haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

13.3.1等腰三角形第一课时

发布时间:2013-11-10 11:50:59  

13.3.1 等腰三角形

学习

目标

1.等腰三角形及其相关概念。 2.等腰三角形的性质。 3.等腰三角形的概念及性质的应用。

创设情境

创设情境

下载图片

创设情境

等腰三角形

你知道什么是等腰三角形吗?

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 如图,△ABC中,AB=AC,那么△ABC就 是等腰三角形。 相等的两条边AB和AC叫做腰;

另一条边BC叫做底边; 两腰所夹的角∠BAC叫做顶角; 底边与腰的夹角∠ABC和 ∠ACB叫做底角.
只有等腰三角形才有底角和底边. B

A
顶 角


底角

腰 C

底边

如图:在三角形ABC中,AB=AC,且AD=BD, 请大家数一数,这个图形中一共有多少个等腰 三角形?
△ABC(AB=AC),△ADB(AD=BD)

若将条件改为AB=AC ,AD=BD=BC, 则有多少个等腰三角形?
△ABC(AB=AC) △ADB(AD=BD) △BDC (BD=BC)
B

A

D

C

材料: 剪刀、一张矩形纸 方法:(1)先将矩形纸按图中虚线对折;
(2)剪去阴影部分; (3)将剩余部分展开。

大胆猜测
请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形 纸片,它除了两腰相等以外,你还能发 A 现什么?

B

C

如果一个图形沿一条直 线折叠,直线两旁的部分能够 互相重合,我们就说这个图形 关于这条直线对称,那么这个 图形就叫轴对称图形,这条直 线叫对称轴.互相重合的点是 对应点,叫做对称点.
返回

设问:你发现了什么现象, 猜想等腰△ABC有哪些性质?

结论:
角:

等腰三角形是轴对称图形;



∠B = ∠C → 两个底角相等

② ∠BAD=∠CDA → AD为顶角∠BAC的平分线 ③∠ADC= ∠ADB=900 → AD为底边BC上的高 边: ④BD = CD → AD为底边BC上的中线

等腰三角形性质 性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对 等角”); 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高互相重合。(可简记为“三线合一”)

探索并证明等腰三角形的性质
利用实验操作的方法,我们发现并概括出等腰三角 形的性质1和性质2.对于性质1,你能通过严格的逻辑, 推理证明这个结论吗? (1)你能根据结论画出图形,写出已知、求证吗? (2)结合所画的图形,你认为证明两个底角相等的思 路是什么? (3)如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形 呢?从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发?

作顶角的平分线
证明:等腰三角形的两个底角相等
A
12

已知: △ ABC中,AB=AC.
求证: ∠B= ∠C.

B C D 证明: 作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中, AB=AC ( 已知 ), ∠ 1= ∠ 2 ( 辅助线作法 ), AD=AD (公共边) , ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).

作底边中线
证明:等腰三角形的两个底角相等

已知: △ ABC中,AB=AC. 求证: ∠B= ∠

C.
证明: 作底边中线AD. 在△BAD和△CAD中,
AB=AC ( 已知 ), BD=CD ( 辅助线作法 ), AD=AD (公共边) , ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS). B

A

D

C

∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).

作底边的高线 证明:等腰三角形的两个底角相等
已知: △ ABC中,AB=AC.
求证: ∠B= ∠C.
证明:作底边高线AD. B 在Rt△BAD和△RtCAD中, C A

D

AB=AC ( 已知 ),
AD=AD (公共边) , ∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).

探索并证明等腰三角形的性质
性质2可以分解为三个命题,本节课证明“等腰三 角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”.

探索并证明等腰三角形的性质
已知:如图,△ABC 中,AB =AC,AD 是底边BC 的中线.求证:∠BAD =∠CAD,AD⊥BC. A 证明:∵ AD 是底边BC 的中线, ∴ BD =CD.
在△BAD和△CAD中,

AB =AC, BD =CD, AD =AD, B ∴ △ABD ≌△ACD(SSS).

D

C

探索并证明等腰三角形的性质
已知:如图,△ABC 中,AB =AC,AD 是底边BC 的中线.求证:∠BAD =∠CAD,AD⊥BC. A 证明:∴ ∠BAD =∠CAD, ∠ADB =∠ADC. ∵ ∠ADB +∠ADC =180°, ∴ ∠ADB =90°. ∴ AD⊥BC.



D

C

探索并证明等腰三角形的性质
在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中,“折 痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用,由此,你能发 现等腰三角形具有什么特征?

等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平 分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.

等腰三角形的性质
1 等腰三角形的两 个底角相等(等边 对等角)

例1 在三角形ABC中,已知AB=AC, 且∠B=80° ,则∠C= ___度, ∠A=____度?
∵AB=AC(已知)

2等腰三角形顶角的 平分线,底边上的 ∴∠B=∠C(等边对等角) 中线和底边上的高 ∵∠B=80° (已知) 互相重合(等腰三 ∴∠C=80° 角形三线合一) 又∵∠A+∠B+∠C=180° (三角形内角和为180° ) ∴∠A=180°- ∠B-∠C ∠A=20° B

A

C

等腰三角形的性质
1 等腰三角形的两 个底角相等(等边 对等角) 2等腰三角形顶角 的平分线,底边上 的中线和底边上的 高互相重合(等腰 三角形三线合一)

在三角形ABC中,已知 AB=AC,且∠ A=50° ,则 ∠B=——度,∠C=——度?
操练1
∵AB=AC(已知) ∴∠B=∠C(等边对等角) 又∵∠A+∠B+∠C=180° (三角形内角和为180° ) ∠A=50° (已知) ∴∠B=65° ∠C=65° C

A

B

小结归纳

1

等腰三角形的性质定理

等腰三角形的两个底角相等
(简写成“等边对等角”)

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂 直于底边. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高互相重合. “三线合一”

随堂练习

1.判断下列语句是否正确。
(1)等腰三角

形的角平分线、中线和高互相重 合。( ×) (2)有一个角是60°的等腰三角形,其它两个 内角也为60°. ( ) (3)等腰三角形的底角都是锐角. ( ) (4)钝角三角形不可能是等腰三角形 . ( ×)

1.△ABC中,AB=AC,∠A=70°,则 55° ∠B=______ 2.等腰三角形一底角的外角为105°,那么它 30 的顶角为______度 3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°, 则这个等腰三角形的顶角为( C ) A.30° B.150° C.30°或150° D.120°

随堂练习

2. 在三角形ABC中,AB=AC,且AD ⊥BC,已 知BD=2cm,求DC=___cm, BC=___cm? ∵ AB=AC ,AD ⊥BC(已知) ∴BD=CD(等腰三角形的高与 底边上的中线重合)
A 12

即(等腰三角形三线合一)
∵BD=2cm(已知) ∴CD=2cm
B D C

随堂练习 A

3.已知AD⊥ BC,试找出等腰三角形ABC (AB=AC)中,存在相等关系的量。

12

∠B=∠C ∠1=∠2 ∠BDA=∠CDA=90° BD=CD
B D C

中考链接

1

1.(2010.江西)已知等腰三角形的两条边 长分别是7和3,则下列四个数中,第三条边的 长是( B ) A. 8 B. 7 C. 4 D. 3.

2. (2010.宁波) 如图,在△ABC中,AB=AC, ∠A=36°,BD、CE分别是△ABC、△BCD的角 平分线, 则图中的等腰三角形有( A ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

当堂测试 40 ° ⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.

⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
70°,40°或55°,55° __________________.

⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为 _______. 35 °,35 ° 结论:在等腰三角形中,
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°-2×底角 ④0°<顶角<180° ⑤0°<底角<90°

③ 底角=(180°-顶角)÷2

当堂测试

4. 根据等腰三角形的性质,在△ABC中, AB=AC时,
BAD CAD BD CD (1) ∵AD⊥BC,∴∠_____ = ∠_____,____= ____. AD BC BAD CAD (2) ∵AD是中线,∴____⊥____ ,∠_____ =∠_____. AD BC CD BD (3) ∵AD是角平分线,∴____ ⊥____ ,_____ =_____.
A

B

D

C

当堂测试

5. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为BC的中点, 则点D到AB,AC的距离相等。请说明理由。
解:相等,理由如下: 连接AD 在△ABC中, ∵AB=AC,D为BC中点

A E B D F

∴AD平分∠BAC
∵DE⊥AB,DF⊥AC ∴DE=DF

C

小结归纳

2

通过本节课的学习,你有哪些收获?
等腰三角形
性质1:等边对等角
常用来证明两角 相等,求等腰三 角形各角的度 数.

性质2:“三线合一”
研究等腰三角形 的有关问题时 “三线”是常用 的辅助线.


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com