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九年级数学上册 第1单元-复习课件 北师大版

发布时间:2013-11-11 08:03:01  

第1章复习 ┃ 知识归类

┃知识归纳┃
1.等腰三角形的性质

性质(1):等腰三角形的两个底角
性质(2):等腰三角形顶角的

相等 . 中线 、底边

平分线 、底边上的

上的高互相重合.
2.等腰三角形的判定 (1)定义:有两条边

相等 的三角形是等腰三角形.
相等 的三角形是等腰三角形.

(2)等角对等边:有两个角

第1章复习 ┃ 知识归类 3.用反证法证明的一般步骤

(1)假设命题的结论不成立;
(2)从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义、公理、 已证定理或已知条件相矛盾的结果; (3)由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 4.等边三角形的判定 (1)有一个角等于60°的 三角形是等边三角形; 等腰

第1章复习 ┃ 知识归类 (2)三边相等的三角形叫做等边三角形;

(3)三个角相等的三角形是等边三角形;
(4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形. 5.直角三角形的性质 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直 一半 角边等于斜边的 . 6.勾股定理及其逆定理 平方 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 .

第1章复习 ┃ 知识归类 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那 直角 三角形. 么这个三角形是 7.线段的垂直平分线的性质定理及判定定理 性质定理:线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点 相等 . 的距离 判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线 段的 垂直平分线 上. [点拨] 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相 等的所有点的集合.

第1章复习 ┃ 知识归类 8.三线共点

一点 三角形三条边的垂直平分线相交于 相等 三角形三个顶点的距离 .
9.角平分线的性质定理及判定定理

,并且这一点到

相等 性质定理:角平分线上的点到这个角两边的距离
判定定理:在一个角的内部,且到角的两边 距离 点,在这个角的平分线上.

. 相等的

第1章复习 ┃ 知识归类

[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线,所以它的逆 定理必须加上“在角的内部”这个条件.
10.三角形三条角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边 相等 . 的距离

第1章复习 ┃ 考点攻略

┃考点攻略┃
? 考点一
例1

线段垂直平分线的性质的应用

如图S1-1,在△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,

∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE=________. 50°

第1章复习 ┃ 考点攻略

[解析] 根据线段垂直平分线的性质,线段垂直平分线上的 点到线段两端点的距离相等,所以EA=EC,∠A=∠ACE= 30°,又∠ACB=80°,故∠BCE=80°—30°=50°.

第1章复习 ┃ 考点

攻略

方法技巧 若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线, 注意利用“线 段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”解决问 题.同时,我们在求一些边长、周长或角的度数时,如果能恰当地 运用线段垂直平分线性质, 可以大大简化解题过程, 同学们在学习 中要注意到这一点!

第1章复习 ┃ 考点攻略 ? 考点二 例2 全等三角形的证明

如图S1-2,在△ABC和△DEF中,B,E,C,F在同

一直线上,下面有四个条件,请你从中选三个作为题设,余下的 一个作为结论,写出一个正确的命题,并加以证明.
①AB=DE,②AC=DF,③∠ABC=∠DEF,④BE=CF.

第1章复习 ┃ 考点攻略 解:命题一:在△ABC和△DEF中,B,E,C,F在同一直 线上,AB=DE,AC = DF,BE=CF.求证:∠ABC=∠DEF.

命题二:在△ABC和△DEF中,B,E,C,F在同一直线上, AB=DE,∠ABC=∠DEF,BE=CF.求证:AC=DF. 下面证明命题一: 已知:如题图,在△ABC和△DEF中,B,E,C,F在同一 直线上,AB=DE,AC = DF,BE=CF.

求证:∠ABC=∠DEF.

第1章复习 ┃ 考点攻略 证明:在△ABC和△DEF中, ∵BE=CF,∴BC=EF.

又∵AB=DE,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).

∴∠ABC=∠DEF.

第1章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 与全等三角形有关的开放型试题形式多样, 设计新颖, 能培养 同学们的逆向思维能力、 创新能力和综合运用知识的能力. 解答条 件开放型试题,需要执果索因,逆向推理,逐步探求结论成立的条 件.同时要注意挖掘图形中的隐含条件,如对顶角、公共角、公共 边等,然后合理选择全等三角形的知识解决.另外,要注意这类题 的答案往往不唯一,只要合理即可.

第1章复习 ┃ 考点攻略 ? 考点三 勾股定理的应用

2 例 3 如图 S1-3,已知圆柱体底面圆的半径为 ,高为 2, π AB,CD 分别是两底面圆的直径,AD,BC 是母线,若一只小虫从 A 点出发,从侧面爬行到 C 点,求小虫爬行的最短路线的长度(结 果保留根号).

第1章复习 ┃ 考点攻略

第1章复习 ┃ 考点攻略

[解析] 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用,此问题看上 去是一个曲面上的路线问题,但实际上能通过圆柱的侧面展开而 转化为平面上的路线问题,值得注意的是,在剪开圆柱侧面时, 要从A开始并垂直于AB剪开,这样展开的侧面才是个矩形,才 能得到直角,再利用勾股定理解决此问题.

第1章复习 ┃ 考点攻略
2 1 解:圆柱的底面周长为 2πr=2×π× =4,取其一半: ×4 π 2 =2,圆柱的高为 2,根据勾股定理,得 AC2=22+22=8,所以 AC =2 2.

第1章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋

转体的问题, 也是把立体图形转化为平面图形的问题, 即将原图形的侧面展开转 化为平面图形问题——即“展曲为平”问题,特别要注意圆柱、圆 锥的侧面展开问题.这种由三维立体和二维平面的相互转化,充分 体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、 图形识别能 力、 理解能力的要求, 是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型.

第1章复习 ┃ 考点攻略 ? 考点四 例4 等腰三角形的判别

已知:在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的

中点.
(1)如图S1-4,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF, 求证:△DEF为等腰直角三角形; (2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其 他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?证明你的

结论.

第1章复习 ┃ 考点攻略

[解析] 要证明△DEF为等腰三角形,需要证DE=DF.连接 AD,利用全等可得这一结论.至于在延长线上,可利用同样的 方法.

第1章复习 ┃ 考点攻略
证明:(1)连接AD,如图S1-5: ∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点, ∴AD⊥BC,BD=AD, ∴∠B=∠DAC=45°, 又BE=AF, ∴△BDE≌△ADF(SAS), ∴ED=FD,∠BDE=∠ADF,

∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.

第1章复习 ┃ 考点攻略 (2)若E,F分别是AB,CA延长线上的点,如图S1-6所示: 连接AD,

∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴AD=BD,AD⊥BC,

∴∠DAC=∠ABD=45°,
∴∠DAF=∠DBE=135°. 又AF=BE, ∴△DAF≌△DBE(SAS),

第1章复习 ┃ 考点攻略

∴FD=ED,∠FDA=∠EDB,
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB= 90°, ∴△DEF仍为等腰直角三角形.

第1章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 等腰三角形的应用体现在利用等腰三角形的性质与判定上, 尤 其是“三线合一”的性质用来对线段或角进行转化, 从而摆脱用全 等三角形证明线段相等或角相等的思维定势, 更简捷地说明两线段 或角相等.在中考中,等腰三角形常与其他知识结合,综合性强, 多以证明或计算题出现.

第1章复习 ┃ 考点攻略 ? 考点五 例5 角平分线与“截长补短”

如图S1-7,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=

∠CDE,∠DCE=∠ECB.
求证:CD=AD+BC.

第1章复习 ┃ 考点攻略

[解析] 结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的 “截长”,即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可,这 就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的.

第1章复习 ┃ 考点攻略
证明:在 CD 上截取 CF=BC,如图 S1-8, 在△FCE 与△BCE 中, ?CF=CB, ? ?∠FCE=∠BCE, ?CE=CE, ? ∴△FCE≌△BCE(SAS), ∴∠2=∠1. ∵AD∥BC,∴∠A

DC+∠BCD=180° . 又∠ADE=∠CDE,

图S1-8

第1章复习 ┃ 考点攻略
∴∠DCE+∠CDE=90° , ∴∠2+∠3=90° ,∠1+∠4=90° , ∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中, ?∠FDE=∠ADE, ? ?DE=DE, ?∠3=∠4, ? ∴△FDE≌△ADE(ASA),∴DF=DA. ∵CD=DF+CF,∴CD=AD+BC.

第1章复习 ┃ 考点攻略

方法技巧 角的平分线具有其特有的性质,这一性质在许多问题里都有 着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特 殊方法,利用此种方法常可使思路豁然开朗.掌握好“截长补短 法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助.


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