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4.4相似三角形的性质及应用(1)

发布时间:2013-11-11 12:37:53  

在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比, 三角形的边长,周长,面积,角,哪些放大为10倍?

看一看:
在4×4正方形网格中
A 2 √10 B

Δ ABC与Δ A′B′C′有什么关系? (相似) 为什么?
C

√2

算一算:
Δ ABC与Δ A′B′C′的相似比 是多少? 2 Δ ABC与Δ A′B′C′的周长比 是多少? 2 面积比是多少? 2

A’ √2 B’ √5 C’ 1

想一想:

你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比 有什么关系?面积比与相似比又有什么关系?

周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方

验一验:是不是任何相似三角形都有此关系呢?
你能加以证明吗?

已知:Δ ABC∽Δ A′B′C′,相似比为k.
求证:
ΔABC的周长 ΔA’B’C’的周长

=k

s?ABC s?A′B′C′
A’

=k2

A

B

C

B’

C’

已知:Δ ABC∽Δ A′B′C′,相似比为k. ?ABC 求证: ΔABC的周长
ΔA’B’C’的周长

=k

A

s s?A′B′C′
A’

=k2

B


C
AB BC AC ? ? ?k A?B? B?C? A?C?

B’

C’

证明:∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k
(相似三角形的对应边成比例)

∴AB=kA′B′,BC=kB′C′,AC=kA′C′ ∴
?ABC的周长 AB ? BC ? AC kA? B? ? kB?C? ? kA?C? ? ? ?k ?A?B?C?的周长 A? B? ? B?C? ? A?C? A? B? ? B?C? ? A?C?

已知:Δ ABC∽Δ A′B′C′,相似比为k. ΔABC的周长 ?ABC 求证: =k ΔA’B’C’的周长 ?A′B′C′ A A’

s s

=k2

D′ C D 如图AD和A′D′分别是BC,B′C′边上的高。 证明: ∵△ABC ∽△A′B′C′,且相似比为k ∴∠B=∠B′(相似三角形的对应角相等) ∵AD和A′D′分别是BC,B′C′边上的高。 ∴∠ADB=∠A′B′C′=90° ∴△ABD∽△A′B′D′ B

B’

C’

(有两个角对应相等的两个三角形相似) 1


BC ? AD AD AB ?ABC的面积 BC AD 2 ? ‘ ’? k ? ? ? ? k ? k ? k2 ‘ ’ AD AB ?A? B?C?的面积 1 B?C? ? A? D? B?C? A? D? 2

在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比, 三角形的边长,周长,面积,角,哪些放大为10倍? 答:三角形的边长,周长放大为10倍. 三角形的面积放大为100倍. 三角形的角大小不变.

已知两个三角形相似,请完成下列表格
相似比

2 2
4

1 3
1 3

100 100
10000

... ... ...

周长比 面积比

1 9

注:周长比等于相似比,已知相似比或周长比,
求面积比要平方; 而已知面积比,求相似比或 周长比则要开方。

P115课内练习1

做一做:
如图,D,E分别是AC,AB边上的点,∠ADE=∠B, AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,若AD=3,AB=5。 求:(1) AG ;
AF

(2)△ADE与△ABC的周长比; (3)△ADE与△ABC的面积比。
A

D F E

B G

C

例1.如图是某市部分街道图,比例尺是1:10000,请你估计三
条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积.
解:地图上的比

例尺为1:10000,就是地图上的△ABC与实际三角形地 块的相似比为1:10000,量得地图上AB=3.4cm,BC=3.8cm,AC=2.5cm。 则地图上△ABC的周长为3.4+3.8+2.5=9.7(cm)

9.7 1 ? ∵ 三角形地块的实际周长 10000
∴三角形地块的实际周长为9.7×104cm,即970m。 量得BC这上的高为2.2cm 1 ∴地图上△ABC的面积为 ×3.8×2.2=4.18cm2
2

A



4.18 ? 1 ? ?? ? 三角形地块的实际面积 ? 10000 ?

2

B

D

C

∴三角形地块的实际面积为4.18×108cm2,即41800m2 答:估计三角形地块的实际周长为970米,实际面积为41800平方米。

P115 课内练习2

某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题, 马路旁边原有一个面积为100平方米,周长为80米 的三角形绿化地,由于马路拓宽绿地被削去了一 个角,变成了一个梯形,原绿化地一边AB的长由 原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的 部分面积有多大?它的周长是多少?
A 30m

你能够将上面生活中 的问题转化为数学问题吗?18m
B

D

E

C

A 30m D 18m C

E

B

解:如图,已知DE//BC,AB=30m,BD=18m, Δ ABC的周长为80m,面积为100m2, 求Δ ADE的周长和面积

1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变,则
A 30m D

ΔEFC的面积等于多少?BDEF面积为多少?
16
E

36m2

48m2

18m

36
B F

2.若设sΔABC=S, SΔADE=S1, SΔEFC=S2. 你能加以验证吗? S √
2 S1 E =( A C ) > S A 2 > S2 = ( C E ) S AC

C 请猜想:S与S1、S2之间存在怎样的关系?

= √S1+ √S2
√S1 AE = AC √S

证明:DE//BC
EF//AB √S1 √S

>ΔADE∽Δ ABC >ΔEFC∽Δ ABC √S2 √S



> √S2 = C E AC √S





+

=1

> √S1 + √S2 =√S

已知△ABC,如果要作与BC平行的 直线把△ABC划分成两部分,使这 两部分(三角形与四边形)的面积 之比为1:1,该怎么作?如果要使 划分成的面积之比为1:2,又该怎 么作?如果要使划分成的面积之比 为1;n,又该怎么作?

练习
1、如图,△ABC中,DE??FG??BC,AD= DF=FB,则S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG =_________ .

练习
2.已知:梯形ABCD 中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm, 延长两腰BA,CD交于点 O,OF⊥BC,交AD于 E,EF=32cm,则OF=_______.
B O

A E F

D

C

3、Δ ABC中,AE是角平分线,D是AB上 的一点,CD交AE于G,∠ACD=∠B,且 AC=2AD.则ΔACD∽Δ______.它们的 AE 相似比k =_______, ? ______
AG
A

D
G B

E

C

1.这节课我们学到了哪些知识? 2.我们是用哪些方法获得这些知识的? 3.通过本节课的学习,你有没有新的想法或发现? 你觉得还有什么问题需要继续讨论吗?

A M D S1 P S2 F E

探究 如图,DE//BC,FG//AB,MN//AC,
且DE、FG、MN交于点P。
若记SΔDPM= S1, SΔPEF= S2, SΔGNP= S3

S3
B G N C

SΔABC= S、S与S1、 S2、S3之间是否也有
类似结论?猜想并加以验证。


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