haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

勾股定理

发布时间:2013-09-17 18:48:44  

1.勾股定理(只适用于直角三角形)

内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;

表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2?b2?c2 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进DC

一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等

E于斜边的平方 Gb2.勾股定理的证明

BA 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ba

a②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 c常见方法如下:

方法一:4S??S正方形EFGH

1.勾股定理(只适用于直角三角形)

内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;

表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2?b2?c2 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方

2.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理

常见方法如下:

1方法一:4S??S正方形EFGH?S正方形ABCD,4?ab?(b?a)2?c2,化简可证. 21?S正方形ABCD,4?ab?(b?a)2?c2,化简可证. 2bccbbaa

方法二:

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与1小正方形面积的和为S?4?ab?c2?2ab?c2 2

大正方形面积为S?(a?b)2?a2?2ab?b2 所以a2?b2?c2 111方法三:S梯形?(a?b)?(a?b),S梯形?2S?ADE?S?ABE?2?ab?c2,化简得证 222

AaD

bcE

a

bC

5.勾股定理的逆定理 B

如果三角形三边长a,b,c满足a2?b2?c2,那么这个三角形是直角三角形,其中c为

斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和a2?b2与较长边的平方c2作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;若a2?b2?c2,时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;若a2?b2?c2,时,以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形;

②定理中a,b,c及a2?b2?c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足a2?c2?b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形

②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等

6.勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.

二、经典例题精讲

题型一:直接考查勾股定理

例1. 在?ABC中,?C?90?.

(1)知AC?6,BC?8.求AB的长

⑵已知AB?17,AC?15,求BC的长分析

2、在Rt△ABC中,斜边AB=2,则AB2+BC2+AC2=_____.

3.在△ABC中,?C?90?,若a?b?7,△ABC的面积等于6,则边长c=

4、在Rt△ABC中,∠C=90°,①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;

③若c=61,b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△ABC=________

题型二:利用勾股定理测量长度

例题2如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?

例题3 如图(8),水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的

长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度

AC.

题型四:利用勾股定理求线段长度——

例题5 如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一

点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.

六、

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.

(1)求DE的长;

(2)求△ADB的面积.

1.勾股定理(只适用于直角三角形)

内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,

D

E

b

A

GC

B

那么a2?b2?c2

勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:

1ba方法一:4S??S正方形EFGH?S正方形ABCD,4?ab?(b?a)2?c2,化简2a

cb可证.

c bc

a

方法二:

ba

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与1

小正方形面积的和为S?4?ab?c2?2ab?c2

2

ba

c

a

b

大正方形面积为S?(a?b)2?a2?2ab?b2 所以a2?b2?c2

b

c

cb

111

方法三:S梯形?(a?b)?(a?b),S梯形?2S?ADE?S?ABE?2?ab?c2,化

222

a

a

简得证

5.勾股定理的逆定理

Aa

Db

c

B

b

EaC

如果三角形三边长a,b,c满足a2?b2?c2,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和a2?b2与较长边的平方c2作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;若a2?b2?c2,时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;若a2?b2?c2,时,以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形;

②定理中a,b,c及a2?b2?c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足a2?c2?b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形

②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等

6.勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.

二、经典例题精讲

题型一:直接考查勾股定理

例2. 在?ABC中,?C?90?.

(1)知AC?6,BC?8.求AB的长

⑵已知AB?17,AC?15,求BC的长分析

2、在Rt△ABC中,斜边AB=2,则AB2+BC2+AC2=_____.

3.在△ABC中,?C?90?,若a?b?7,△ABC的面积等于6,则边长c=

4、在Rt△ABC中,∠C=90°,①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;

③若c=61,b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△ABC=________

题型二:利用勾股定理测量长度

例题2如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?

例题3 如图(8),水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.

题型四:利用勾股定理求线段长度——

例题5 如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一

点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.

六、如图,

Rt

△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.

(1)求DE的长;

(2)求△ADB的面积.

AaD

bc

BbEaC

方法二:

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与1小正方形面积的和为S?4?ab?c2?2ab?c2 2

大正方形面积为S?(a?b)2?a2?2ab?b2 所以a2?b2?c2 111方法三:S梯形?(a?b)?(a?b),S梯形?2S?ADE?S?ABE?2?ab?c2,化简得证 222

5.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a,b,c满足a2?b2?c2,那么这个三角形是直角三角形,其中c为

斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和a2?b2与较长边的平方c2作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;若a2?b2?c2,时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;若a2?b2?c2,时,以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形;

②定理中a,b,c及a2?b2?c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足a2?c2?b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形

②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等

6.勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.

二、经典例题精讲

题型一:直接考查勾股定理

例3. 在?ABC中,?C?90?.

(1)知AC?6,BC?8.求AB的长

⑵已知AB?17,AC?15,求BC的长分析

2、在Rt△ABC中,斜边AB=2,则AB2+BC2+AC2=_____.

3.在△ABC中,?C?90?,若a?b?7,△ABC的面积等于6,则边长c=

4、在Rt△ABC中,∠C=90°,①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;

③若c=61,b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△ABC=________

题型二:利用勾股定理测量长度

例题2如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?

例题3 如图(8),水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到

D点,并求水池的深度AC.

题型四:利用勾股定理求线段长度——

例题5 如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.

六、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.

(1)求DE的长;

(2)求△ADB的面积.

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com