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九年级数学二次函数概念

发布时间:2013-11-11 12:37:51  

知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么?
2。一次函数、正比例函数的定义是 什么?

喷泉(1)

创设情境,导入新课
问题:

(1)你们喜欢打篮球吗? (2)你们知道:投篮时,篮球运动的 路线是什么曲线?怎样计算篮球达到 最高点时的高度?

二次函数

合作学习,探索新知 :

请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系: (1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm ) y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元,2、3月 份利润逐月增长,这两个月利润的月平 均增长率为x,3月份的利润为y y = 2(1+x)2

合作学习,探索新知 :
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果

温室外围是一个矩形,周长为12Om , 室 内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。 1

y = (60-x-4)(x-2)

1

1

x

3

合作学习,探索新知 : 1.y

=πx2

2.y

= 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) 2+4x+2 =-x2+58x-112 =2x

上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?

经化简后都具有y=ax2 +bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
(1)关系式都是整式,(2)自变量的最高次数是 二次只含有一个自变量,(3)二次项系数不等于 零

? 我们把形如y=ax2 +bx+c(其中a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做二次函数
称:ax2叫做二次项,a为二次项系数 bx叫做一次项, b为一次项系数 c为常数项,

又例:y=x2+ 2x – 3

做一做:
(1)正方形边长为x(cm),它的面积y(cm2) 是多少? (2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长 增加x厘米,宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘 米,试写出y与x的关系式. 2 (2) y ? (4 ? x)(3 ? 2x) ? 2x 2 ? 11x ? 12 解:()y ? x 1

抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是二次函数?

(1) y ? x

2

是 不是 是
2

1 (2) y ? ? 2 x (3) y ? x(1 ? x) (4) y ? ( x ? 1) ? x
2

不是

先化简后判断

2、下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y ? 3x 2 ? 2
1 ( 2) y ? x ? x
2

(是 )

(

否) 是) 否
)

(3) y ? ( x ? 2)(x ? 3)

(

(4) y ? x 2 ? 2 x ? 3

(

(5) y ? ( x ? 2)(x ? 2) ? ( x ?1)2

(否 )

知识运用
3、下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x-1 (2)y=3x2

(3)y=3x3+2x2
(5)y=x-2+x

(4)y=2x2-2x+1
(6)y=x2-x(1+x)

例1: 关于x的函数 y ? (m ? 1) x 数, 求m的值.
解: 由题意可得

m2 ? m

是二次函

m2 ? m ? 2
解得,m ? 2 ?当m ? 2时,函数为二次函数。

m ?1 ? 0

注意:二次函数的二次项系数不能为零

知识运用
练习m取何值时,函数是
+(m-3)x+m 是二次函数?

y= (m+1)x

m ? 2m ?1
2

驶向胜利 的彼岸

练一练:

练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子 (1)二次项系数是一次项系数的2倍, 常数项为任意值。 (2

)二次项系数为-5,一次项系数为 常数项的3倍。

展示才智

3、若函数 y ? (m ? 1)x m的值。
2

m2 ?m

为二次函数,求

解:因为该函数为二次函数, 则
?m 2 ? m ? 2(1) ? ? 2 ? m ? 1 ? 0( 2) ?

解(1)得:m=2或-1 解(2)得: m ? 1且m ? ?1 所以m=2

判断:下列函数是否为二次函数,如果是, 指出其中常数a.b.c的值. (1) y=1— 3x 2 (2)y=x(x-5) 1 x2- 3 x+1 (3)y=
2

2

(4) y=3x(2-x)+ 3x2
2

1 (5)y= 2 3x ? 2 x ? 1

(6) y= x 2 ? 5x ? 6 (8)y=ax2+bx+c

(7)y= x4+2x2-1

当m为何值时,函数 m2-2+4x-5是 y=(m-2)x x的二次函数

m2+m-4+ 练习:y=(m+3)x

(m+2)x+3, 当m为何值时,y是x的二 次函数?

例3:已知关于x的二次函数,当x=-1时,函数值为
10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这 个二次函数的解析试.
解:设所求的二次函数 y ? ax2 ? bx ? c,由题意得: 为



a ? b ? c ? 10 a?b?c ? 4 4a ? 2b ? c ? 7

待定系数法

解得,a ? 2, b ? ?3, c ? 5

?所求的二次函数是 ? 2x 2 ? 3x ? 5 y

例4. 已知二次函数y=x2 +px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的解析式.
解:把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y ? x 2 ? px ? q, 得:



1? p ? q ? 4 4 ? 2 p ? q ? ?5

解得,p ? ?12, q ? 15.

?所求的二次函数是y ? x ?12x ? 15
2

牛刀小试

例5.已知二次函数

y ? 2( x ? 1) ? 4
2

(1)你能说出此函数的最小值吗? 当x=1时,函数y有最小值为4 (2)你能说出这里自变量能取哪些值呢?
x取任意实数

开动脑筋
问题:是否任何情况下二次函数中的自变量

的取值范围都是任意实数呢? 2 例如:圆的面积 y (cm )与圆的半径 x (cm)的函数关系是 y =πx2 其中自变量x能取哪些值呢? x ? 0

注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围.

试一试:
要用长20m的铁栏杆,一面靠墙,围成一 个矩形的花圃,设连墙的一边为x,巨形的 面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式. (2)当x=3时,距形的面积为多少?
解:) y ? x(20 ? 2 x) (1

? ?2 x ? 20x
2

(o<x<10)

(2) y ? ?2 ? 32 ? 20? 3 ? 42m

这节课你有什么收获和体会?

结束寄语

下课了!

?生活是数学的源泉.
?

探索是数学的生命线.


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