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中考数学总复习 第4讲 一元一次方程和二元一次方程组(基础讲练+锁定考试目标+导学知识+探究方法)北师大版

发布时间:2013-09-18 21:35:14  

第4讲 一元一次方程和二元一次方程组

考点一 等式及方程的有关概念

1.等式及其性质

(1)用等号“=”来表示相等关系的式子,叫做等式. (2)等式的性质:等式两边加(或减)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0),所得结果仍是等式.

2.方程的有关概念

(1)含有未知数的等式叫做方程.

(2)方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解,一元方程的解,也叫它的根.

(3)解方程:求方程解的过程叫做解方程.

考点二 一元一次方程

1.只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,系数不等于零的整式方程叫做一元一次方程,其标准形式为ax+b=0(a≠0),其解为x=?b. a

2.解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;

(5)未知数的系数化为1.

考点三 二元一次方程组的有关概念

1.二元一次方程

(1)概念:含有两个未知数,并且未知数的项的次数都是1,这样的方程叫做二元一次方程.

(2)一般形式:ax+by=c(a≠0,b≠0). (3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. (4)解的特点:一般地,二元一次方程有无数个解.

2.二元一次方程组

(1)概念:具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.

(2)一般形式:??a1x+b1y=c1,?

??a2x+b2y=c2 (a1,a2,b1,b2均不为零).

(3)二元一次方程组的解

一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.

考点四 二元一次方程组的解法

解二元一次方程组的基本思想是消元,即化二元一次方程组为一元一次方程,主要方法有代入消元法和加减消元法.

1.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤为:(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,用含有x(或y)的代数式表示出y(或x),即变成y=ax+b(或x=ay+b)的形式;(2)将y=ax+b(或x=ay+b)代入另一个方程,消去y(或x),得到关于x(或y) 1

的一元一次方程;(3)解这个一元一次方程,求出x(或y)的值;(4)把x(或y)的值代入y=ax+b(或x=ay+b)中,求y(或x)的值.

2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤为:(1)在二元一次方程组中,若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数),则可以直接相减(或相加),消去一个未知数;(2)在二元一次方程组中,若不存在(1)中的情况,可选一个适当的数去乘方程的两边,使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数),再把方程两边分别相减(或相加),消去一个未知数;

(3)解这个一元一次方程;(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内,求出另一个未知数.

考点五 列方程(组)解应用题

步骤:(1)设未知数;(2)列出方程(组);(3)解方程(组);(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义;(5)写出答案(包括单位名称).

1.(a-1)x+5=0是一元一次方程,那么a=__________,x=__________.

??x=1,2.已知?是方程2x-ay=3的一个解,那么a的值是( ). ?y=-1?

A.1 B.3 C.-3 D.-1

??x+y=1,3.方程组?的解是( ). ?2x-y=5?|a|

??x=-1A.??y=2? ??x=-2B.??y=3? ??x=2C.??y=1? ??x=2D.??y=-1?

4.若有方程组??x+2y=4,?

??2x+y=6, 则x-y的值是( ).

A.2 B.-2 C.1 D.-1

5.2011年5月长江中下游发生严重干旱,受气候等因素的影响,今年某些农产品的价格有些上涨,张大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13 800元,其中甲种蔬菜每亩获利1 200元,乙种蔬菜每亩获利1 500元,则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩?

一、一元一次方程的解法

2x+110x+1【例1】 解方程:1. 36

解:去分母,得2(2x+1)-(10x+1)=6,

去括号,得4x+2-10x-1=6,

移项,得4x-10x=6-2+1,

合并同类项,得-6x=5,

5系数化为1,得x. 6

解一元一次方程时,首先要清楚基本方法与一般步骤,明确每步的理论依据,根据其特点选用解题步骤.

二、二元一次方程组的有关概念

???x=2,?mx+ny=8,?【例2】 已知是二元一次方程组?的解,则2m-n的算术平?y=1?nx-my=1??

方根为( ).

A.4 B.2 C.2 D.±2

???x=2,?mx+ny=8,解析:∵?是方程组?的解. ?y=1?nx-my=1??

2

??2m+n=8,∴??2n-m=1,? ??m=3,解得??n=2.? ∴2m-n2×3-2=4=2.

答案:

B

方程组的解适合于方程组的每一个方程,把它代入原方程组,就会得到一个新的方程组,

解新方程组即可得出待定字母系数的值.

三、二元一次方程组的解法

?①?3x-y=5,【例3】 解方程组:? ?5x+2y=23.②?

解:方法一:用加减消元法解方程组.

①×2得6x-2y=10,③

②+③得11x=33,∴x=3.

把x=3代入①得9-y=5,∴y=4.

??x=3,所以原方程组的解为? ?y=4.?

方法二:用代入消元法解方程组.

由①得y=3x-5,③

把③代入②得5x+2(3x-5)=23,

所以11x=33,则x=3.

把x=3代入③得y=4.

??x=3,所以原方程组的解为? ?y=4.

?

解二元一次方程组的基本思路是通过消元,将二元一次方程组转化为一元一次方程.最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法,具体应用时,要结合方程组的特点,灵活选用消元方法.如果出现未知数的系数为1或-1,宜用代入消元法解;如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂,宜用加减消元法解.

四、列方程(组)解决实际问题

【例4】 某工厂承接了生产第16届亚运会会标和亚运会吉祥物“乐羊羊”的生产任务,需要用到甲、乙两种原料.已知生产一套亚运会标志需要甲原料和乙原料分别为0.4 kg和0.3 kg,生产一套亚运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为0.5 kg和1 kg.该厂购进甲、乙原料的量分别为2 300 kg和3 600 kg,如果所进原料全部用完,求该厂能生产亚运会标志和亚运会吉祥物各多少套?

解:设生产亚运会标志x套,生产亚运会吉祥物y套.

?①?0.4x+0.5y=2 300,根据题意,得? ?0.3x+y=3 600.②?

①×2-②×1得0.5x=1 000,

∴x=2 000.

把x=2 000代入②得600+y=3 600,

∴y=3 000.

答:该厂能生产亚运会标志2 000套,生产亚运会吉祥物3 000套.

对于含多个未知数的实际问题,利用列方程组来解,一般要比列一元一次方程解容易.列二元一次方程组,首先要对具体的问题进行具体分析,从中抽取等量关系,再根据相应的等量关系列出方程组,注意所求的解要符合实际问题.

3

1.(2012甘肃兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪,它的长比宽多10米,设草坪的宽为x米,则可列方程为( ).

A.x(x-10)=200 B.2x+2(x-10)=200 C.2x+2(x+10)=200 D.x(x+10)=200

2.(2011湖南邵阳)请写出一个解为x=2的一元一次方程:__________.

3.(2011广东湛江)一件衬衣标价是132元,若以9折降价出售,仍可获利10%,则这件衬衣的进价是________元.

??2x+3y=7,4.(2011安徽芜湖)方程组?的解是__________.

?x-3y=8?

1.已知x=2是关于x的方程x-2a=0的解,则a的值是( ).

1A.4 B.2 C.1 D2

2.方程2x+3y=11和下列方程构成的方程组的解是??x=4,?

??y=1 的是( ).

A.3x+4y=20 B.4x-7y=3 C.2x-7y=1 D.5x-4y=6

3.巴广高速公路正式通车,从巴中到广元全长约126 km.一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出,经过45分钟相遇,相遇时小汽车比货车多行6 km,设小汽车和货车的速度分别为x km/h,y km/h,则下列方程组正确的是( ).

?45(x+y)=126?A.???45(x-y)=6 3??(x+y)=126 B.?4

??x-y=6 3??x+y)=126C.?4??45(x-y)=6

3??4x+y)=126

D.?3??4x-y)=6

??x+y=5k,4.若关于x,y的二元一次方程组??x-y=9k? 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解,则k的值为( ). 3344A. C. D.- 44335.一家商店将某件商品按成本价提高50%后,再打8折出售,售价为480元,则售出这件商品可获利润________元.

6.方程|4x-8|+x-y-m=0,当y>0时,m的取值范围是__________.

???x=2,?ax+by=7,7.已知?是二元一次方程组?的解,则a-b的值为__________. ??y=1ax-by=1??

8.剃须刀由刀片和刀架组成.某时期,甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换),有关销售策略与售价等信息如下表所示:某段时间内,甲厂家销售了8 400把剃须刀,乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍,乙厂家获得的利润是甲的两倍,问这段时间内,乙销售了多少把刀架?多少片刀片?

4

91支钢笔和3本笔记本;小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.

(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格;

(2)校运会后,班主任拿出200元学校奖励基金交给班长,购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品,奖给校运会中表现突出的同学,要求笔记本数不少于钢笔数,共有多少种购买方案?请你一一写出.

参考答案

基础自主导学

自主测试

51.-1 2.A 3.C 4.D 2

5.解:设甲、乙两种蔬菜种植面积分别为x,y亩,依题意,得??x+y=10,??1 200x+1 500y=13 800,? ??x=4,解得??y=6.?

答:甲、乙两种蔬菜各种植了4亩、6亩.

知能优化训练

中考回顾

1.D 2.x=2,x-2=0,2x-3=1??

?x=5?3.108 4.? ?y=-1?

模拟预测

1.C 2.C 3.D 4.B 5.80 6.m<2 7.-1

8.解:设这段时间内乙厂家销售了x把刀架,则销售刀片x片.

依题意,得(0.55-0.05)·50x+(1-5)x=2×(2.5-2)×8 400,解得x=400. 销售出的刀片数=50×400=20 000(片).

答:这段时间乙厂家销售出400把刀架,20 000片刀片.

9.解:(1)设每支钢笔x元,每本笔记本y元.

?x+3y=18,?x=3,??依题意得?解得? ???2x+5y=31,?y=5.

答:每支钢笔3元,每本笔记本5元.

(2)设买a支钢笔,则买笔记本(48- a)本.

??3a+5(48-a)≤200,依题意得? ?48-a≥a.?

解得20≤a≤24.

所以,一共有5种方案,

5

即购买钢笔、笔记本的数量分别为:20,28;21,27;22,26;23,25;24,24.

6

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