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北师大版八年级1[1].5一元一次不等式与一次函数(1)

发布时间:2013-09-18 19:50:09  

千里之行,始于足下 伟人之所以伟大,是因为他与别 人共处逆境时,别人失去了信心,他 却下决心实现自己的目标

回顾思考
1.解不等式2x-5>0,并把他的解集在数轴上表示出来

2.一次函数的图象是__________.它与x轴的交点坐标是 , 与y轴的交点 坐标是 ;要作一次函数的图象,只需_______ 点即可 3. 一次函数 y = 2x – 5它与x轴的交点坐标是 ,与y轴 的交点 坐标是 。画出该函数是图像。

下面我们来探讨一下一元一次不等式与 一次函数之间的关系

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课首

(下)》

马厂中学

杨正彦 2012年2月27日

教学目标、重点、难点
通过作图、观察,进一步理解一元一次函数概念,并 从“形”这个角度体会一元一次不等式与一次函数的内在 联系;
通过具体问题初步体会一次函数(值)的变化规 律与一次不等式解集的联系.

重点:

体会 不等关系与函数、方程是紧密联系 着一个整体。

难点:根据题意列函数关系式,并能把函数关系式
与一元一次不等式联系起来作答.

x取何值时,2x-5>0
一元一次不等式2x-5>0与一次函数y=2x-5之间的关联





一次函数y=2x-5研究的是 横坐标与纵坐标的取值 问题, 即(x,y),有时会遇到横坐标x取哪些值时纵坐标y>0的问题。 而当y>0时,有不等式2x-5>0 。 不等式2x-5>0研究的是x取哪些值时,2x-5>0 成立。 因为y=2x-5,所以x取哪些值时, 2x-5>0成立的问题就 是x x取哪些值时, y>0 成立的问题

一元一次不等式2x-5>0与一次函数y=2x-5之间的关联



x取何值时,2x-5>0
y

解不等式2x-5>0的解集是x>2.5,把它表 6 对于一次函数y=2x-5,我们建立直 角系,画出函数图象 示在数轴上为: 5 求不等式2x-5>0的解集实质就是求 4 x取何值时,2x-5>0,即就是一次函数 3 中x取何值时, y>0 。意思就是在函数 2 图象上纵坐标y的值是正数 时,函数图像 1 上的点所对应的横坐标x的值是多少? -2 -1





0

1

2

3

4

5

6

x

在函数图象上我们不难看到纵坐标y的值是 正数时即纵坐标y的值在y轴的 正半轴上 ,对 应的函数图象在 x轴的上方 ,这部分函数图 象对应的横坐标x的值是 x >2.5 的实数。 所以在函数图象上当x >2.5时,y>0。即 上当x >2.5时, 2x-5>0。

-1

-2
-3 -4 -5 -6

(2.5 , 0)

(0 , -5)

“关于x 的不等式的问题”转化为 “关于函数值的问题 ” 问题1: 作出函数y=2x-5的图象,观察图象回答下列问题: y (1) x取何值时,2x-5=0? 6 x取何值时, y=0 即(?,0) 5
4

(2) x取哪些值时, 2x-5>0? x取哪些值时, y>0 即(?,y>0)
-2 (3) x取哪些值时, 2x-5<0? x取哪

些值时, y<0 即(?,y <0)

3 2 1
-1 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

-2
-3 -4 -5 -6

(

(4) x取哪些值时, 2x-5>3? x取哪些值时, y>3 即(?,y>3)

5 , 0) 2

方法点睛:X轴上方的图象y值大于0

“关于x 的不等式的问题”转化为 “关于函数值的问题 ” 问题1: 方法点睛:X轴下方 作出函数y=2x-5的图象,观察图象回答下列问题: y 的图象y值小于0 (1) x取何值时,2x-5=0? 6 x取何值时, y=0 即(?,0) 5 4 (2) x取哪些值时, 2x-5>0? x取哪些值时, y>0 即(?,y>0) 3 2 (3) x取哪些值时, 2x-5<0? x取哪些值时, y<0 即(?,y <0) 1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x 意思就是在函数图象上纵坐标y的值 -1 是 负数 时,函数图像上的点所对应 -2 的横坐标x的值是多少? -3 在函数图象上我们不难看到纵坐标y的值是 -4 负数时,纵坐标y的值在y轴的负半轴上,对 -5 x轴的下方,这部分函数图 应的函数图象在 -6 x >2.5的实数。 象对应的横坐标x的值是

“关于x 的不等式的问题”转化为 “关于函数值的问题 ” 问题1: 作出函数y=2x-5的图象,观察图象回答下列问题: y 6 (1) x取何值时,2x-5=0? 5 (2) x取哪些值时, 2x-5>0? 4 (3) x取哪些值时, 2x-5<0? 3 (4) x取哪些值时, 2x-5>3? x取哪些值时, y>3 即(?,y>3) 2
意思就是在函数图象上纵坐标y的值大于3 时, 函数图像上的点所对应的横坐标x的值是多少?
1
-2 -1 0 1 2 3 4

(4 , 3)
5 6

x

过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴这条直线,与 -1 y=2x-5相交于点 (4 , 3) ,在函数图象上我们不难看 -2 到纵坐标y的值大于3时,纵坐标y的值在y轴上 -3 大于3 以上的部分,对应的函数图象在直线y=3的上方 , -4 这部分函数图象对应的横坐标x的值是 x >4 的实数。-5
-6

想一想

用“函数图象法”及“解不等式法”解函数问题

如果 y=-2x-5 , 那么当 x 取何值时 , y>0 ?
你解答此道题, 可有几种方法 ? 法一: 将函数问题转化为不等式问题. 即 解不等式 法二: 图象法。 由图易知,
当x< -2.5时 y>0 . -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 y 3 2 1 1 x

-2x- 5 > 0 ;

函数、(方程) 不等式
由上述讨易知: “关于一次函数的值的问题” 可变换成 “关于一次不等式的问题” ; 反过来, “关于一次不等式的问题” 可变换成 “关于一次函数的值的问题”。

因此,

我们既可以运用函数图象解不等式 ,也可以运用解 不等式帮助研究函数问题 ,二者相互渗透 ,互相作用。

不等式与 函数 、方程 是紧密联系着的一个整体 。

1、若y1=-x+3,y2=3x-4,试确定当x取何值时

(1)y1<y2?
(2)y1=y2?

你解答此道题, 可有几种方法 y
6 5 4 3 2

y 2 ? 3x ? 4

?

(3)y1>y2? 图象法: 解不等式法:
7方法点睛 当x> 时,y1<y2 4 -2 过两函数交点作平

行于 7 y轴的直线比较直线两旁两 当x= 时,y1=y2 4 函数图像位置高低,位置

(

1
-1 -1 -2 0 1 2 3 4

7 ,5 ) 4 4
5 6

x

7 高y值大,位置低y值小。X 当x< 时,y1>y2 取值以直线与x轴交点为分 4 界点。

-3
-4 -5

y1 ? ? x ? 3

1、若y1=-x+3,y2=3x-4,试确定当x取何值时

(1)y1<y2? 即:-x+3<3x-4
(2)y1=y2? 即:-x+3=3x-4

(3)y1>y2? 即:-x+3 < 3x-4
解不等式法:

2.解不等式5x+4<2x+10

解不等式法: 函数图象法:
解法1:原不等式化为3x -6<0, 画出直线y = 3x -6(如图) 3x -6<0, y<0

解法2:画出直线y1 = 5x +4 y2 = 2x +10
5x+4<2x+10 y1 <y2
y

y2=2x+10

0

2

x

y1=5x+4

所以不等式的解集为x<2

所以不等式的解集为x<2

P 20
兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑 9 米,然后自己才开始跑。 已知弟弟每秒跑 3 米,哥哥每秒跑 4 米。 列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题: y哥<y弟 (1) 何时弟弟跑在哥哥前面? y哥=y弟 (2) 何时哥哥刚好追到弟弟? y哥>y弟 (3) 何时哥哥跑在弟弟前面?

(4) 谁先跑过 20米?谁先跑过 100米? 设x 为哥哥起跑开始的时间, 则 哥哥与弟弟每人所跑的距离 y (m) 与时间 x (s) 之间的关系式分别是:

y哥=4x
y弟=9+3x

y哥= 4x ,y弟= 9+3x .
答案: (1) 从哥哥起跑开始 , 9s 前 弟弟跑在哥哥前面; (2) ) 从哥哥起跑开始,第 9s 刚好追到弟在; (3) 从哥哥起跑开始 , 9s 后哥哥跑弟弟在前面; (3) 弟弟先跑过 20米, 哥哥 先跑过 100米 .
除了运用图象法解之外, 还可直接用不等式求解

P 20
兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑 9 米,然后自己才开始跑。 已知弟弟每秒跑 3 米,哥哥每秒跑 4 米。 列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题: y哥<y弟 即4x<9+3x (1) 何时弟弟跑在哥哥前面? y哥=y弟 即4x=9+3x (2) 何时哥哥刚好追到弟弟? y哥>y弟 即4x>9+3x (3) 何时哥哥跑在弟弟前面?

(4) 谁先跑过 20米?谁先跑过 100米? 设x 为哥哥起跑开始的时间, 则 哥哥与弟弟每人所跑的距离 y (m) 与时间 x (s) 之间的关系式分别是:

4x=20 9+3x=20 比较所用 时间多少

y哥= 4x ,y弟= 9+3x .
答案: (1) 从哥哥起跑开始 , 9s 前 弟弟跑在哥哥前面; (2) ) 从哥哥起跑开始,第 9s 刚好追到弟在; (3) 从哥哥起跑开始 , 9s 后哥哥跑弟弟在前面; (3) 弟弟先跑过 20米, 哥哥 先跑过 100米 .

方法点睛
1、列函数解析式;

2、解不等式或方程;

如图,l1反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系, l2反映了该产 品的销售成本与销售量之间的关系,当销售收入大于销售成本时,该产 品才开始盈利。
(1)根据函数图象写出l1、 l2的函数解析式。

(2)试分析该产品的盈亏情况。
y/元 l1 l2 4000 2000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x/t

4、甲、乙

两辆摩托车从相距20km的A、B两地相向而行,图中l1、l2分别表 示两辆摩托车离开A地的距离s(km)与行驶时间t(h)之间函数关系 。 (1)哪辆摩托车的速度较快? (2)经过多长时间,甲车行驶到A、B两地中点?

解答:(1)从图象中可知
s ? 20km,t甲? 0.6h, t乙 ? 0.5h
20 100 20 ? (km / h), v乙 ? ( km / h), 0.6 3 0.5 即v甲 ? v乙 v甲 ?

故摩托车乙速度快。 (2)当s=10km时, t甲 ? 10 ? 0.3(h)
100 3

即经过0.3h时,甲车行驶到A、B两地的中点。

1、某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中 的一家签订月租车合同,设汽车每月行驶x 千米,个体车 主收费y1元,国营出租车公司收费为y2元,观察下列图象 可知(如图1-5-2),当x________时,选用个体车较合算.

2、当自变量 x 的取值满足什么条件 时,函数 y = 3x+8 的值满足下列

条件?
(1)y = 0 (3) y >0 (2) y = -7 (4) y < 2

一次函数(值)的变化对应着相应自变量的取值范围, 这个取值范围, 既可从一次函数的图象上直观看出(近似值), 也可通过解(方程)不等式而得到(精确值).

“一次函数问题”可转换成 “一次不等式的问题” ;反过 来,“一次不等式的问题”可转换成 “一次函数的问题”。
我们既可以运用函数图象解不等式 , 也可以运用解不等式帮助研究函数问题 , 二者相互渗透 ,互相作用。 不等式与 函数 、方程 是紧密联系着 的一个整体 。 对于行程问题 , 应首先建立起“路程关于时间的函数关系 式”, 再通过解不等式得到问题的解; 或先通过解方程求出追及(相遇)的时刻, 再解答相应的问题.

5

一元一次不等式 与一次函数

作 P20



习 题 1.6

1、2 ;
P19


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