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初一暑假提高训练一元一次方程

发布时间:2013-11-13 09:31:42  

第四讲 一元一次方程

方程是中学数学中最重要的内容.最简单的方程是一元一次方程,它是进一步学习代数方程的基础,很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧.

用等号连结两个代数式的式子叫等式.如果给等式中的文字代以任何数值,等式都成立,这种等式叫恒等式.一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的.

如果给等式中的文字( 未知数)代以某些值,等式成立,而代以其他的值,则等式不成立,这种等式叫作条件等式.条件等式也称为方程.使方程成立的未知数的值叫作方程的解.方程的解的集合,叫作方程的解集.解方程就是求出方程的解集.

只含有一个未知数(又称为一元),且其次数是1的方程叫作一元一次方程.任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式,这是一元一次方程的标准形式(最简形式).

解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项,化为最简形式ax=b;(5)方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解.

一元一次方程 ax=b 的解由 a,b 的取值来确定:

(1) 若a≠0,则方程有唯一解x=b a

(2)若 a=0,且 b=0,方程变为 0×x=0,则方程有无数多个解;

(3)若 a=0,且 b≠0,方程变为 02x=b,则方程无解.

11轾1骣2x-琪x-例 1 解方程x-犏琪26犏4桫3臌-33=x+ 44

解法 1 从里到外逐级去括号.去小括号得11轾3133x-x+-=x+ 26犏4644臌

11133373x-x+-=x+即x-=x+ 283644894

33755522移项得x-x=+,合并同类项得-x=所以 x=- 8498369去中括号得

解法 2 按照分配律由外及里去括号.去中括号得111骣233x-x+琪x--=x+ 琪2624桫344

1113x+x-=x+ 324362

55522 化简为-x=所以 x=- 8369 去小括号得

例 2 已知下面两个方程3(x+2)=5x,①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ② 有相同的解,试求 a 的值.

分析 本题解题思路是从方程①中求出 x 的值,代入方程②,求出 a 的值.

解由方程①可求得 3x-5x=-6,所以 x=3.由已知,x=3 也是方程②的解,根据方程解的定义,把 x=3 代入方程②时,应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3),7(a-3)-3(a-3)=18-12,

所以4a=18, a=9 2

例 3 已知方程 2(x+1)=3(x-1)的解为 a+2,求方程 2[2(x+3)-3(x-a)]=3a 的解. 解 由方程 2(x+1)=3(x-1)解得 x=5.由题设知 a+2=5,所以 a=3.于是有

2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3,即-2x=-21,x=21 2

例 4 解关于 x 的方程(mx-n)(m+n)=0.

分析这个方程中未知数是x,m,n是可以取不同实数值的常数,因此需要讨论m,n 取不同值时,方程解的情况.

22解 把原方程化为mx+mnx-mn-n=0,整理得 m(m+n)x=n(m+n).

当m+n≠0且m≠0时,方程有唯一解x=n m

当 m+n≠0,且 m=0 时,方程无解;

当 m+n=0 时,方程的解为一切实数.

说明 含有字母系数的方程,一定要注意字母的取值范围.解这类方程时,需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论.

2222例 5 解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a-x)(b+x)-ab.

22分析本题将方程中的括号去掉后产生x项,但整理化简后,可以消去x,也就是说,

原方程实际上仍是一个一元一次方程.

222222222222解 将原方程整理化简得(a-b)-x=ab+ax-bx-x-ab,即 (a-b)x=(a-b).

(1)当 a-b≠0 时,即 a≠±b 时,方程有唯一解x=22

22a-b2a2-b2=a-b a+b (2)当 a-b=0 时,即 a=b 或 a=-b 时,若 a-b≠0,即 a≠b,即 a=-b 时,方程

无解;若 a-b=0,即 a=b,方程有无数多个解.

22例 6 已知(m-1)x-(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程,求代数式

199(m+x)(x-2m)+m 的值.

222解 因为(m-1)x-(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程,所以m-1=0,即 m=±1.

(1)当 m=1 时,方程变为-2x+8=0,因此 x=4,代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991;

(2)当 m=-1 时,原方程无解.

所以所求代数式的值为 1991.

例 7 已知关于 x 的方程 a(2x-1)=3x-2 无解,试求 a 的值.

解 将原方程变形为2ax-a=3x-2,

即 (2a-3)x=a-2.

由已知该方程无解,所以2a-3=0且a-2≠0,解得a=

223 2例 8 k为何正数时,方程 kx-k=2kx-5k 的解是正数?

分析 当方程ax=b有唯一解x=b时,此解的正负由不得a、b来确定: a

(1)若 b=0 时,方程的解是零;反之,若方程 ax=b 的解是零,则 b=0 成立.

(2)若 ab>0 时,则方程的解是正数;反之,若方程 ax=b 的解是正数,则 ab>0 成立.

(3)若 ab<0 时,则方程的解是负数;反之,若方程 ax=b 的解是负数,则 ab<0 成立.

22解 按未知数 x 整理方程得(k-2k)x=k-5k.

22要使方程的解为正数,需要(k-2k)(k-5k)>0.

222看不等式的左端(k-2k)(k-5k)=k(k-2)(k-5).

2因为 k≥0,所以只要 k>5 或 k<2且k≠0时上式大于零,所以当 k<2且k≠0 或 k

>5 时,原方程的解是正数,所以 k>5 或 0<k<2 即为所求.

2ax2bx2cx++=1 ab+a+1bc+b+1ca+c+1

2ax2bx2cx解 因为 abc=1,所以原方程可变形为++=1 ab+a+abcbc+b+1ca+c+1

2(b+1)x2cx2(b+1)x2cx化简整理为+=1,+=1 bc+b+1ca+c+1bc+b+abcca+c+1例 9 若 abc=1,解方程

化简整理为2(b+1)x+2bcx2x(b+abc+bc)=1即=1 b(ca+c+1)b(ca+c+1)

所以x=1为原方程的解。 2

说明 像这种带有附加条件的方程,求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化.

例 10 若 a,b,c 是正数,解方程x-a-bx-b-cx-c-a++=3 cab

解法 1 原方程两边乘以 abc,得到方程

ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc.移项、合并同类项得

ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)] +ac[x-(a+b+c)]=0,

因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0.

因为 a>0,b>0,c>0,所以 ab+bc+ac≠0,所以x-(a+b+c)=0,

即 x=a+b+c 为原方程的解.

解法 2 将原方程右边的 3 移到左边变为-3,再拆为三个“-1”,并注意到 x-a-bx-a-b-c -1=cc

x-b-cx-a-b-cx-c-ax-a-b-c其余两项做类似处理., -1=-1=aabb

x-mx-mx-m设 m=a+b+c,则原方程变形为++=0 cab

所以(x-m)+骣111+=0,因为a,b,c是正数,所以x-m=0, 即x-(a+b+c)=0. cab桫

所以 x=a+b+c 为原方程的解.

说明 注意观察,巧妙变形,是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一.

例 11 设 n 为自然数,[x]表示不超过 x 的最大整数,解方程:

n2(n+1)2

x+2[x]+3[x]+4[x]+?+n[x]= 2

分析 要解此方程,必须先去掉[ ],由于 n 是自然数,所以 n 与(n+1) 中必须有一个n2(n+1)2

是偶数,因此是整数,因为[x]是整数,2[x],3[x],?,n[x]都是整数,所以x必2

须是整数。

解 根据分析,x 必为整数,即 x=[x],所以原方程化为

n2(n+1)2

x+2x+3x+4x+?+nx= 2

n2(n+1)2

合并同类项得(1+2+3+?+n)x= 2

n(n+1)n2(n+1)2

故有,所以 x=n(n+1)为原方程的解. x=22

例 12 已知关于 x 的方程

数,试求自然数a的最小值. 58x-a=x+142且a为某些自然数时,方程的解为自然25

9x-142 10

799 因为a为自然数,所以x应是大于142的整数,所以x>142即x>157 10109

9 又因为x为自然数,要使用x为整数,x必须是10的倍数,而且为使用a 最小,10

9所以 x 应取 x=160.所以a=?160142=2 10解 由原方程可解得a=

所以满足题设的自然数 a 的最小值为 2.

说明 本题实际上是求a=

练习四

1.解下列方程:* 9x-142的最小自然数解。 10

11+(1-x)1-0.4x+0.9x-50.02x-0.03(1) (2)-==1 0.520.034

1禳1轾1骣1镲(3)x-1-6+4=1 犏2镲345铪臌桫

2.解下列关于 x 的方程:

(1)a(x-2)-3a=x+1; (2)ax+b-

3. a为何值时,方程23x+2ab1x-bx-a = (3)=2-32abxx1+a=-(x-12)有无数多个解?无解? 326

4.当 k 取何值时,关于 x 的方程 3(x+1)=5-kx,分别有:(1)正数解;(2)负数解;

(3)不大于 1 的解.

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