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根与系数的关系

发布时间:2013-11-08 11:38:52  

1.一元二次方程的一般形式是什么?

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

2.一元二次方程的求根公式是什么?

? b ? b ? 4ac 2 x? (b ? 4ac ? 0) 2a
2

3.一元二次方程的根的情况怎样确定?
? ? b2 ? 4ac

? ? 0 ? 两个不相等的实数根 ? ? 0 ? 两个相等的实数根 ? ? 0 ? 没有实数根

填写下表:
方程 两个根
两根 之和 两根 之积 a与b 之间 关系 a与c 之间 关系
c a

x1 x 2 x1 ? x2
x 2 ? 3x ? 4 ? 0

x 2 ? 5x ? 6 ? 0
2

?4 1 2 3 ?1

?3 ?4 6 5
3 ? 2
2

b x1 ? x2 ? a

?3 5

?4 6
1 2

1 ? 2 x ? 3x ? 1 ? 0 2

1 2

3 ? 2

猜想: 如果一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个根 分别是 x1 、 x 2 ,那么,你可以发现什么结论?

已知:如果一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个根分别是 x1 、 x 2 。
2

b 求证: x1 ? x2 ? ? a

c x1 ? x2 ? a

推导:
? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac x1 ? x2 ? ? 2a 2a

? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac ? 2a

? 2b ? 2a
?b ? a

? b ? b ? 4ac ? b ? b ? 4ac x1 ? x2 ? ? 2a 2a
2 2

b ? b ? 4ac ? 2 4a
2 2

?

?

4ac ? 2 4a
c ? a

如果一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

的两个根分别是
b x1 ? x2 ? ? a

x1

、 x2 ,那么:
c x1 ? x2 ? a

这就是一元二次方程根与系数的关系,也叫韦达定理。

? 口答下列方程的两根之和与两根之积。

1. 2. 3. 4. 5.

x ? 2 x ?15 ? 0 2 x ? 6x ? 4 ? 0
2

2 x ? 3x ? 5 ? 0
2

3x ? 7 x ? 0
2

2x ? 5
2

1.已知一元二次方程的 x ? 2x ? 1 ? 0 两 根分别为 x1 , x2,则: 1 ? x2 ? __ x1 ? x2 ? __ x
2

2.已知一元二次方程的 3x ? x ? 6 两根 分别为 x1 , x2,则: 1 ? x2 ? __ x1 ? x2 ? __ x
2

3.已知一元二次方程的 3x ? 9 x ? m ? 0 的一个根为1 ,则方程的另一根为___, m=___:
2

4.已知一元二次方程的 x ? px ? q ? 0 两 根分别为 -2 和 1 ,则:p =__ ; q=__
2

1、下列方程中,两根的和与两根的积各是多少?

?1?.x

2

? 3x ? 1 ? 0
2

?2?.3x

2

? 2x ? 2
2

?3?.2 x

? 3x ? 0

?4?.4 x
2

? 1 ? 2x

2、设 x1 、 x2是方程2 x ? 4 x ? 3 ? 0的根 利用 根与系数的 关系,求下列各式的值:

(1).?x1 ? 1??x2 ? 1?

x2 x1 (2). ? x1 x2

返回

已知 x1 , x2 是方程 2 x2 ? 4 x ? 1 ? 0 2 2 的两个实数根,求 x1 ? x2 的值。 解: 根据根与系数的关系:

1 ? x1 ? x2 ? 2, x1 ? x2 ? 2 2 2 2 ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 1 2 ? 2 ? 2 ? (? ) ? 5 2

例2、利用根与系数的关系,求一元二次方程

2 x ? 3x ? 1 ? 0
2

两个根的;(1)平方和;(2)倒数和 解:设方程的两个根是x1 x2,那么

3 1 x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? ? 2 2 2 ?1?∵ ?x1

? x2 ? ? x12 ? 2 x1 x2 ? x22 ? 3? ? 1 ? 13 ? ?? ? ? 2??? ? ? ? 2? ? 2? 4 1 1 x1 ? x2 ? 3 ? ? 1 ? ?2? ? ? ? ?? ? ??? ? ? 3 x1 x2 x1 x2 ? 2? ? 2?
2

返回

例1.
不解方程,求方程 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的 两根的平方和、倒数和。

二、典型例题

例题1:已知方程 x1,x2, (1)(x1-x2)2
(3)

1 2

x2=2x+1的两根为

不解方程,求下列各式的值。 (2)x13x2+x1x23

x2 x1 ? x1 x2

2.方程 x ? 3kx ? 2k ? 1 ? 0 的两根互
2

为倒数,求k的值。
解:设方程的两根分别为 x1 和 x 2 , x 则:1 ? x2 ? 2k ? 1 而方程的两根互为倒数 即: x1 ? x2 ? 1 所以: k ?1 ? 1 2 得: k ? 1

基 础 练 习

设 X1、X2是方程X2-4X+1=0的两个根,则
X1+X2 = ___ X12+X22 = X1X2 = ____, ;

1 1 ? ? x1 x2

( X1-X2)2 =



x2 x1 ? ? x1 x2

1、如果-1是方程2X2-X+m=0的一个根,则另
3 基 一个根是___,m =____。 -3 (还有其他解法吗?) 2 础 练 2、设 X1、X2是方程X2-4X+1=0的两个根,则 习

4 X1+X2 = ___

,X1X2 =

1 ____,

X12+X22 = ( X1+X2)2 - 2X1X2 = 14 ___ ___

12 ( X1-X2)2 = ( X___ 2 )2 - 4X1X2 = ___ 1+X
3、判断正误: 以2和-3为根的方程是X2-X-6=0 (× ) 4、已知两个数的和是1,积是-2,则这两个数是 2和-1 。 _____

1. 已知方程 5x ? kx ? 6 ? 0 的一个根
2

是2,求它的另一个根及k的值. 2 解:设方程 5x ? kx ? 6 ? 0 的两个根 分别是 x1 、x2 ,其中 x1 ? 2 。 6 x 所以: 1 ? x2 ? 2 x2 ? ? 5 3 x ?? 即: 5 3 k 由于 x1 ? x2 ? 2 ? (? ) ? ? 5 5 得:k=-7 3 ? ,k=-7 答:方程的另一个根是 5
2

例题2:

(1)若关于x的方程2x2+5x+n=0的一个根是 -2,求它的另一个根及n的值。

(2)若关于x的方程x2+kx-6=0的一个根是- 2,求它的另一个根及k的值。

3x ? 9 x ? m ? 0 ? 的一个根为1 ,则方程的另一根为___, ? m=___:
? 1.已知一元二次方程的
2

2、已知方程 3x 2 ? 19 x ? m ? 0 求它的另一个根和m的值。

的一个根是 1,

例2. 2 已知方程 kx ? (2k ? 1) x ? k ? 2 ? 0 的 2 2 x1 、 x 2 , 且 x1 ? x2 ? 3 ,求 两根为 k的值。

4、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0

的两根的平方和比两根之积的3倍少
10,求k的值.

补充规律:
两根均为负的条件: X1+X2 两根均为正的条件: X1+X2 两根一正一负的条件: X1+X2 且X1X2 且X1X2 且X1X2


。 。

当然,以上还必须满足一元二次方程有根的条件:b2-4ac≥0

例6 方程x2?(m?1)x?2m?1?0求m满足什么条件时,

方程的两根互为相反数?方程的两根互为倒数?
方程的一根为零?
解:??(m?1)2?4(2m?1)?m2?6m?5 ①∵两根互为相反数 ∴两根之和m?1?0,m??1,且??0

∴m??1时,方程

的两根互为相反数.

②∵两根互为倒数 ??m2?6m?5, ∴两根之积2m?1?1 m?1且??0, ∴m?1时,方程的两根互为倒数. ③∵方程一根为0,

∴两根之积2m?1?0 m ? 1 且??0,
2 1 ∴ m ? 时,方程有一根为零. 2

引申:1、若ax2?bx?c?0 (a?0 ??0) (1)若两根互为相反数,则b?0; (2)若两根互为倒数,则a?c; (3)若一根为0,则c?0 ; (4)若一根为1,则a?b?c?0 ; (5)若一根为?1,则a?b?c?0; (6)若a、c异号,方程一定有两个实数根.

1.一元二次方程根与系数的关系是什么? 2.应用一元二次方程的根与系数关系时, 首先要把已知方程化成一般形式. 3.应用一元二次方程的根与系数关系时, 要特别注意,方程有实根的条件,即在初 中代数里,当且仅当 b 2 ? 4ac ? 0时,才 能应用根与系数的关系.

请同学们在课后通过以下几道题检测 自己对本节知识的掌握情况:

P36 第6题
P38 第11、12题

本堂课结束了,望同学 们勤于思考,学有所获。

Goodbye! See you next time!


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