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根与系数教案

发布时间:2013-11-09 11:39:37  

§19.4一元二次方程的根与系数的关系

合肥二十八中 江群

教学目标:

1、掌握一元二次方程的根与系数的关系的关系并会初步应用。

2、在推导过程中,培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法,渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律。

3、通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系,培养学生观察分析和综合、判断的能力。激发学生发现规律的积极性,鼓励学生勇于探索的精神。 教学重点难点

重点:根与系数的关系。

难点:对根与系数的关系的理解和推导。

教学过程

一、 复习引入

1写出一元二次方程的一般式和求根公式。

2、大家知道在一元二次方程中当 a (a≠0)b,c 给定,便确定了一元二次方程;当 b-4ac≥0时方程便确定了实根;大家再观察求根公式发现,一元二次方程的根是由系数确定。因此我们说一元二次方程的两根与系数之间有着直接的关系,那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢?这节课我们来探讨这个问题。

二、提出问题并探究发现

问题1.解方程x2-3x+6=0和x2?4x?1?0并先指出a、b、c各是多少,计算两根的和与积,你能发现什么结论(现象)?

猜想:如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2, 那么x1+x2= ,x1x2=

问题2、如果方程二次项系数不为1呢?是不是也满足上述结论呢?

解方程2x2+5x+3=0 和3x2-2x-1=0并先指出a、b、c各是多少,计算两根的和与积,你能发现什么结论(现象)?

进一步猜想:方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0且b2-4ac≥0)的根x1,x2与a、b、c之间的关系:____________.

问题3.你能证明上面的猜想吗?请证明,并用文字语言叙述说明。 2

?b?b2?4ac?b?b2?4ac

方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=,x2= ,所

2a2a

2

?b?b2?4ac?b?b2?4ac?2bb

x1+x2=+==-

2a2a2aa

?b?b2?4ac?b?b2?4ac(?b)2?(b2?4ac)24acc

x1x2=.==2= 2

2a2a4a4aa

即:如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2,那么x1+x2=-

bc

,x1x2= aa

这个关系是一个法国数学家韦达发现的,所以也称之为韦达定理。 三、试一试:

1、根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积(方程两根为x1,x2、k是常数)

(1)2x2-3x+1=0 x1+x2= ________ x1x2= ______ (2)3x2+5x=0 x1+x2= ________ x1x2= ______ (3)5x2 =2 x1+x2= _________ x1x2= ______ (4)

12

x+kx-6=0 x1+x2= _________ x1x2= ______ 2

2、求一个一元二次方程,使它的两根分别为 (1)2和3 (2)—4和7 (3)2?1和 2?1 (4)—5和—2 3、判定下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根 (1)x2+5x+4=0,(1,4) (2) x2-6x-7=0,(-1,7)

1

(3) 3x2+5x-2=0,(-,2) (4) x2-8x+11=0,(4-,4+)

3

四、例题讲解

已知关于x的方程2x2+kx-4=0 的一个根是-4,求它的另一根及k的值。 解 设方程的另一根是x2,则 注:能否用另一种方法求解? 五、反馈练习

1、已知,关于x的方程3x2-19x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值。

2、设x1、x2是方程2x+4x-3=0 的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值。

(1)(x1+1)(x2+1) (2)

六、课时小结

本课主要研究了什么?1、韦达定理的内容:a≠0,且b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0的根为x1、x2,那么x1+x2=-

2、韦达定理的推出。

3、方程根与系数关系的有关应用。

(1)可以检验两个数是不是一元二次方程的根。(2)已知一根求另一根及k的值;(3)求有关代数式的值

七、作业布置

课本55页习题19.4的1,3.

bc ,x1x2= aa11 ?x1x22

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