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初二数学课件___13.4课题学习 最短路径问题课件

发布时间:2013-11-08 13:35:09  

八年级

上册

13.4 课题学习 最短路径问题

引入新知

引言: 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问 题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.

探索新知
问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访 海伦,求教一个百思不得其解的问题: 从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然 后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短?

B
A l

探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的 知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马 问题”. 你能将这个问题抽象为数学问题吗?

B
A l

探索新知
追问1 这是一个实际问题,你打算首先做什么?

将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直 线. · A· l
B

探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?

(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A, B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地 到饮马地点,再回到B 地的路程之和;

探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?

(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上 面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时, AC 与CB 的和最小(如图). B A
C l

探索新知
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? B · 追问1 对于问题2,如何 A · 将点B“移”到l 的另一侧B′ l 处,满足直线l 上的任意一点 C,都保持CB 与CB′的长度 相等?

探索新知
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识,找到上问中符合条 l 件的点B′吗?

探索新知
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? B 作法: · A (1)作点B 关于直线l 的对称 点B′; (2)连接AB′,与直线l 相交 于点C. 则点C 即为所求.
·

C

l

B′

探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?

·

A

·

B

C

l

B′

探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?

证明:如图,在

直线l 上任取一点C′(与点C 不 重合),连接AC′,BC′,B′C′. B 由轴对称的性质知, · A BC =B′C,BC′=B′C′. · ∴ AC +BC C′ l = AC +B′C = AB′, C AC′+BC′ = AC′+B′C′. B′

探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?

证明:在△AB′C′中, AB′<AC′+B′C′, ∴ AC +BC<AC′+BC′. 即 AC +BC 最短.

·

A

·

B

C′ C

l

B′

探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时,为什么要在直线l 上 任取一点C′(与点C 不重合),证明AC +BC <AC′ +BC′?这里的“C′”的作用是什么? B · A 若直线l 上任意一点(与点 · C 不重合)与A,B 两点的距离 C′ l 和都大于AC +BC,就说明AC + C BC 最小. B′

探索新知
追问2 回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的? B

·

A

·

C′ C

l

B′

运用新知
练习 如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返 回P 处,请画出旅游船的最短路径. C 山

Q
P

河岸

A

大桥

B

运用新知
基本思路: 由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为 一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 的同侧,如何在BC上找到 C 一点R,使PR与QR 的和最 Q 河岸 山 小”. P A
大桥

B

归纳小结

(1)本节课研究问题的基本过程是什么?

(2)轴对称在所研究问题中起什么作用?

布置作业

教科书复习题13第15题.


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