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【南京一轮复习】第1课函数的概念及其表示法

发布时间:2013-11-09 11:39:35  

第二章 函数与导数

数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休!

——华罗庚

正确的结果,是从大量错误中得出来的,没有大量错误做台阶,也就登不上最后正确的宝座。

——钱学森

【知识网络化】

1

第1课 函数的概念及其表示法

【课前自主探究】

※考纲链接

(1)理解函数的概念;理解构成函数的要素(定义域、值域、对应法则),了解映射的概念.

(2)理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法),会选择恰当的方法表示简单情境中的函数.

※ 教材回归

◎基础重现:

1.函数的概念: 设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对集合A中的 元素x,在集合B中都有 的元素y和它对应,那么称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y?f(x),x?A.其中 叫做函数y?f(x)的定义域;将所有 叫做函数的值域.

2.函数的相等

函数的定义含有三个要素: 、 和 .当函数的定义域及对应法则确定后,函数的值域也随之确定.因此,定义域和对应法则是函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的 和 都分别对应相同时,两个函数才是同一个函数.

3.映射的定义

设A、B两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有 的元素与之对应,那么,这样的对应关系叫做集合A到集合B的映射,记作:f:A?B.

4.函数的表示法

(1)解析法: ; (2)列表法: ; (3)图象法: .

基础重现答案:1. 每一个,唯一,所有的输入值x组成的集合A,输出值y组成的集合. 2. 定义域A、值域C、对应法则f.定义域,对应法则. 3. 唯一.

4.(1)把两个变量的函数关系用一个等式来表示; (2)列出表格来表示两个变量之间的函数关系; (3)用函数图象表示两个变量之间的关系. ◎思维升华:

1.函数y?f(x)的图象与直线x?a的交点个数为 .

2.对应关系f:A?B是从集合A到集合B的一个函数,则函数f(x)的值域C B.

2

3.已知a为实数,函数f(x)?a?x2??x??x.设t=?x??x,请

把f(x)表示成关于t的函数m(t).

思维升华答案:1.0个或1个. 2.?.

3.由1+x≥0且1-x≥0,得-1≤x≤1,

而t?2?[2,4],于是

有2111?t2?1.所以m(t)=a(t2?

1)+t=at2?t?a,t?. 222

※ 基础自测

1.设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤3},给出下列四个图形(如图所示),其中能表示从集合M

到集合N的函数关系的是 .(填序号). 

答案: ②③

2.(2010·盐城模拟)在下列四组函数中:

(1

)f(x)?xg(x)?2;(2

)f(x)?logaa(a?0,a?1),g(x)?

0x2?9(3)f(x)?1,g(x)?(x?1);(4)f(x)?,g(x)?x?3, x?3

能表示同一函数的是 (填写序号)

答案:(2)

3.若f(2x?1)?1?2x,则f(x)? .

答案:?x?2 解析:f(2x?1)?1?2x??2x?1?2??(2x?1)?2,则f(x)??x?2

4.(2010年.陕西卷文)已知函数f(x)=??3x?2,x?1,

2若f(f(0))?4a,则实数?x?ax,x?1,

a? .

答案:2 解析:f(0)?2,f(f(0))?f(2)?4?2a?4a,所以a?2.

5.(2010·泰州调研)在一定范围内,某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次

函数关系.如果购买1000吨,每吨为800元,购买2000吨,每吨为700元,那么客户购买

400吨,总价应是 元

答案:344000 解析:设y?kx?b,把x?800,y?1000和x?700,y?2000代入得,

y??10x?9000,把y?400代入,得x?860,则总价344000元.

【课堂师生共探】

※ 经典例题

○题型一 对函数概念的理解

例1 判断下列对应法则是否为函数:

(1)x?y?2x?3x?1,x?R;

(2)x?y,这里y?x,x?R,y?R;

(3

)x?y?2?2x?R,y?R;

3

(4)A?{(x,y)|x,y?R},B?R,对任意(x,y)?A,(x,y)?x?3y.

分析:判断标准:根据给出的定义域和对应法则,看自变量x在其定义域内的每一个值是否有确定且唯一的函数值与之相对应.

解:(1)对于任意一个实数x,y?2x?3x?1都被x唯一确定,所以当x?R时,2

y?2x2?3x?1是函数;

(2)考虑当x?1时,得到y??1,这里x的一个值与y的两个值对应,所以这里y?x不是函数;

(3)变量x的取值范围是空集,与函数的定义相矛盾,

所以x?y?不函数;

(4)由于集合A不是数集,所以此对应法则不是函数.

点评:函数定义是我们理解和掌握函数的基础,定义中的“非空数集”、“唯一确定”等关键词容易被忽视,应引起足够的重视.

○题型二 对同一函数的判断

例2 试判断下列各组函数是否为同一函数:

(1)f(x)=x2,g(x)=x3;

(2)f(x)=2nx2n?1,g(x)=(2n?x)

(3)f(x)=2n-12(n∈N); *x?0,?1|x|,g(x)=? ?1x?0;x?

22(4)f(x)=x-2x-1,g(t)=t-2t-1.

分析:对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数考查定义域,再考虑对应法则即可.

解:(1)由于f(x)=x2=|x|,g(x)=x3=x,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同一函数;

*(2)由于当n∈N时,2n±1为奇数,

x2n?1=x,g(x)=(2nx)∴f(x)=

所以它们是同一函数;

(3)由于函数f(x)=2n2n-1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同,x?0,?1|x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而g(x)=?x??1x?0;的定义域为R,所以它们不是同一函数;

(4)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数.

点评:,(1)第(4)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对函数的概念理解不透f不变的条件下,自变量变换字母,以至变换成其他

22字母的表达式,这对于函数本身并无影响,比如f(x)=x+1,f(t)=t+1,f(u+1)=(u+1)

2+1都可视为同一函数.

(2)对两个函数来说,只要函数三要素中有一个不同,则这两个函数就不是同一函数. 变式训练:下面各题中两个函数是否表示同一函数:

(1) f(x)?|x|,?(x)?

(2) y?

(3) y?y?2;

y?;

(4) y?y? 解析:对于(1),在公共定义域R上,

f(x)?|x|,?(x)?是表示形式不同,这两个式子表示同一函数;

对于(2)和(3),它们的定义域不同,不表示同一函数;

对于(4),定义域均为[?

1,1],y?? ○题型三 函数解析式的的探求

4

例3 根据下列条件求各函数的解析式:

?x2,x?0,求f(g(x))的解析式; (1)已知函数f(x)?2x?1,g(x)????1,x?0

2(2

)已知f(?1)?f(x); x(3)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))?4x?1,求f(x);

11(4)已知f(x?)?x2?2?3,求f(x); xx

22解析:(1)当x?0时,f(g(x))?f(x)?2x?1,当x?0时,f(g(x))?f(?1)?2?(?1)?1??3,

?2x2?1,x?0则f(g(x))??. ?3,x?0?

22(2)令?1?t(t?1),则x?,∴f(t)?f(x)?(x?1). xt?

122(3)设f(x)?ax?b,则有f(f(x))?f(ax?b)?a(ax?b)?b?ax?ab?b,即 2

?a?2?a2?4?a??21?或,解得,f(x)?2x?或f(x)??2x?1. ?1??b?13b??ab?b??1???3?

111222(4)f(x?)?x?2?2?5?(x?)?5,则f(x)?x?5(x??2或x?2) xxx

点评:在采用整体换元法求解时一定要注意所换的元的取值范围,不但要从式子形式上确定其取值范围,还要注意题目的限制条件;待定系数法是求函数解析式的重要方法,用这种方法求解析式的前提是知道所求的函数类型.

113?1,求f(x). 3xx

2 (2)二次函数y?f(x)对任意x?R,有f(x?1)?f(x?1)?2x?4x,求f(x)的解析变式训练: (1)已知f(x?)?x?

式.

11313

xxx

2222 (2)设f(x)?ax?bx?c,(a?0),由题意可得 a(x?1)?b(x?1)?c?a(x?1)?b(x?1)?c?2x?4x, 解析:(1)f(x?)?(x?)?3(x?)?1,则f(x)?x?3x?1.

?a?1?222即2ax?2bx?(2a?2c)?2x?4x,所以得?b??2,所以f(x)?x?2x?1.

?c??1?

例4 某上市股票在30天内每股的交易价格P(x)与时间t(x)组成有序数对(t,P),点(,t)P落在下图中的两条线段上,该股票在30天内(包括30天)的交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示.

(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;

(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;

(3)在(2)的结论下,用y(万元)表示该股票日交易额,写出y关于t的函数式,并求出这30天中第几个日交易额最大,最大值为多少?

5

分析:考虑到点(t,P)在两段线段上,则P与

t的函数解析式应分段考虑;由表格确定的Q与t

的关系已知是一次函数,则可用待定系法求解解析式.

?1*t?2,0?t?20,t?N??5解:(1)由已知有P?? 1??t?8,20?t?30,t?N*

??10

?4a?b?36,解(2)设Q?at?b(a,b为常数),将(4,36)与(10,30)代入,得?10a?b?30?

得a??1,b?40.日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为

. Q?40?t,0?t?30t,?*N

?1?12**(t?2)?(40?t),0?t?20,t?N?t?6t?80,0?t?20,t?N???5?5(3)由(1)(2)可得,.y??, 即y?? 11?(?t?8)?(40?t),20?t?30,t?N*?t2?12t?320,20?t?30,t?N*

???10?10

12若0?t?20,则当t?15时,ymax?125;若20?t?30,则因函数y?t?12t?32010

在(20,30]上是减函数,?y?y(20)?y(15)?125.

点评:这个问题中,函数关系是通过表格和图象的方式分别出,而图象是由两条线段构成,因此,需分段建立函数解析式,分段求解最值,再比较,最后确定整个函数的最值.

变式训练:某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=________,其中t∈[0,60].

答案: 10sin?t

60.

2??t弧度,t?6030

?t?t因此当t∈(0,30)时,,由余弦定理,得d2?52?52?2?5?5cos ?AOB?3030

?t?t, ?50(1?cos)?100sin2

3060

?t?t;当t∈(30,60)时,在△AOB中,?AOB?2??,由余弦定理,得d?10sin6030

?t?t?t?t,d?10sin,且d2?52?52?2?5?5cos(2??)?50(1?cos)?100sin2

30306060

?t当t=0或30或60时,相应的d(cm)与t(s)间的关系仍满足d?10sin. 60

?t综上所述, d?10sin,其中t∈[0,60]. 60

※高考新题零距离 解析:由题意,得当时间经过t(s)时,秒针转过的角度的绝对值是

1.(2010·陕西高考题)某学校要招开学生代表大会,规定各班每10

人推选一名代表, 6

当各班人数除以10的余数大于时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班..6.

人数x之间的函数关系用取整函数y?[x]([x] 表示不大于x的最大整数)可以表示为 . x?3] 解析:设x?10m??(0???9), 10

??3??x?3???x? 0???6时,??m??m?,?????10??10???10?

??3?x?3?x?3???x?,所以当6???9时,??m??m?1??1y?[]. ????10?101010??????

12.(2009·福建高考题)下列四个函数(1)f(x)?lnx;(2)f(x)?;(3) f(x)?|x|;x答案:y?[

(4)f(x)?

e中,与函数y?x 有相同定义域的是可得定义域是x?0.f(x)?lnx的定义域x?0;答案: (1) 解析 解析

由y?

1x的定义域是x≠0;f(x)?|x|的定义域是x?R;f(x)?e定义域是x?R. x

※典型错误警示 f(x)?

1.忽视函数定义中的关键词容易出错,如例1中的(3)(4)小题对函数关系的判定;.

2.忽视构成函数的三要素也容易出错,如例3中的(2)小题,学生易忘记写出函数的定义域x?(??,?2]?[2,??),从而得出错误结论.

◎典型错题反思

反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程,是一种自我挑战、自我完善和自我超越,是优化解法、深化思维的有效手段,是高效的学习方法、最佳的纠错手段,是走出“题海”的最有效途径.

请整理出本课时的典型错误,找出错因,并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思! 我的错题:

错因:

反思:

※学以致用

第1课时 函数的概念及其表示法

【基础级】

1.与函数f(x)=|x|是相同函数的有 (写出一个你认为正确的即可). 答案: y=x2

2.已知函数f(x)的定义域为[?1,5],在同一从标系下,函数y?f(x)的图象与直线x?1的交点个数为.

答案:1个

3.右图中的图象所表示的函数的解析式为 .

7

3题

答案:y?33?|x?1|(0?x?2) 解析:把函数分成两段,分别设为一次函数的22

解析式来求解.

4.设集合A?R,集合B?{x|x?0},下面的四个对应法则:(1)f:x?y?|x|;

(2

)f:x?y??x(3)f:x?y?3;(4)f:x?y?log2(1?|x|),则从集合A

到集合B的映射f可能是 .(填写序号)

答案:(3)

1?x1?x2

5.已知f(,则f(x)的解析式为 . )?1?x1?x2

2x1?x1?t2t 答案:f(x)? 解析:令,则. (x??1)t?,则x?(t??1)f(t)?221?x1?x1?t1?t

?x?2,x?0,则不等式f(x)?x2的解集是 6.已知函数f(x)????x?2,x?0

答案:[?1,1] 解析:当x?0时,由已知有x?2?x,解得?1?x?2,又x?0,

则?1?x?0;当x?0时,由已知有?x?2?x,解得?2?x?1,又x?0,则0?x?1,

则不等式解集为[?1,1] 22

(x?9)?x?3,则f( 1)的值为 .f(x?4)(x?9)?

答案:6 解析: f(1)?f(1?4)?f(5)?f(5?4)?f(9)?9?3?6

【升华级】

(x?100)?x?3,则f(89)?.8.(2010年南京模拟)设函数f(x)?? ?f[f(x?5)](x?100)

答案:98 解析:f(89)?f(f(94))?f(f(f(99)))?f(f(f(f(104))))?f(f(f(101)))

=f(f(98))?f(f(f(103)))?f(f(100))?f(97)?f(f(102))?f(99)=f(f(104))?f(101)?98.

9.已知二次函数f(x)的图象过点A(1,1),B(2,0)及点C(6,0),求f(x)的7.(2010·东海中学期末)已知f(x)??

解析式.

解析:因f(x)的图象过点B(2,0)及点C(6,0),则f(x)的图象与x轴的两交点

的横坐标分别是2和6.则可设f(x)?a(x?2)(x?6),a?R且a?0),又因图象过点A(1,

1),则1?a(1?2)(1?6),解得a?

311,故f(x)?x?2)(x6?),5512812. (即f)x??x55510.我国水资源相对贫乏,某市节水方法是:水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超 过最低限量pm时,只付基本费8元和每户每月定额损耗费q元;若用水量超过

pm3时,除了付上述的基本费和损耗费外,超过部分每m3付r元的超额费,已知每户每月

的定额损耗不超过5元,该市一家庭某季度的用水量支付如下表:

(1)写出水费y(元)与用水量x(m)的函数关系式(这里p,q,r是已知数);

(2) 根据表中数据,求p,q,r的值.

3

8

解析:(1)设水费为y元,用水量为x(m3),则得分段函数

?8?q(0?x?p)y??.

?8?q?(x?p)r(x?p)

(2)根据表中数据,可列式8?q?9,q?1,若8?q?则q?1. 19,q11?与q?5矛盾,

?(15?p)r?9?19,解之得p?10,r?2,综上,p?10,q?1,r?2. 依题意?(22?p)r?9?33?

(☆)11.已知f(x)定义在R上的函数,且f(1)?1,对任意x?R都有下列两式成立:

(1)f(x?5)?f(x)?5;(2)f(x?1)?f(x)?1.若g(x)?f(x)?1?x,求g(6)的值.

解析:反复利用条件(2),有f(x?5)?f(x?4)?1?f(x?3)?2?f(x?2)?3?f(x?1)?4?f(x)?5 结合条件(1)得f(x?5)?f(x)?5,故g(6)?f(6)?1?6?[f(1)?5]?5?1.

◎典型错误反思

我的错题:

错因:

反思:

9

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