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梯形中的常用辅助线

发布时间:2013-11-09 08:44:25  

梯形中的常用辅助线

常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化,变为△和□;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下

:

一、平移 平移一腰:从梯形的一个顶点作一腰的平行线,把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

[例1]如图,梯形ABCD的上底AD=3,下底BC=8,腰CD=4,求另一腰AB的取值范围。

解:依题意得:AE=CD=4

BE=BC-CE=5

1=BE-AE < AB < AE+BE=9

【变式练习】已知:如图 AD

CBE

在梯形ABCD中,CD平行于AB,<A+<B=90°,DC=2,AB=7,CB=3,求AD的值

2、平移两腰:利用梯形中的某个特殊点,过此点作两腰的平行线,把两腰转化到同一个三角形中。

[例2]如图,在梯形ABCD中,AB//CD,∠D+∠C=90°,BC=1,AD=3,E、F分别是AB、CD的中点,连接EF,求EF的长。

解:连接过E作EG平行于AD交CD与G,

EH平行BC交CD与H,

则,∠EGC=∠D, ∠EHD=∠C,所以∠EGC +∠EHD=90°

所以∠GEC=90°,由勾股定理得GH=10,

又DF=CF,DG=AE=BE=CH

所以GF=FH,所以EF=GF=FH=5

【变式练习】如图,在梯形1CD的中点。求证:EF=2

3、平移对角线:一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决.

【例3】.如图,等腰梯形中,,,、为、 中, . , ,且 , 是高, 是中位线,求证:

解:作CE平行BD,则AC⊥CE且CD=BE,又题型为等腰梯形则AC=BD

所以CB=AC,又CH是AE边上的高,所以AH=HE=CH

111又MN=(CD+AB)=(BE+AB)=AE=CH 222

【变式1】在等腰梯形ABCD中,CD//AB,CD=3,BA=7,AC=52,求证:AC⊥BD。 D

AB

二、延长:即延长两腰相交于一点,可使梯形转化为三角形。

[例5]在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=2,BC=5,求CD的长。

解:延长AD,BC交于点E,

∠B=50°,∠C=80°则∠E=50°,

所以BC=EC=5,

同理AD=ED=2,所以CD=3

三、作对角线:即通过作对角线,使梯形转化为三角形。

[例6]在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,BC=CD,BE⊥CD于点E,求证:AD=DE。

四、作梯形的高

1、作一条高,从底边的一个端点作另一条底边的垂线,把梯形转化为直角三角形或矩形。

[例7]如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF//AB,交AD于点E,求证:四边形ABFE是等腰梯形。 解:(1)过D作DG⊥AB,交AB于G.

在直角梯形ABCD中,∠BCD=∠ABC=90°.

∵∠DGB=90°,AB=2DC,

∴四边形DGBC是矩形.

∴DC=GB.

∴AB=2GB,

∴AG=GB.

∴三角形ABD是等腰三角形,即DA=DB.

∴∠DBA=∠DAB.

∵EF∥AB,AE与BF相交于点D

又∵四边形EABF是梯形.

∵∠DBA=∠DAB.

∴四边形ABFE是等腰梯形

2、作两条高:从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线,把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。

[例8]如图,在梯形 中,.求证:. 解析:用三角形ADE与三角形BCE全等

【变式练习1】 所示.直角梯形ABCD中,CD∥BA,∠A=90°,∠ADC=135°,CD的垂直平分线交BC于N,交AB延长线于F,垂足为M.求证:AD=BF.

五、作中位线: 遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题.

1、已知梯形一腰中点,作梯形的中位线。

[例9]在梯形ABCD中,AD//BC,E是DC的中点,∠AEB=90°

求证:AD+BC=AB。

解:作EF平行于BC则F是AB是中点

又∠AEB=90°所以AF=EF=BF

FE为梯形中位线

AD+BC=2EF

所以AD+BC=AB

【变式1】.已知:梯形 ABCD中AD BC,E为AB中点,且AD+BC=DC ,

求证:DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD.

证法2:延长CE与DA延长线交于一点F,过程略.

证法3:在DC上截取DF=AD,连结AF、BF、EF解决.

【变式2】.已知:如图,在梯形

中点.求证:. 中, 是CD的

2、已知梯形两条对角线的中点,连接梯形一顶点与一条对角线中点,并延长与底边相交,使问题转化为三角形中位线。

[例10]在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是BD、AC的中点,求证:(1)EF//AD;

(2)EF?(BC?AD)

12

课后作业

1. 若等腰梯形的锐角是60°,它的两底分别为11cm,35cm,

则它的腰长为__________cm. DA

2. 如图所示,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,

AD=2,BC=8,则此等腰梯形的周长为( )

A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 B

3. 如图所示,AB∥CD,AE⊥DC,AE=12,BD=20,AC=15,则梯形ABCD的面积为( )

A. 130 B. 140 C. 150 D. 160

4. 如图所示,在等腰梯形ABCD中,已知AD∥BC,对角线AC与BD互相垂直,且AD=30,BC=70,求BD的长=________

AD DAAB

BCC DCBE

第3题图 第4题图 第5题图

5. 如图所示,已知等腰梯形的锐角等于60°,它的两底分别为15cm和49cm,求它的腰长=__________

6. 如图所示,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD+BC=10,DE⊥BC于E,求DE的长=_________

7. 如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=2∠B,AD+DC=8,求AB的长. DADC

ABCBE

第6题图 第7题图

8. 如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,(1)若E是AB的中点,且AD+BC=CD,则DE与CE有何位置关系?(2)E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点,则DE与CE有何位置关系?

A D

E

BCC

9、如图,已知:在梯形ABCD中,,AC、BD相交于点O. 求证:.

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