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有理数的混合运算

发布时间:2013-09-18 19:50:07  

有理数的混合运算
初一数学

在算式 18 ? 32 ? (?2) 2 ? 5 中,含有加、减、乘除及其乘方等多 种运算,这样的运算叫做有理数的混合运算. 怎样进行有理数的运算呢?按什么运算顺序进行呢? 通常把六种基本的代数运算分成三级.加与减是第一级运算,

乘与除是第二级运算,乘方与开方是第三级运算.运算顺序
的规定详细地讲是:先算高级运算,再算低级的运算;同级 运算在一起,按从左到右的顺序运算;如果有括号,先算小 括号内的,再算中括号,最后算大括号.

简单地说:有理数混合运算应按下面的运算顺序进行: 先算乘方,再算乘除,最后算加减; 如果有括号,就先算括号里面的.

例1:计算下列各题:
(1) 36 ? (?
3 3 ) ? 0.6 2

分析:算式里含有乘方和乘除运算,所以应先算乘方, 再算乘除。 解:原式? 36 ? (? ? ?
27 3 )? 8 5 8 3 36 ? (? ) ? 27 5

32 5 点评:在乘除运算中,一般把小数化成分数, ?

以便约分。

5 4 1 (?4) ? (? ) ? (? ) ? ( ) 3 (2) 7 7 2

分析:此题是含有乘方、乘、除、加减法的混合运算,

可将算式分成两段。“-”号前边的部分为第一段,“-”
号后边的部分为第二段,运算时,第一步,应将第一 段的除法变为乘法和计算第二段中的乘方;第二步, 计算乘法;第三步,计算加减法,得出最后结果。 解:原式=
1 =? 5 ? 8
5 7 1 (?4) ? (? ) ? (? ) ? 7 4 8

= ?51 8

(3) (?23 ) ? 22 ? (?3)3 ? 32 分析:此题应先算乘方,再算加减。 解:(?23) ? 22 ?(? 3)3?32? ? 8 ? 4 ? 27 ? 9 ? 24. 注意: ? 2 2 ? (?2) 2 , ? 2 2 ? ?4 , ? (?3) 3 ? 27

3 1 1 5 (4) ? ( ? ) ? 5 3 2 4
分析:先算括号里面的再算括号外面的。 3 1 4 ? (? ) ? 解:原式? 5 6 5 ? ? 2

25

7 5 11 7 (5)( ? ? ) ? (? ) 4 8 12 24

思路1:先算括号里面的加减法,再算括号外面的除法。 解法1:原式 ? ( 42 ? 15 ? 22 ) ? (? ?
24 24 24 49 24 ? (? ) 24 7 7 ) 24

? ?7

思路2:先将除法化为乘法,再用乘法分配律。 解法2:原式? ( 7 ? 5 ? 11 ) ? (? 24 ) ? ? ?
4 8 12 7 7 24 5 24 11 24 ? (? ) ? (? ) ? (? ) ? ? (? ) 4 7 8 7 12 7 15 22 ?6? ? 7 7 15 22 ?6?( ? ) 7 7

? ? 6 ?1 ? ?7

点评: 解法2比解法1简单,是因为在解法2中根据题目 特点,使用了乘法分配律。在有理数的混合运算 中,恰当、合理地使用运算律,可以使运算简捷,

从而减少错误,提高运算的正确率。

例2

计算下列各题: (1)
1 2 12 ? 4 ? (?3 ) ? ( ?2 ) ? ? (? ) ? 5 3 7? 3 ? ?

分析:中括号中各加数化成带分数后,其分子都是4的倍数, 所以本题先把

除法化乘法后,用乘法分配律简单。

1 2 12 ? 4 ? ( ?3 ) ? ( ?2 ) ? ? (? ) (1) ? 5 3 7 ? 3 ? ?

解:原式? (? 16 ? 8 ? 12 ) ? (? 3 )
5 3 7 4

? ? 16 ? (? 3 ) ? 8 ? (? 3 ) ? 12 ? (? 3 ) ? ? ? ?
5 4 3 4 12 9 ?2? 5 7 2 2 (2 ? 2 ? 1) ? ( ? ) 5 7 1 1 3? 2?( ? ) 5 7 3 + 2 ? (7 ? 5) 35 7 4

? 3+
4 3 ? 35

4 35

点评:本题运算过程中的运算技巧值得注意,将整数 和分数部分分开算,比直接通分运算要简单。

(2) 5 ) 2 ? (0.6 ? 1 4 ? 2 1 ) ? (? 3 ) (
6 5 10 10

先算乘方和把除法变乘法: 原式=
25 6 9 21 10 ? ( ? ? ) ? (? ) 36 10 5 10 3

观察式子特点发现,小括号内各分数的分子都是10的

因数,从而想到将小括号和因数用结合律和分配律:
原式= = = =
25 6 9 21 10 ? [( ? ? ) ? (? )] 36 10 5 10 3
25 6 10 9 10 21 10 ? (? ? ? ? ? ? ) 36 10 3 5 3 10 3

25 ? (?2 ? 6 ? 7) 36
? 25 36

(3)

3 4 2 (? ) 3 ? (?0.6) 2 ? (? ) 2 ? 1.53 ? 2 3 ? (? ) 3 2 5 3 解:原式= ? 27 ? 9 ? 16 ? ( 3 ) 3 ? 8 ? (? 8 ) 8 25 25 2 27

= = = = =

?

27 9 16 27 27 ? ? ? ? 8? 8 25 25 8 8

27 9 16 ? (? ? ? 8) 8 25 25

27 ? ?? 1 ? 8? 8

27 ?7 8 189 8

点评:本题中逆用乘法分配律提取,使运算简便。

(4)[53 ? 4×(? 5)2 ?(? 1)10]÷(? 24 ? 24+24) 分析:在本题中53可以看做5×52,(?5)2=52, 对于 53 ? 4×(? 5)2可变形5×52?4×52,然后运用 乘法 分配律.?24与24是互为相反数,所以

? 24?24=0.
解: [53 ? 4×(? 5)2 ?(? 1)10]÷(? 24 ? 24?24) ?[5×52 ? 4×52 ? 1] ÷(? 24?24 ? 24) ?[52(5 ? 4) ? 1] ÷(? 24) ?(25×1 ? 1) ÷(? 24)

?24 ÷(? 24)
? ? 1.

注意:① 53?5×52; ② 5×52?4×52 ?52(5 ? 4) (运用乘法分配律) ?25×1

?25.
以上主要学习了有理数加、减、乘、除、乘方的混合运 算.进行有理数混合运算的关键是熟练掌握加、减、乘、除、 乘方的运算法则、运算律及运算顺序,比较复杂的混合运算, 一般可先根据题中的加减运算,把算式分成几段.

计算时,先从每段的乘方开始,按顺序运算,有括号 先算括号里的.同时,要注意灵活运用运算律简化运算。

下面我们看一些更灵活的有理数混合运算。

例3 计算下列各题:
(1)1+2-3-4+5+6-7-8+……+97+98-99-100

分析:观察式子特点,发现(1-3)、(2-4)、(5 -
7)、……、(97 - 99)、(98 - 100)结果均得 -2。所以运用加法交换律和结合律进行运算。 解法1:原式?(1-3)+(2-4)+(5 - 7)+……+(97 - 99)
+ (98 - 100) (?2) ? (?2) ? ??? ? 2) ( ????? ? ? ?????
50 个

? (-2)×50

? -100


本题还有下面的解法: 解法2:

原式?1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)
+……+(94-95-96+97)+98-99-100 ?1+0+……+0+98-99-100 =1-1-100 =-100

这种解法的思路是将加数分为4个一组,每一组的和为0。

本题按以上思路分组,还有下面的解法: 解法3:原式=(1+2-3-4) + (5 + 6 ? 7 ? 8) + …… + (97 + 98 ? 99?100) =
(?4) ? (?4) ???? ? 4) ( ???? ????? ? ?
25个

=( ? 4)×25
= ? 100。 这道题3种解法的共同特点是把各加数适当分组,而分组 的标准是每一组的和为定值。

(2)1+2 + 3-4 + 5 + 6 + 7 ? 8 + 9 + 10 + 11 ? 12 + …… + 97
+ 98 + 99 ? 100 分析1:借鉴上题解法的经验,每4个加数为一组,其和虽然 不是一个定值,但构成等差数列。 解法1:原式=(1+2+3 ? 4)+(5+6+7 ? 8)+(9+10+ 11 ? 12) +……+(97+98+99 ? 100) =2+10+18+……+194
(2 ? 194 ) ? 25 2

=

=98×25 =(100 ? 2)×25 =2500 ? 50 =2450

分析2:利用加一项减一项把和式转化。 解法2:原式=(1+2+3+4+5+6+7+8+……97+98+99+ 100)-2×(4+8+12+……+100) =
(1 ? 100 ) ? 100 ? 2 ? 4 ? (1 ? 2 ? ?? ? 25) 2

1 ) =101×50-2×4×( ? 25 ? 25

=5050-2600 =2450

2

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 9 8 7 6 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ) ( (3) 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 9

分析:观察特点,重新分组,将分母相同的数放在一组 里,就能求出和来。 解:原式?(1+2+3+……+9)-( 1 ? 2 ? ?? ? 8 )+
1 2 7 ( ? ? ?? ? ) ?…… ? 1 1 ? 2 ? 1 ( ) 3 3 3 8 9 1 1 1 3 1 =45- ? 36 ? ? 28 ? ? 21 ? ?? ? ? 2 3 4 8 9
2 2 2

=45-18+ 28 ? 21 ? 3 ? 10 ? 6 ? 3 ? 1 = 33 5
3 4 6 7 8
504

9

一、计算:
1 2 3 1.(-2)×(- 3)×(- 4)

2. -6+(-3)×(+25)
3. -3 4÷(-1 2)×(-4 2)
7 3 16 9× 17 (-34) 1 ? 1 ? 4 (? ) ? (? )? ? (? ) ? 9 36 ? 72 ? 3

4.
5.

6.(+74)×(-1280)+74×1140+(-74)×(-141)
5 7.(-8)(-7.2)(-2.5)(+ ) 12

8. 13× +0.34× + ×13+ ×0.34

2 3

2 1 7 3

5 7

6 7 7 5 7 10. ( 9- 6 + 36 )×36-5.45×6+1.45×6

9. (-24 )÷6

11.

?? 2 ? 1 2 ? 4 ? (?4) ? (?1 ) ? (?0.4)? ? (? ) ? 2? -1× ?? 3 4 3 ? ?? ?

2 5 3 2 5 1 12.(-1 )× ÷(- )×2.5÷(-0.25)× ×2 ÷(- ) 7 7 4 5 3 7

13.100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+……+10

+9+8-7-6+5+4+3-2-1

二 、下面由四舍五入得的近似数,各精确到哪一位,各有哪几个 有效数字? (1)0.0504 (2)1.050(3)67809(4)52万(5)52.0万 三、用四舍五入法,把下列各数按

括号内的要求取近似数:

(1)0.00234(精确到万分位)
(2)-5.0078(精确到百分位) (3)3.14159(精确到0.001) (4)84320(精确到万位) (5)80420(精确到千位)

(6)1.05048(保留五个有效数字) (7)-1.05048(保留三个有效数字) (8)-0.05048(保留三个有效数字) (9) 5048(保留二个有效数字)

答案:
一、 1、- ;2、-81;3、-10;4、-338; 5、-34;6、74;7、-60;8、13.34;
1 7
1 4

9、-4 ;10、-19;11、0;12、16;
13、1130.

二、 (1)(精确到万分位,有三个有效数字5、0、4) (2)(精确到千分位,有四个有效数字1、0、5、0) (3)(精确到个位,有五个有效数字6、7、8、0、9)

(4)(精确到万位,有两个有效数字5、2)
(5)(精确到千位,有三个有效数字5、2、0)

三、 (1)0.0023 (2)-5.01 (3) 3.142 (4) 8×104 (5)8.0 × 104 (6)1.0505 (7)-1.05 (8)-0.0505 (9)5.0 × 103


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