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广东省广州市白云区汇侨中学九年级上数学《24.1.2垂径定理1》课件

发布时间:2013-11-08 13:35:11  

人教版九年级上册

垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平 分弦所对的两条弧。
C

∵ CD是直径,CD⊥AB
O · A

∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
B









E D

垂径定理推论
平分弦(不是直径)的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。
C

∵ CD是直径, AE=BE
O · A

∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.
B









E D

垂径定理的本质是
(1)一条直线过圆心 满足其中任两条,必 定同时满足另三条 (2)这条直线垂直于弦 (3)这条直线平分弦

(4)这条直线平分弦所对的优弧
(5)这条直线平分弦所对的劣弧

判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中,如果一条直线经过圆心且平分弦, 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线,将弦所对 的两条弧分别三等分

E

例1:如图,圆O的弦AB=8 ㎝ , DC=2㎝,直径CE⊥AB于D, 求半径OC的长。
A

O

D B

C

练习1:在圆O中,直径CE⊥AB于 D,OD=4 ㎝,弦AC= 10 ㎝ , 求圆O的半径。
D A

E

O

B

C

C

O

反思:在⊙ O中,若⊙ O的半径r、 A 圆心到弦的距离d、弦长a中, 任意知道两个量,可根据

B

D 定理求出第三个量:

练习
1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O 到AB的距离为3cm,求⊙O的半径. 解:? OE ?

AB

A

E

B

在Rt? AOE中
2 2

1 1 ? AE ? AB ? ? 8 ? 4 2 2
2

O

·

AO ? OE ? AE

AO ? OE 2 ? AE 2 = 32 +42 =5cm
答:⊙O的半径为5cm.

2.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形 ADOE是正方形.
证明: OE ? AC OD ? AB AB ? AC ?

??OEA ? 90

?

?EAD ? 90

?

?ODA ? 90

?

1 1 ∴四边形ADOE为矩形,AE ? AC,AD ? AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A D B E

·
O

3.如图,CD为圆O的直径,弦 AB交CD于E, ∠ CEB=30°, DE=9㎝,CE=3㎝,求弦AB的长。
D

A

F
E O C

B

4.如图,AB是⊙O的弦,∠OCA=300,OB=5cm, OC=8cm,则AB= ;
4


O

5
D

8
30°

A

B

C

垂径定理的应用
例2如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD, 点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点, 且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C E F


?

解:连接OC.

O

设弯路的半径为Rm, 则OF ? ( R ? 90)m. ? OE ? CD, 1 1 D ? CF ? CD ? ? 600 ? 300(m). 2 2 OC 2 ? CF 2 ? OF 2 ,即 根据勾股定理, 得
2

R 2 ? 300 2 ? ?R ? 90? . 解这个方程, 得R ? 545. ? 这段弯路的半径约为545m.

巩固训练 一弓形弦长为4 6 cm,弓形所在的圆的半径为
7cm,则弓形的

高为____.
C

C A

D

B

O

O

A

D

B

4、如图,点A、B是⊙O上两点,AB=8,点P 是⊙O上的动点(P与A、B不重合),连接AP、 BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于 F,EF= 4 。

O

A

E

F

B

P

船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经 过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?

如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P为AB上 的一个动点,那么OP长的取值范围 是 3cm≤OP≤5cm 。

5
A

O

4

3

C

P

B

如图,AB为⊙O的一条直径,它把⊙O分成上、 下两个半圆,从上半圆上一点C作弦CD⊥AB, ∠OCD的平分线交⊙O于P,当点C在半圆上(不 包括A、B两点)移动时,点P的位置会发生怎样 的变化?试说明理由?
C

A

E

O

B

D P

达标检测
一、填空 1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦,并且AB把CD分成3cm和7cm 的两部分,则圆心O和弦AB的距离为 2 cm. 2、已知⊙O的半径为10cm,弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF之间的距离为14cm或2cm .

3、已知⊙O中,弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径 为 5cm .
4、在半径为25cm的⊙O中,弦AB=40cm,则此弦和弦所对的弧的中 点的距离是 10cm和40cm . 5、 ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .

垂径定理的应用





运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问 题,其中弓形是最常见的图形(如图),则弦a,弦 心距d,弓形高h,半径r之间有以下关系:
C
a 2

h d

d+h=r
B

A
r

D

O

?a? r ? d ?? ? ? 2?
2 2

2

1、两条辅助线:
半径、圆心到弦的垂线段
A

O · C B

2、一个Rt△:

半径、圆心到弦的垂线段、半弦 3、两个定理: 垂径定理、勾股定理


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