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九年级数学(上) 24.1.2垂直于弦的直径课件 人教新课标版

发布时间:2013-11-12 13:42:46  

赵州石拱桥
? 1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如 图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的 长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫 弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
37.4m

C
7.2m

A R

D

B

O

实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折, 重复几次,你发现了什么?由此你能得到 什么结论? 可以发现:

圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对
称轴.

活动二
如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E. (1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?

(1)是轴对称图形.直径CD所在的 直线是它的对称轴 (2) 线段: AE=BE

C

弧:AC=BC





,AD=BD






·
O

把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,

E
A D B

⌒ 点A与点B重合,AE与BE重合,AC ⌒ ⌒ 重合,AD和 BD重合.



BC

直径CD平分弦AB,并且 平分AB





ACB



C

即AE=BE AD=BD,AC=BC
A









·
O
E B D

垂径定理:垂直于弦的直径平分 弦,并且平分弦所对的两条弧.

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦 所对的两条弧.

垂径定理三种语言
? 1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧
C

A

M└


如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O

∴AM=BM,

⌒ ⌒ AC =BC,
老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要 相互转化,形成整体,才能运用自如.

D

⌒ ⌒ AD=BD.



O A




?



由 ① CD是直径 ② CD⊥AB

③AM=BM,
可推得

⌒ ⌒ ④AC=BC,

推论:

⌒ ⑤AD=BD.
②CD⊥AB,



?

由 ① CD是直径 ③ AM=BM

可推得

⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒

判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中,如果一条直线经过圆心且平分弦, 必平分此弦所对的弧

解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒ 表示主桥拱,设 AB所在圆的圆心为O, ⌒ 如图,用 AB
? B A

半径为R.经过圆心O 作弦AB 的垂线OC,D为垂足,OC 与AB 相交于点D,根据前面的结论,D 是AB 的中点,C是 ⌒ AB 的中点,CD 就是拱高. 在图中 AB=37.4,CD=7.2, 1 1 AD ? AB ? ? 37.4 ? 18.7, 2 2

OD=OC-CD=R-7.2 在Rt△OAD中,由勾股定理,得 OA2=AD2+OD2 A 即 R2=18.72+(R-7.2)2 解得:R≈27.9(m)

C D R O

B

∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.

活动三

练习

1.如图,在⊙O中,弦AB的长

为8cm,圆心O 到AB的距离为3cm,求⊙O的半径. 解:? OE

? AB

A

E

B

1 1 ? AE ? AB ? ? 8 ? 4 2 2
在Rt △ AOE 中

O

·

AO ? OE ? AE
2 2

2

AO ? OE 2 ? AE 2 = 32 +42 =5cm
答:⊙O的半径为5cm.

2.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形 ADOE是正方形.
证明: OE ? AC OD ? AB AB ? AC ?

??OEA ? 90

?

?EAD ? 90

?

?ODA ? 90

?

1 1 ∴四边形ADOE为矩形,AE ? AC,AD ? AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A D B E

·
O

方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h,这四个量 中,只要已知其中任意两个量,就可 以求出另外两个量,如图有:
?

⑴d + h = r
a 2 ⑵ r ? d ?( ) 2
2 2

某地有一座圆弧形拱桥圆心为O,桥下水面宽度为7、2 m ,过O 作OC ⊥ AB 于D, 交圆弧于C,CD=2、4m, 现有一艘宽3m,船舱顶部为方形并高出水面(AB)2m的 货船要经过拱桥,此货船能否顺利通过这座拱桥?
C M H A E D F B O N

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别忘记还有我哟!!
作业:
教材88页习题24.1

7、8 ;

结束寄语
?不学自知,不问自晓,古今 行事,未之有也.


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