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相似三角形中考试题

发布时间:2013-11-13 10:38:33  

相似三角形

1.美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感.如图,某女士身高165cm,下半身长x与身高l的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为( )

A 4 cm B 6 cm C 8 cm D 10 cm

2.如图,在直角三角形ABC中(∠C=90°),放置边长分别3,4,x的三个正方形,则x的值为( )

A 5 B 6 C 7

D 12

3.在平面坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2),延长CB交x轴于点A1,作正方形A1B1C1C,延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去,第2012个正方形的面积为( )

A 5()2010 B 5()4022 C 5()2010 D 5()2012

4.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为( )A 16 B 17 C 18 D 19

5.兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下,一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2米,一级台阶高为0.3米,如图所示,若此时落在地面上的影长为4.4米,则树高为( )

A.11.5米 B.11.75米 C.11.8米 D.12.25米

6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′,A′C′交AB于点E.若AD=BE,则△A′DE的面积是 __________.

7.如图在△ABC中,∠ABC=60°,点P是△ABC内一点,使得

∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6.PB=___________

8.如图,n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上,点M1,M2,M3,…Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中点,△B1C1M1的面积为S1,△B2C2M2的面积为S2,…△B

nCnMn的面积为Sn,则Sn= _____________.(用含n的式子表示) 32329494

1

9..如图1,在面积为3的正方形ABCD中,E、F分别是BC和CD边上的两点,AE⊥BF于点G,且BE=1.

(1)求证:△ABE≌△BCF;

(2)求出△ABE和△BCF重叠部分(即△BEG)的面积;

(3)现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′(如图2),使点E落在CD边上的点E′处,问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由.

10.在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作∠MDN=∠B

(1)如图(1)当射线DN经过点A时,DM交AC边于点E,不添加辅助线,写出图中所有与△ADE相似的三角形.

(2)如图(2),将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转,DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点(点E与点A不重合),写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论.

(3)在图(2)中,若AB=AC=10,BC=12,当△ABC的面积等于△DEF的面积的 4倍 时,求线段EF的长.

2

1.如图,有一块△ABC材料,BC=10,高AD=6,把它加工成一个矩形零件,使矩形的一边GH在BC上,其余两个顶点E,F分别在AB,AC上,那么矩形EFHG的周长l的取值范围是( )

A.0<l<20 B.6<l<10 C.12<l<20 D.12<l<26

2.如图,在Rt△ABC内有边长分别为a,b,c的三个正方形,则a,b,c满足的关系式是( )

A.b=a+c B.b=ac C.b2=a2+c2 D.b=2a=2c

3.如图,在正方形ABCD内有一折线段,其中AE丄EF,EF丄FC,并且AE=6,EF=8,FC=10,则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 ______________

4.如图,点A1,A2,A3,A4在射线OA上,点B1,B2,B3在射线OB上,且A1B1

∥A2B2∥A3B3,A2B1∥A3B2∥A4B3.若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和为______________

5.如图,n+1个上底、两腰长皆为1,下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上,

设四边形P1M1N1N2面积为S1,四边形P2M2N2N3的面积为S2,…,四边形PnMnNnNn+1的面积为

Sn,通过逐一计算S1,S2,…,可得Sn= _____________________-

6.在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A1B1C.

(1)如图1,当AB∥CB1时,设A1B1与BC相交于D.证明:△A1CD是等边三角形;

(2)如图2,连接AA1、BB1,设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2.求证:S1:S2=1:3;

(3)如图3,设AC中点为E,A1B1中点为P,AC=a,连接

EP,当θ=__ °时,EP长度最大,最大值为 ___________

3

7.如图(1),正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上,直接写出HD:GC:EB的结果(不必写计算过程);

(2)将图(1)中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度,如图(2),求HD:GC:EB;

(3)把图(2)中的正方形都换成矩形,如图(3),且已知DA:AB=HA:AE=m:n,此时HD:GC:EB的值与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程).

8.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=10厘米, OC=6厘米,现有两动点P,Q分别从O,A同时出发,点P在线段OA上沿OA方向作匀 速运动,点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动,已知点P的运动速度为1厘米/秒.

1(1)设点Q的运动速度为 厘米/秒,运动时间为t秒, 2

①当△CPQ的面积最小时,求点Q的坐标;

②当△COP和△PAQ相似时,求点Q的坐标.

(2)设点Q的运动速度为a厘米/秒,问是否存在a的值,使得

△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似?若存在,请求出a

的值,并写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

4

:对角线PQ与DC不可能相等。理由如下:

∵四边形PCQD是平行四边形,若对角线PQ、DC相等,则四边形PCQD是矩形, ∴∠DPC=90°。

∵AD=1,AB=2,BC=3,∴DC=2 。

设PB=x,则AP=2-x,

在Rt△DPC中,PD2+PC2=DC2,即x2+32+(2-x)2+12=8,化简得x2-2x+3=0, ∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0,∴方程无解。

∴不存在PB=x,使∠DPC=90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。

问题2:存在。理由如下:

如图2,在平行四边形PCQD中,设对角线PQ与DC相交于点G,

则G是DC的中点。

过点Q作QH⊥BC,交BC的延长线于H。

∵AD∥BC,∴∠ADC=∠DCH,即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH。

∵PD∥CQ,∴∠PDC=∠DCQ。∴∠ADP=∠QCH。

又∵PD=CQ,∴Rt△ADP≌Rt△HCQ(AAS)。∴AD=HC。

∵AD=1,BC=3,∴BH=4,

∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为4。

问题3:存在。理由如下:

如图3,设PQ与DC相交于点G,

∵PE∥CQ,PD=DE,∴ 。

∴G是DC上一定点。

作QH⊥BC,交BC的延长线于H,

同理可证∠ADP=∠QCH,∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。∴ 。

∵AD=1,∴CH=2。∴BH=BG+CH=3+2=5。

∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为5。

问题4:如图3,设PQ与AB相交于点G,

∵PE∥BQ,AE=nPA,∴ 。

∴G是DC上一定点。

作QH∥PE,交CB的延长线于H,过点C作CK⊥CD,交QH的延长线于K。 ∵AD∥BC,AB⊥BC,

∴∠D=∠QHC,∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°

∠PAG=∠QBG,

∴∠QBH=∠PAD。∴△ADP∽△BHQ,∴ ,

∵AD=1,∴BH=n+1。∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4。

过点D作DM⊥BC于M,则四边形ABND是矩形。

∴BM=AD=1,DM=AB=2。∴CM=BC-BM=3-1=2=DM。

∴∠DCM=45°。∴∠KCH=45°。

∴CK=CH?cos45°= (n+4),

∴当PQ⊥CD时,PQ的长最小,最小值为 (n+4)。

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