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《24.1.2 垂直于弦的直径(1)》课件

发布时间:2013-11-10 13:41:39  

人教版九年级上册

赵州桥主桥拱的半径是多少?

问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形, 它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧 的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗?

不借助任何工具,你能找到圆形

纸片的圆心吗? 由此你能得到圆的什么特性?
可以发现:圆是轴对称图形。任何 一条直径所在直线都是它的对称轴.

如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段 和弧? 为什么? C

线段: AE=BE

O ·

弧: AC=BC,

⌒ ⌒

AD=BD

⌒ ⌒

A

E D

B

垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
C

∵ CD是直径,CD⊥AB
∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
⌒ ⌒





O · ? 老师提示: A E D B

? 垂径定理是圆中一个重要的定理,
三种语言要相互转化,形成整体, 才能运用自如.

下列图形是否具备垂径定理的条件?
C

c

C

C

A
O A D E B

D O

B
O

O A E B
A E D B



不是



不是

垂径定理的几个基本图形:
C

A D
O A D E B

B

A

O D C B

O

A

O C B

C

CD过圆心
CD⊥AB于E

AE=BE AC=BC AD=BD

1、如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于E, 则下列结论中不成立的是( )

A、∠COE=∠DOE

A

B、CE=DE
C、OE=AE D、BD=BC
⌒ ⌒

C

E O·

D

B

2、如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为
10cm,OE=6cm,则AB= 解:连接OA,∵ OE⊥AB ∴ AE ? OA ? OE
2 2 2 2

cm。
A E · O B

? 10 ? 6 ? 8cm

∴ AB=2AE=16cm

3、如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆 心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径。

解:过点O作OE⊥AB于E,连接OA 1 ∴ AE ? AB ? 4cm 2 E A OE ? 3cm ∴ AE ?
2

B

AE ? OE
2 2

2

· O

? 4 ? 3 ? 5cm

即⊙O的半径为5cm.

4、如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于E, CE=1,AB=10,求直径CD的长。
解:连接OA,
∵ CD是直径,OE⊥AB ∴ AE=1/2 AB=5 C A E · O D

B 设OA=x,则OE=x-1,由勾股定理得 x2=52+(x-1)2 解得:x=13

∴ OA=13

∴ CD=2OA=26

即直径CD的长为26.

你能利用垂径定理解决求

赵州桥拱半径的问题吗?

7.2m

37.4m

C A

D

B

O

关于弦的问题,常 常需要过圆心作弦 的垂线段,这是一 条非常重要的辅助 线。 ?圆心到弦的距离、 半径、弦构成直角 三角形,便将问题 转化为直角三角形 的问题。
?

解:如图,用AB表示主桥拱,设AB 所在的圆的圆心为O,半径为r.

C
D B

A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D,与AB交于点C,则D是AB的中

⌒ 点,C是AB的中点,CD就是拱高.

∴ AB=37.4m,CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m,OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA ? OD ? AD
2 2 2

O

∴ r ? 18.7 ? ?r ? 7.2?
2 2

2

解得r=27.9(m) 即主桥拱半径约为27.9m.


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