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积的乘方与幂的乘方习题课

发布时间:2013-11-13 08:03:29  

人生感悟:头比脚高 小时候我长得很弱小,和人打架的时候总是吃亏。记 得有一次,和村里一个孩子王打架,他两脚就把我踹到 了地上。他脚很有力。我哭着回去告诉妈妈,让她送我 去学武,说要学一身绝技回来,好报仇。想不到妈妈却 说:“除了学武,你就没有别的办法赢他吗?他的脚虽 然有力,可是,孩子,你还有一颗聪明的头啊,再有力 的脚也没有头高啊。”我记住了妈妈的话,并深深地理 解了它。期末考试的时候,我得了全校第一。当我站在 领奖台上,接受大家羡慕的掌声时,孩子王却因功课不 及格留级了。我觉得我打败了他。 从此,当我受到不公正的待遇或者遭到侮辱时,我都 会想起妈妈的这句话:“头比脚高。”它使我知道,人 世间最有力的武器是智慧,

? 回顾

& 思考 ?

?

幂的意义:

回顾与思考 n个 a
a· … · = an a· a

?

同底数幂的乘法运算法则:

am · n = am+n (m,n都是正整数) a
幂的乘方运算法则: (am)n= amn (m、n都是正整数)

?

问题1:体育课上,同学们使用的篮球的半径大约是乒乓 球半径的10倍,请同学们思考一下,篮球的表面积大约是 乒乓球表面积的多少倍?

问题2:地球、木星、太阳可以近似地看作球体。木星、 太阳的半径约是地球半径的10倍和102倍,它们的体积 约是地球的多少倍?

利用 幂 的乘方计算

(62)4 (am)2

(a2)3 (am)n

幂的乘方法则:

幂的乘方,底数不变,指数相乘。

?a ?

m n

? a , 其中m, n是正整数
mn

学生练习:
1. (102)3
106 2. (y2)3. y2.
=y8

(b5)5
b25

(an)3
a3n

─(x2)m
-x2m

2(a2)6. a3 --(a3)4. a3
解:原式= 2a12. a3 –a12. a3 =a12. a3 = a15.

解:原式= y6. y2

3. (-32)3.(-33)2 解:原式= -36 .36 = -312

(-x)2.(-x)3 解:原式= (-x)5
= -x5

4. ① (4·n)· 2n)等于 2 (4· A.4·n 2 B.42n+4

C.22n

( D) D.22n+4

② 下列计算中正确命题的个数有( D)个 1.am·2=a2m a 2.(a3)2=a5 4.x3·2=x6 x 3.(-a3 )2.a4 = a9
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)以上答案都不对

思考:

1 若a2n=5,求a6n m=2 , a2n=7, 2 若a 3m+4n 求a

计算下列各式,并说明理由

? 62 ? 62 ? 62 ? 62? 62? 2? 2? 2 ? 68 ? 62?4 (1) (6 ) (a 2 ) 3 22 ? 22 ? 22 ? 22? 2? 2? 26 ? 22?3 ? (2) m m m? m m 2 2m 2?m ? a ? a ? am ?a ?a (3)(a )
2 4

n个 a
m

(4)(a ) ? (a
m n

m

? a ????? a )
m
n个m

?a
?a

m ? m ????? m

mn

n个 a
m n

m

( a ) ? (a m ? a m ? ? ? ? ? a m )
n个m

?a
?a

m ? m ????? m
mn

(a ) ? a
m n

mn

(m、n都是正整数)

幂的乘方, 底数不变, 指数相乘。

例1

计算:
2 3
5 5

( (1) (10 ) ; 2) (b ) ; 3) a ) ;(4) ? ( x )

; (( 2 3 (5) ( y ) ? y; (6) 2(a 2 ) 6 ? (a 3 ) 4 .
n 3
2 m

解: (1) (10

) ? (10) 2?3 ? 106 5?5 25 5 5 (2) (b ) ? b ? b n 3 n?3 3n (3) a ) ? a ? a (
2 3

? ?x 2?3 6 7 2 3 (5) ( y ) ? y ? y ? y ? y ? y ? y
2 m

(4) ? ( x ) ? ? x
2

2?m

2m

(6) 2(a )

6

? (a )
3

4

? 2a

2?6

?a

3?4

? 2a ? a ? a
12 12

12

2.判断题:

进行幂的运算 1.课本 P16 1.计算 时要注意什么?
m n m? n

随堂练习

) ?a 2 5 10 (2) a ? a ? a
(1)(a
2 10


( ( (


) ) )

(3)(?a ) ? a 3 2 3 3 6 [ ?( ) ] ? ( ) (4) 4 4
20

(5)(?b

n ?1 2

) ?b
2 5

2n?2
10

( (

) )

(6)[(x ? y) ] ? ( x ? y)

3.计算:

(1)(?1)
3

2m

? (?1)
4

2

(2) a ? (?a) 2 4 (3) ? [(m ? n) ] (4)a ? (?a) ? (?a )
2 3 2 3

(5)(?a ) ? (?a )
2 3

3 3

(6) [?(? x ) ]

2 3 3

拓展与提高

1.计算: x ? (

y) ( y ? x)
m
44

2m

? ( y ? x)
33

3m

2.你能比较 355 ,

4 , 5

的大小吗?

探索 & 交流

参与活动:

? (1) 根据乘方定义(幂的意义),(ab)3表示什 么? 探索与交流

(2) 为了计算(化简)算式ab· ab,可以应用乘法的交 ab· 换律和结合律。 又可以把它写成什么形式?
(3)由特殊的 (ab)3=a3b3 出发, 你能想到一般的公式 吗? (ab)3= ab· ab ab· =a· a · b· a· b· b =a3·3 b

猜想

(ab)n= anbn

?

(ab)n = an·n 的证明 b
? 在下面的推导中,说明每一步(变形)的依 据:
n个ab

?

(ab)n = ab· ……· ab· ab
n个a

(

幂的意义

)

n个b

=(a· a·……·a) (b· b·……·b)
=an·n. b

乘法交换律、 ( 结合律 )

(

幂的意义

)

积的乘方法则
(ab)n = an·n(m,n都是正整数) b 积的乘方法则
积的乘方 乘方的积

? 上式显示:

?

积的乘方 每个因式分别乘方后的积
= .
你能说出法则中“因式”这两个字的意义吗? (a+b)n,可以用积的乘方法则计算吗? 即 “(a+b)n= an·n ” 成立吗? b 又 “(a+b)n= an+an ” 成立吗?

例1:课本P14 计算 (1) ?3x ? (2) 4 (3) ?? 2xy? (4)
2

?? 2b?

5

?3a ?

2 n

同桌仿例1做编题游戏

?

三个或三个以上的积的乘方,是否也具有上面的 性质? 怎样用公式表示?

公式的拓展

(abc)n=an·n·n b c
怎样证明 ? 试用第一 种方法证明:

(abc)n=[(ab)· n c] =(ab)n·n c = an·n·n. b c

因式积的乘方转化成两个因式积的乘方、再用积的乘方法则; 另一种思路是仍用推导两个因式的积的乘方的方法:乘方的意 义、乘法的交换律与结合律.

方法提示 ? 有两种思路______ 一种思路是利用乘法结合律,把三个

阅读 ? 体验

?
(4)(3a2)n .

【例2】计算: 例题解析 (1)(3x)2 ; (2)(-2b)5 ; (3)(-2xy)4 ; 解:

(1) (3x)2 =32x2 = 9x2 ; (2) (-2b)5 = (-2)5b5 = -32b5 ; (3) (-2xy)4 = (-2x)4 y4 = (-2)4 x4 y4

=16x4 y4 ; (4) (3a2)n = 3n (a2)n = 3n a2n 。

阅读 ? 体验

?

例题解析 【例3】地球可以近似地看做是球体,如果用V, r 分别
代表球的体积和半径,那么 V ? 4 ? r 3 。 地球的半径约为 6×103 千米,它的体积大约是多少立方千米
3

解: V ? 4 ? r 3

3 4 = ? ×(6×103)3 3 4 × 3 = ? 6 ×109 3

注意 运算顺序 !

≈ 9.05×1011 (千米11)

随堂练习

随堂练习
1、计算: (1) (- 3n)3 ; (2) (5xy)3 ; (3) –a3 +(–4a)2 a 。

公 式n 的 n·n (m,n都是正整数) (ab) = a 反 向 使 用 b
反向使用: an·n = (ab)n b
试用简便方法计算:
(1) 23×53 ; (2×5)3 = 103 = (2) 28×58 ;= (2×5)8 = 108

(3) (-5)16 × (-2)15 ;= (-5)×[(-5)×(-2)]15 = -5×1015 ;
(4) 24 × 44 ×(-0.125)4 ; = [2×4×(-0.125)]4 = 14 =1.

本节课你的收获是什么?
幂的意义:

n个a

同底数幂的乘法运算法则:

a· … · a· a

=

an

am · n=am+n a

幂的乘方运算法则:

(ab)n=ambn

积的乘方=每个因式分别乘方后的积.

反向使用am · n =am+n、(am)n =amn 可使某些计算简捷。 a

拓展训练: 1、填空: ? 2a

?

5 3

?x y
2

7

2、选择:x A、x 3 m ?1

3 m ?1

? ? ______ ? ?? 2 xy ? y ? _________
3 2

? ?

可以写成_____ B、 x m 3?1C、

? ?
?

3m D、 x?x

?x ?

m 2 m ?1

? x 3,那么 y12 3、填空:如果 x y 4、计算: 2003 4? 2003 ? ?0.75? ? ? ? ? 3?
m

?

n 3

m ? _____, n ? _____

点评:要根据具体情况灵活利用积 的乘方运算性质(正用与逆用)。

智能训练:

1、 不用计算器,你能很快求出下列各式的结果 吗? 5 9 10 5 ?? 4? ? ?0.25? 2 ? 3? 5 , 2n n n 2、若n是正整数,且 x ? 6, y ? ,求 ?xy? 的值。 5 3、

??a ? b??c ? d ??

等于什么?写出推理过程。
n


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