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24.1.3弧、弦与圆心角关系定理

发布时间:2013-11-09 13:38:34  

永红小学

知识回顾
圆的对称性:
1、圆是轴对称图形

垂径定理及其推论

2、圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度,它都能与 ? 圆的旋转不变性 自身重合

概念
圆心角:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A
O

O · B
A

D

B

练一练:找出右上图中的
圆心角。

圆心角有:
∠AOD,∠BOD,∠AOB

如图,在⊙O中,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A’OB’的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?
A′

探究一

B

B′ O

·

A

可得到:

显然∠AOB=∠A′OB′ ︵ ︵

AB ? A ' B '.

AB ? A ' B '.

探究一
思考:如图,在等圆中,如果∠AOB=∠A′O ′ B′, 你发现的等量关系是否依然成立?为什么?
A
B

A′

B′

O

·


O′

·


由∠AOB=∠A′O ′ B′可得到:

AB ? A ' B '.
AB ? A ' B '.

小结
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的 弦也相等.
圆心角 相等

弧 相等

弦 相等

思考
定理“在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等.”中,可否把条件“在同圆或等圆 中”去掉?为什么?

探究二

在同圆中,
︵ ︵

AB ? A ' B '. (1)、如果 那么∠AOB=∠A′OB′, AB ? A ' B '.成立吗 ?

(1)

探究二

在同圆中,

(2)、如果 AB ? A ' B '. 那么∠AOB=∠A′OB′, ︵ ︵ AB ? A ' B '. 成立吗 ?

(2)

小结

弧、弦与圆心角的关系定理

1、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相 等. 相等 2、在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角_____, 所对的弦 相等 ________; 相等 3、在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角______,所对的弧 相等 _________. 在同圆或等圆中,两个圆 心角、两条弧、两条弦中 有一组量相等,它们所对 应的其余各组量也相等.
弧 相等
圆心角 相等

弦 相等

练习
如图,AB、CD是⊙O的两条弦.

?AOB ? ?COD AB = CD (1)如果AB=CD,那么___________,_________________.

?AOB ? ?COD AB=CD AB = CD ,那么____________,_____________. AB=CD AB = CD (3)如果∠AOB=∠COD,那么_____________,_________.
(2)如果

(4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗?为什 么?
A E B

OE﹦OF
C

O

·
F

D

例题
例1 如图,在⊙O中, AB=AC ,∠ACB=60°,
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC
A





证明:

∵ AB =

AC
B

O

∴ AB=AC.⊿ABC是等腰三角形 又∠ACB=60°, ∴ ⊿ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.

· 60°
C

练习
1、如图,AB是⊙O 的直径, 求∠AOE 的度数.
解:
E D C

BC = CD = DE ∠COD=35°,



BC = CD

=

DE
?

A

O

·

? ?BOC=?COD=?DOE=35
B

? ?AOE ? 180 ? 3 ? 35
?

?

? 75

?

练习
2、如图,AD=BC,

比较AB与CD的长度,并证明你的结论。
⌒ ⌒

练习
3、如图,BC为⊙O的直径,OA是⊙O的半径,弦

BE∥OA,求证:AC=AE
C

⌒ ⌒

A

O

E

B

收获与体会
同圆或等圆中,两个圆心 角、两条弧、两条弦中有一 组量相等,它们所对应的其 余各组量也相等.


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