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一元二次方程教案

发布时间:2013-09-18 21:05:37  

教 案

科目 数学 时间 学生

第二十二章 一元二次方程

1. 一元二次方程的定义及一般形式:

(1) 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数

式2(二次)的方程,叫做一元二次方程。

(2) 一元二次方程的一般形式: ax2?bx?c?0(a?0)。其中a为二次项系数,

b为一次项系数,c为常数项。

注意:三个要点,①只含有一个未知数;②所含未知数的最高次数是2;③是整式方程。

y21222例题:方程:①2x??0中一?1 ②2x?5xy?y?0 ③7x?1?0 ④23x2

元二次是 ( )

A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③

2;③必须是整式方程。

22ax?x?x?4?0是一元二次方程 例题:当a_______时,关于x的方程

例题:方程3x(x?1)?2(x?2)?8化成一般形式是__________________

2. 一元二次方程的解法

(1)直接开平方法:

形如(x?a)2?b(b?

0)的方程可以用直接开平方法解,两边直接开平方得x?a?

x?a?

?x??a?

注意:若b<0,方程无解

2例题:将方程x?6x?3?0左边配成完全平方式,得到的方程是( )

2222(x?3)??3(x?3)?6(x?3)?3(x?3)?12 A、 B、 C、 D、

2(2x?1)?9 例题:解方程

(2)因式分解法:

一般步骤如下:

①将方程右边得各项移到方程左边,使方程右边为0;

②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式;

③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;

④解这两个一元一次方程,他们的解就是原方程的解。

2例题:解方程3x?11x?4?0

(3) 配方法

1

用配方法解一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的一般步骤

①二次项系数化为1:方程两边都除以二次项系数;

②移项:使方程左边为二次项与一次项,右边为常数项;

③配方:方程两边都加上一次项系数一般的平方,把方程化为

(x?m)2?n(n?0)的形式;

④用直接开平方法解变形后的方程。

注意:当n?0时,方程无解

2例题:将方程x?4x?1?0配方后,原方程变形为( )

2222A.(x?2)?3 B.(x?4)?3 C.(x?2)??3 D.(x?2)??5

22x?3x?1?0 例题:解方程

(4) 公式法:

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式:

x?(b2?4ac?0) 一般步骤: ①将方程化为一般形式 ax2?bx?c?0(a?0); ②确定方程的各系数a,b,c,计算b2?4ac的值;

③当b2?4ac?0,将a,b,c以及b2?4ac的值代入求根公式,得出方

?b?程的根x? 2a

注意: ①当b2?4ac?0时,方程无解;②公式法是解一元二次方程的万能方法;③利用b2?4ac的值,可以不解方程就能判断方程根的情况;

例题:解方程(x?2)(2x?1)?2

3. 一元二次方程的根的判别式

2

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac 当△>0时,方程有两个不相等的实数根; 当△=0时,方程有两个相等的实数根, 当△<0时,方程没有实数根.

例题.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况,有关试题出现在选择题或填空题中,如:关于x的方程ax2-2x+1=0中,如果a<0,那么根的情况是( ) (A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)没有实数根 (D)不能确定

例题:若关于x的方程x2+2(k-1)x+k2=0有实数根。则k的取值范围是( )

1111A.k< B.k? C.k> D.k?

2222

nm

例题:已知实数m,n满足m2-7m+2=0,n2-7n+2=0,则?=_______。

mn

4. 韦达定理(根与系数关系)

(1)我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c=0之后,设它的两个根是x1和x2,则x1和x2与方程的系数a,b,c之间有如下关系:

bcx1+x2=?; x1?x2=

aa

可以由公式法解一元二次方程的两个根证明。 *实根与虚根。

(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-P,x1x2=q

x1x2=q

(3)以x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.

x2-(x1+x2)x+x1x2=0.

例题:设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根,则x12+x22的值是( ) (A)15 (B)12 (C)6 (D)3

例题:已知关于x的方程x2+kx-6=0的一个根是2,另一个根为___,k为____。

例题:当m=2时,使关于x的方程x2-4x+m=0有两个不相等的非零实数根x1,

x2,此时相应代数式

x1x2

?=________。 x2x1

例题:已知a,b是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的

11

实数根,且满足???1,则m的值是( )

ab

A.3或-1 B.3 C.1 D.-3或1

例题:设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值: x2x1

(1) (x1+1)(x2+1) (2) (3)x12+ x1x2+2 x12

x1x2

3

5. 一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题,其步骤和二元一次方程组解应用题类似

①“审”,弄清楚已知量,未知量以及他们之间的等量关系;

②“设”指设元,即设未知数,可分为直接设元和间接设元;

③“列”指列方程,找出题目中的等量关系,再根据这个关系列出含有

未知数的等式,即方程。

④“解”就是求出说列方程的解;

⑤“答”就是书写答案,检验得出的方程解,舍去不符合实际意义的方

程。

例题:某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2,因为准备工作不足,第一天少拆了20%。从第二天开始,该工程队加快了拆迁速度,第三天拆迁了1440m2。

求:(1)该工程队第一天拆迁的面积;

(2)若第二天,第三天每天拆迁面积比前一天增长百分数相同,求这个百分数。 中考题型:

例题:已知?ABC的两边AB,AC的长是关于x的方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5,问:k取何值时,?ABC时以BC为斜边的直角三角形?

例题:关于x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围时( )

A.K>-1 B.K>1 C.K?0 D.K>-1 且K?0

例题:已知a是实数,且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程

1x2+2ax+1-2x2-a2-1)=0有无实根? 2

4

作业: 11. 解方程(x?3)2?2 2

2. 解方程x2?2x?99?0。

3.

解方程x2??1?0。

4. 解方程(2x?5)2?2x?5?0

x2?12x5xx5. (1)?2?3 ??4 (2) xx?1x?6x?1

6. 解方程2x2?8x?3?2x?x2

7. 已知c为常数,并且方程x2?3x?c?0的一个根的相反数是方程x2?3x?c?0

的一个根,求方程x2?3x?c?0的根和c的值。

8. 设x1、x2是方程2x2?4x?3?0的两个根,利用根与系数关系,求下列各式

的值

(1)(x1?x2)2

9. 若方程x2?2x?k?0的一个根为0,另一个根是___________。

10.关于方程x2?(2k?1)x?k?1?0的根的情况是____________。

A.有两个不等实根 B.有两个相等实根

C.没有实根 D.无法判断 x2x11.方程()?6?5()的整数解是___________. x?1x?1

12.已知6y2?5y?6?0,求3y?2的值. 4y?3

5 (2)(x1?11)(x2?) x2x1

二、综合能力题

1.方程2x(x?3)?5(x?3)的根为 ( )

A.x?525 B.x?3 C.x1?,x2?3 D.x? 252

2.方程x2?23x?3?0的根的情况是 ( )

A.有两个不等的有理数根 B.有两个相等的有理数根

C.有两个不等的无理数根 D.有两个相等的无理数根

3.若方程x2?px?q?0的两次根中只有一个根为0,那么 ( )

A.p?q?0 B.p?0,q?0 C.p?0,q?0 D.p?0,q?0

4.一元二次方程x2?3x?1?0的两根为x1,x2,则

x1?x2?_______,x1?x2?________,

1

x1? 12?_______,x12?x2?_______.x2

5.解下列方程

(1)(x?1)(x?3)?21 (2)9(x?3)2?4(2?x)2

(3)(2y?1)2?3(2y?1)?2?0

12.已知关于x的一元二次方程(m?1)x2?2x?m2?1?0的一个解是0,求m的值。

13.已知(a2?b2)2?a2?b2?6?0,求a2?b2的值。

6.已知关于方程kx2?2x?k2?k?0的两个实根分别为0,?,求?及k的值.

6

7.试写出满足下列要求的一元二次方程各一个.

(1)一个根是0,另一个根是负数.

(2)一个根是正数,另一个根大于-2而小于-1.

8.设方程x2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q的值。

9.是否存在实数k,使关于x的方程9x2-(4k-7)x-6k2=0的两个实根x1,x2,

x13满足||=,如果存在,试求出所有满足条件的k的值,如果不存在,请 x22

说明理由。

10.已知a是关于x方程x2?x?1?0的一个根,求下列各式的值.

(1)a?1. a

(2)2005?a3?2a2.

7

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