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九年级数学(上)24.1.3弧、弦、圆心角

发布时间:2013-11-12 13:42:48  

一、思考
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?

圆是中心对称图形,

它的对称中心是圆心.

·

二、概念
圆心角:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O· B

三、

探究

如图,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置,你能发 现哪些等量关系?为什么? A′ A′ B B B′ B′

O

·

A

O

·

A

根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时,显然 ∠AOB=∠A′OB′,射线OA与OA′重合,OB与OB′重合.而同圆的半径相等, OA=OA′,OB=OB′,从而点A与A′重合,B与B′重合.

? 因此, 与 ? ' B ' AB A

重合,AB与A′B′重合.

? ? ? ' B ', AB A

AB ? A ' B '.

四、定理
这样,我们就得到下面的定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

同样,还可以得到: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的
相等 相等 圆心角_____, 所对的弦________;

在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的
相等 相等 圆心角______,所对的弧_________.

同圆或等圆中, 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等, 它们所对应的其 余各组量也相 等.

五、例题
AB AC ,∠ACB=60°,求证 例1 如图在⊙O中,? =? ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明:∵

? ?? , AB AC

A

∴ AB=AC, △ABC等腰三角形.

O
又∠ACB=60°, ∴ △ABC是等边三角形,AB=BC=CA.

·
C

B

∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.

六、练习
1.如图,AB、CD是⊙O的两条弦.

? ? CD ?AOB ? ?COD (1)如果AB=CD,那么___________,_________________. AB ?
?AOB ? ?COD AB=CD AB ? (2)如果 ? ? CD ,那么____________,______________.

? ? CD AB=CD (3)如果∠AOB=∠COD,那么_____________,____________. AB ?
(4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗?为什么?
相 等 E

因为AB=CD ,所以∠AOB=∠COD. 又因为AO=CO,BO=DO, A B

所以△AOB≌ △COD.
O 又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高, 所以 OE = OF.

·
F

D

C

? ? 2.如图,AB是⊙O的直径, =CD ? DE , ∠COD=35°, BC ?
求∠AOE的度数.
解: E D C

? ? ? ? BC ? CD ? DE

A

O

·

? ?BOC=?COD=?DOE=35?
B

? ?AOE ? 180? ? 3 ? 35? ? 75?

七、思考
如图,已知AB、CD为⊙O的两条弦,
⌒ ⌒

AD=BC, 求证AB=CD
C B O D A

如图,已知OA、OB是⊙O的半径,点C为AB的 ⌒ 中点,M、N分别为OA、OB的中点,求证: MC=NC

O M A C N B

八、作业


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