 它的对边与邻边的比便随之确定。此 时,其它边之间的比值也确定吗?
结论: 在Rt△ABC中,如果锐角A确定时, 那么∠ A的对边与斜边的比,邻 斜边 边与斜边的比也随之确定.
A
B

∠A的对边

┌ ∠A的邻边 C

新知学习:

正弦与余弦

如图:在Rt △ABC中,∠C= 90°,我们把锐角A的对边与斜 边的比叫做∠A的 正弦,记sinA。 如图:在Rt △ABC中, ∠C=90°,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A 的 余弦,记cosA。
BC sinA = AB
AC cosA = AB

BC tanA = AC

注意:
(1)sina,cosa,tana, 都是一个完整的符号, 单独的“sin”没有意义, 其中的“∠”一般省略 不写。 (2)sina表示一个比 值,没有单位。

锐角A的正弦、余弦、正切 统称为∠A的三角函数

例题教学:
例1.在Rt⊿ABC中,∠C=Rt∠,AC=12, ∠B BC=5,求锐角∠A的各三角函数值.
分析:要求出∠A的正弦、余弦,关键是要求出斜边AB的值。 利用勾股定理即可得出AB=13.

A

正弦
12

余弦

正切

C

5

B

5 12 5 cosA= tanA = ∠A sinA = 13 13 12 12 cosB= 5 12 tanB= ∠B sinB= 13 13 5
小结:求锐角三角形函数要紧扣定义,求出需要 的边长度。

深入思考:
? 你能利用直角三角形的三边关系得到sinA 与 cosA的取值范围吗?
B

0<sin A<1,0<cos A<1
A

c

a
b ┌ C

例2.如图,在平面直角坐标系内有 一点P(3,4),连接OP,求OP 与x轴正方向所夹锐角a各个三角函 数值。

y

P(3,4)

解:过点P作x轴作垂线,垂足为0, 在Rt△PQO中,OQ=3,OP=4,
∴ OP =
32+42 =5
0 a

PQ ∴ sina = OP

4 = 5

Q

x

?老师提示: ?求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.

OQ 3 cosa = = OP 5 PQ 4 tana = = OQ 3

12 例3.如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, cos A ? 13 . ?求:AB,sinB. AC 10 12 B 解 : cos A ? ? ? ? . AB AB 13 怎样 10 ?13 65 ┐ 思考? ? AB ? ? . C 10 12 6 AC 10 12 ? sin B ? ? ? . AB 65 13 6 ?老师期望:

A

注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么 内有的关系?

1.判断对错:

BC √ 1) 如图 (1) sinA= ( ) AB
BC (2)sinB= (×) AB
(3)sinA=0.6m (×) (4)SinB=0.8 (√ ) BC 2)如图,sinA= (× ) AB

B 10m 6m C

A

sinA是一个比值(注意比的顺序),无单位;

练一练 2.在Rt△ABC中,锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍,sinA的值( C
A.扩大100倍



1 B.缩小 100

C.不变

D.不能确定

3.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
C

s in B ?

(

)

(

)

?

(

)

(

)

?

(

(

.
)
A

)

┌ D

B

4.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值. ?老师提示: ?模型

“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得 .

2 5.已知sinA= ,求tanA的值。 3
A

C

B

提示:由于sinA= ,所以可以设BC=2K,这样 AB=3K (K>0),由勾股定理就可以求出AC的长,
再利用定义就可以求出tan的值。

2 3

如图:在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB

A
5 B 5

┌ 6 D

C

?提示:过点A作AD垂直于BC于D.

小结

拓展

回味无穷

? 定义中应该注意的几个问题:
? 1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). ? 2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的 正切,习惯省去“∠”号; ? 3.sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且 sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. ? 4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而 与直角三角形的边长无关. ? 5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函 数值相等,则这两个锐角相等.

小结

拓展

回味无穷
B 斜边

? 回顾,反思,深化
1.锐角三角函数定义:

tanA=

?A的对边 ?A的邻边

sinA= 斜边

?A的对边

∠A的对边
A ┌ ∠A的邻边 C

cosA= 斜边

?A的邻边

请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系?


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