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24.3解直角三角形及其应用(1)

发布时间:2013-11-07 13:36:40  

复习

在直角三角形中,我们能够得到哪些 关系呢(边与边、角与角、边与角)?

(1)三边之间的关系:

a ?b ? c
2 2

2

(勾股定理)

(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系:

A c

?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c

?B的对边 b sin B ? ? 斜边 c

b

cos A ?

?A的邻边 b ? 斜边 c ?A的对边 a tan A ? ? ?A的邻边 b

?B的邻边 a cos B ? ? 斜边 c ?B的对边 b tan B ? ? ?B的邻边 a

C

a

B

这样的问题怎么解决
问题: 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所 成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子,问: (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)? (2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角a等于多少(精 确到1°)?这时人是否能够安全使用这个梯子?

问题(1)当梯子与地面所成的角a为75°时, 梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到 的最大高度.
问题(1)可以归结为:在Rt △ABC中,已知 ∠A=75°,斜边AB=6,求∠A的对边BC的长. B

解:

由 sin A ?

BC 得 AB
α

BC ? AB ? sin A ? 6 ? sin 75?
由计算器求得 sin75°≈0.97 所以 BC≈6×0.97≈5.8

A

C

因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m

对于问题(2),当梯子底端距离墙面2.4m时, 求梯子与地面所成的角a的问题,
可以归结为:在Rt△ABC中,已知AC=2.4,斜边AB =6,求锐角a的度数

解:由于

AC 2.4 cos a ? ? ? 0.4 AB 6
α
A

B

利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时,梯子与地面 所成的角大约是66° 由50°<66°<75°可知,这时使用这个梯子 是安全的.

C

探究
在图中的Rt△ABC中, (1)根据∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?

B 能 6

?A ? ?B ? 90 ? ?B ? 90 ? ?A ? 90 ? 75
? ? ?

BC sin A ? ? BC ? AB? A ? 6 ? sin 75? sin AB AC cos A ? ? AC ? AB?cos A ? 6 ? cos 75? AB

α =75° A C

?

探究
在图中的Rt△ABC中,
(2)根据AC=2.4,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? B 能 6

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? BC ? AB2 ? AC 2 ? 62 ? 2.42 ? 5.5

α A 2.4

C

AC 2.4 cos A ? ? cos A ? ? 0.4 ? ?A ? 66? AB 6

A ? B ? 90? ? B ? 90? ? A ? 90? ? 66? ? 24?

解直角三角形
解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程. A

事实上,在直角三角形的六个元素中,

除直角外,如果再知道两个元素(其
中至少有一个是边),这个三角形就 可以确定下来,这样就可以由已知的

b

c

C

a

B

两个元素求出其余的三个元素.

例题解析
?B ? 42

?6' , c ? 287.4 例1、 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
解这个直角三角形
A
287.4

解:

? ?A ? 90? ? 42?6' ? 47?54'
C

42?6'

a 由cos B ? , 得 c
a ? c cos B ? 287.4 ? 0.7420 ? 213.3

B

b 由sinB ? , 得 c b ? c sin B ? 287.4 ? 0.6704 ? 192.7

例题解析 例2 、如图,在Rt△ABC中,∠B=35°,b=20, 解这个直角三角形(精确到0.1)

A b 20 C

解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°
b ? tan B ? a b 20 20 ?a ? ? ? ? 28.6 ? tan B tan 35 0.70
B

c 35° a

b ? sin B ? c b 20 20 ?c ? ? ? ? 35.1 ? sin B sin 35 0.57

你还有其他 方法求出c吗?

例题拓展
例3、在△ABC中,∠A=550,b=20cm,c=30cm。 求三角形的面积S△ABC
解:作AB边上的高CD,在Rt△ACD中 CD=AC· sinA=bsinA

C

? s?ABC

A 0,b=20cm,c=30cm时,有 当∠A=55
1 1 S?ABC ? bc sin A ? ? 20 ? 30sin 55? 2 2 1 ? ? 20 ? 30 ? 0.8192 ? 245.8(cm2 ) 2

1 1 ? AB? ? bc sin A CD 2 2

D

B

练习

在Rt△ABC 中,∠C=90°,根据下 列条件解直角三角形;
(1) a = 30 , b = 20 (2) ∠B=72°,c = 14
B c c=14 B a A

a=30

b

A

b=20 C

C

练习
在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形; (1)a = 30 , b = 20 ;

解:根据勾股定理

B
c

C ? a 2 ? b2 ? 302 ? 202 ? 10 13

a=30

a 30 3 tan A ? ? ? ? 1.5 b 20 2

A

b=20 C

?A ? 56.3

?

?B ? 90? ? ?A ? 90? ? 56.3? ? 33.7?

在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形; (2) ∠B=72°,c = 14.

解:

A

b sin B ? c

c=14
?

b a C

b ? c? B ? 14 ? sin 72 ? 13.3 sin
a cos B ? c

B

a ? c?cos B ? 14 ? cos 72 ? 4.34
?

?A ? 90 ? 72 ? 18
? ?

?

解直角三角形:直角三角形中, 由已知元素求未知元素的过程
∠A+ ∠ B=90°

归纳小结
B
斜边c ∠A的对边a

a2+b2=c2
解直角 三角形
三角函数 关系式

A

┌ ∠A的邻边b C

a b sin A ? ,sin B ? c c b a cos A ? , cos A ? c c a b tan A ? , tan B ? b a
由锐角求三角函数值

计算器 由三角函数值求锐角

P116 练习题

课:第1题
家:第2题


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