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25.4 圆周角(1)

发布时间:2013-11-07 13:36:41  

2013年11月7日

C O A

1、请说出圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。

2、如图,已知∠AOB=80°, B
①求AB弧的度数; 80° ②延长AO交⊙O于点C,连结CB,
则∠C与圆心角∠AOB有什么不同呢?

圆周角: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交
的 角。

判断下列图形中的角是否是圆周角?并说明理由。

找一找:
请找出图中所有的圆周角
D A

O B

图中的圆周角有:
∠BAC ∠BAD ∠BDA ∠DBA ∠DAC

C

想一想;
一个圆的圆心与圆周角在位置上可能有几种 关系?请大家在练习本上画一画.

想一想
一个圆的圆心与圆周角可能有几种关系?
A O B A O C B
D A

.

.
C

O
D B

.
C

在这三个图中,哪个图形最特殊?其余两个可以 转化成这个图形吗?
圆周角∠BAC和圆心角∠BOC所对的弧分别是哪一条?

探索研究:
如果圆周角和圆心角对着同一条弧, 那么这两个角存在怎样的关系?请告诉 大家你的数学猜想。

命题:一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半。

A
A O B B C D O O A

C
D B

C

⌒ 已知:如图,∠BOC和∠BAC分别是BC 所对的圆心角和圆周角
1 求证:∠BAC= ∠BOC 2

A O B C 证明:(1)当圆心O在圆周角 ∠BAC的一边AB上时

∵OA=OC
∴∠BAC=∠C ∵∠BOC是△OAC的外角 ∴∠BOC=∠C+∠BAC

1 ∴∠BAC= ∠BOC 2

=2∠BAC

A
(2)当圆心O在圆周角∠BAC的内部时,过点A作直径

O B D C

AD

1 由(1)得∠BAD= ∠BOD 2 1 ∠DAC= ∠DOC 2 1 ∴ ∠BAD+ ∠DAC= (∠BOD + ∠DOC) 2 1 即: ∠BAC= ∠BOC 2

A
O D C

(3)当圆心O在∠BAC的外部时,过点A 作直径AD,则由(1)得

1 ∠DAC= ∠DOC 2
1 ∠DAB= ∠DOB 2

B

1 ∴ ∠DAC--∠DAB= (∠DOC -2
∠DOB)

1 即:∠BAC= ∠BOC 2

圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
A

⌒ ∵∠BAC和∠BOC都对BC
1 ∴∠BAC= ∠BOC 2
O B C

圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。

1、如图,已知在⊙ O 中,∠BOC =150°,求∠A A

2、已知一条弧所对的圆周角等于500,
则这条弧所对的圆心角是多少度? 3、已知一条弧的度数为400,求这条弧 所对的圆心角和圆周角的度数。 4、一条弧所对的圆心角的度数为960,求这条 弧的度数和它所对的圆周角的度数。 5、一个圆周角对着半圆,则此圆周角的度数是多少? 6、一个圆周角对着圆的一条直径,这个圆周角多少度? O B C

C

推论:

A

O

B

半圆(或直径)所对的 0 圆周角是直角;90 的圆周 角所对的弦是直径。

给你一把直尺和一把圆 规,你能画出公共边为斜边 的一对直角三角形么?

思考:
的圆心.

给你一把直尺,你能确定下列哪一个圆

想一想:
1、已知:∠AOB=100°,求∠ACB的度数

O

A C

B

2、若圆中一条弦把圆周分成1︰5两部 分,则这条弦所对的圆周角为多少度?

例1: 已知

,如图,四边形
ABCD的四个顶点都在⊙O上。
求证:∠B+∠D=1800
A O D C

B E

若∠D=1200,则∠CBE是多少度?

你能解决它吗?
B

A

如图, △ABC是⊙O的内 接三角形,AD是 ⊙O的直 径,∠ABC=500,

O D C

求∠CAD的度数.

课堂总结:

这节课我们都有什么收获?
1、圆周角的定义: 顶点在圆上,两边都与圆相交的角。 2、圆周角定理:

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3、圆周角定理的推论: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 900的圆周角所对的弦是直径。

如图,⊙C经过原点且与两条坐标轴交于点 A和点B,点A坐标为(0,4),M为劣弧上 一点,∠BMO=1200, 求⊙C的半径和圆心C的坐标。
C E B M O A


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