haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

初三数学复习教案

发布时间:2013-11-13 11:42:48  

第1课 实数及其运算

一、[难点正本 疑点清源 ]

1.正确理解实数相关的概念

在实数范围内,由于对数学概念的理解不清楚,导致出现各种判断和列式错误.这些概念包括:正数、负数、有理数、无理数、实数、相反数、倒数、平方根、算术平方根、立方根、绝对值、数轴、零指数、负整数指数等.

2.注意基本技能的掌握及正确的运算

在实数范围内,由于对基本技能掌握不熟练,导致出现一系列变形和计算错误.这些技能包括:分数的通分与约分、运算的灵活应用、实数的运算、实数的大小比较、近似数的表示、用科学记数法表示数等.

3.利用数形结合的数学思想直观地解决问题

数本身是无形的、抽象的,而点、线等图形却是直观的.数轴正是在有形的直线上按由小到大的顺序把无形的数表示出来,把“数”与“形”有机地结合起来,从而便于学习和研究.

二、要点梳理

1.实数的分类

按实数的定义分类:

整数

负整数

分数

实数

自然数

有限小数或无限循环小数

无理数

无限不循环小数

2.实数的有关概念

(1)数轴:规定了,和的直线叫做数轴.数轴上所有的点与

全体实数一一对应.

(2)相反数:只有______不同,而_______相同的两个数称为互为相反数.若a、b互为相

反数,则a+b=_____.

(3)倒数:1除以一个不等于零的实数所得的_____,叫做这个数的倒数.若a、b互为倒

数,则ab=_____.

(4)绝对值:在数轴上,一个数对应的点离开原点的

(5)科学记数法,近似数,有效数字:

科学记数法就是把一个数表示成

到哪一位,就说这个数精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起,到末位数字止,所有的数字都叫做这个近似数的有效数字.

(6)平方根,算术平方根,立方根:

如果x2=a,那么x叫做a的平方根,记作_______;

正数a的正的平方根,叫做这个数的算术平方根;

如果x3=a,那么x叫做a的立方根,记作______

3.零指数幂,负整数指数幂:

任何非零数的零次幂都等于1,即;

任何不等于的数的-p次幂,等于这个数p次幂的倒数,

即 .

4.实数的大小比较:

______大于零,______小于零,______大于一切负数;

在数轴上表示的两个数,右边的点所表示的数总比______的点所表示的数_____. 差值法比较:

a-b>0?a>b a-b<0?a<b a-b=0?a=b

三、题型分类 深度剖析

题型一 实数的分类

【例 1】 (1)在0,1,-2,-3.5这四个数中,是负整数的是 ( )

A.0 B.1 C.-2 D.-3.5

解析:负整数既是负数,又是整数,这里只有-2符合.

(2)在实数0,1, ,0.1235中,无理数的个数为 ( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

解析:无理数是无限不循环小数,开不尽方,是无限不循环小数.

探究提高 :

判断一个数是不是无理数,关键就看它能否写成无限不循环小数.初中常见的无理数共分三种类型:

(1)含根号且开不尽方的数;(2)化简后含π(圆周率)的式子;

(3)有规律但不循环的无限小数.掌握常见无理数类型有助于识别无理数. 题型二 科学记数法与近似值、有效数字

【例 2】

(1)(2011·浙江)中国是严重缺水的国家之一,人均淡水资源为世界人均量的四分之一,所以我们要为中国节水,为世界节水.若每人每天浪费水0.32L,那么100万人每天浪费的水用科学记数法表示为 ( )

A. 3.2×107L B. 3.2×106L

C. 3.2×105L D. 3.2×104L

解析:0.32×100万=0.32×106=3.2×105(L).

(2)下列近似数中精确到千位的是 ( )

A.90200 B.3.450×102

C.3.4×104 D.3.4×102

解析:3.4×104表示3万4千,精确到千位,选C.

探究提高

(1)科学记数法一般表示的数较大,所以解题时一定要仔细.确定n的值时,从最后一位起数到最高位的下一位即可,最后可将答案还原成原数进行检验.

(2)用有效数字表示的数,在确定其精确度时,要还原成原数后再进行判断.

知能迁移 (1)近似数2.5万精确到____位;有效数字分是 .

解析:2.5万=2万5千,精确到千位,有效数字分别是2,5.

(2)0.5796保留三个有效数字的近似数是_______;由四舍五入法得到的近似数2.30亿精确到_______位,有_______个有效数字.

解析:0.5796≈0.580,保留三位有效数字的近似数是0.580;

2.30亿≈2亿3千0百万,精确到百万位,有3个有效数字.

题型三 实数的运算

【例 3】 (1)计算: ? 4 ? +

? + 1 ??2?0-

; ?-?12 ?? ?? 1 (2)计算:(-2)2+2×(-3)+( )-1. 3

题型四 与实数相关的概念

【例 4】 (1)已知|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a>b>c,那么a+b-c=________.

解析:由|a|=1,|b|=2,|c|=3,

得a=±1,b=±2,c=±3.

又a>b>c.可以a=±1,b=-2,c=-3,

所以a+b-c=1+(-2)-(-3)=2,

或a+b-c=(-1)+(-2)-(-3)=0.

(2)设|a|=4,|b|=2,且|a+b|=-(a+b),试求a-b所有值的和.

解:∵|a|=4,|b|=2,∴a=±4,b=±2,

又|a+b|=-(a+b)≥0,∴a+b<0,

可知a=-4,b=±2,

所以a-b=-4-2=-6,

或a-b=-4-(-2)=-2,

-6+(-2)=-8,

a-b所有值的和是-8.

探究提高

(1)两个互为相反数的和为0;

(2)正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,

0的绝对值是0.

题型五 与数轴联系

【例 5】 (1)如图,若A是实数a在数轴上对应的点,则关于

a,-a,1的大小关系,表示正确的是 ( )

A.a<1<-a B.a<-a<1

C.1<-a<a D.-a<a<1

解析:如图,在数轴上找出-a所对应的位置,易知a<1<-a,选A.

探究提高

数形结合借助数轴找到数的位置,或由数找到在数轴上点的位置,及其相反数的位置.再根据数轴上右边的数大于左边的数,确定各数的大小.

知能迁移 (1)(2011·宜昌)如图,数轴上A、B两点分别对应实数

a、 b,则下列结论正确的是 ( )

A. a < b B.a=b

C. a > b D.ab > 0

解析:因为a>0,b<0,所以a>b.

四、易错警示

1.实数概念中的常见错误

试题 若一个实数的(1)倒数;(2)绝对值;(3)平方数;(4)立方;

(5)平方根;(6)算术平方根;(7)立方根等于它的本身,则这个

数分别为:

(3)_____(4)_____(5)____(6)____(7)_____.

学生答案展示 (1)1;(2)正数;(3)1;(4)1或-1;(5)1;(6)0;

(7)1和-1.

剖析 实数概念理解往往似是而非或不够全面,出现一些不该有的错误.上述给出的答案不完整,漏掉了一些符合条件的数,产生错误的原因是忽略了引进负数对数的范围扩展不适应. 试题 若一个实数的(1)倒数;(2)绝对值;(3)平方数;(4)立方;

(5)平方根;(6)算术平方根;(7)立方根等于它的本身,则这个

数分别为:

正解 (1)1和-1;(2)正数和0(或非负数);(3)1和0;(4)-1、0和1;(5)0;(6)0和1;(7)-1、0和1.

五、思想方法 感悟提高

1.重视实数概念的学习,理解实数与数轴上的点是一一对应的.

2.注意实数乘方概念的理解,防止概念之间的混淆.

3.可借助数轴,“数形结合”,找到数与点的关系,根据对称性质找出互为相反数的位置, 再比较大小.

第2课 整式及其运算

一、难点正本 疑点清源

1.正确理解相关代数式的概念

由于对已学的几种代数式认识模糊,导致出现判断失误.这些代数式有:单项式、多项式、整式、同类项.

2.正确进行代数式的变形和化简

在代数式范围内,由于掌握的基本技能不熟练,导致出现一系列代数式的列式、变形和计算化简的错误.这些技能包括:将语言转化为代数式,整式的运算,乘法公式的应用等.

3.整体代换思想求代数式的值

在求代数式的值时,一般先化简,再把各个字母的值代入求值,有时题目并未给出各个字母的取值,而是给出几个式子的值,这时可把这几个式子看作一个整式,把多项式化为含有这几个式子的代数式,再代入求值,运用整体代换思想,往往可使问题简化.

二、要点梳理

1.单项式:由 或 相乘组成的代数式叫做单项式,所有字母指数的和叫做 ,数字因数叫做 .

2.多项式:由几个 组成的代数式叫做多项式,多项式里次数最高的项的次数叫做这个 ,其中不含字母的项叫做常数项.

3.整式: 统称为整式.

4同类项:多项式中所含 相同并且 也相同的项,叫做同类项.

5.幂运算法则:

(1)同底数幂相乘: (2)幂的乘方: (3)积的乘方: (4)同底数幂相除:

6.整式乘法:

单项式与单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式,只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式.

单项式乘多项式:m(a+b)= .

多项式乘多项式:(a+b)(c+d)=

7.乘法公式:

(1)平方差公式:

2-b2 .

(2)完全平方公式:

2=a2±2ab+b2.

8.整式除法:

单项式与单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因子,对于只在被除式里含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式,将这个多项式的每一项除以这个单项式,然后把所得的商相加.

三、题型分类 深度剖析

题型一 整式的加减运算

【例1】 (1)计算:a2+3a2=( )

A.3a2 B.4a2 C.3a4 D.4a4

解析:a2+3a2=4a2,合并同类项,只是把系数相加减,字母及字母的指数均不变,选B.

(2)下列运算正确的是( )

A.-2(a-b)=-2a-b B.-2(a-b)=-2a+b

C.-2(a-b)=-2a-2b D.-2(a-b)=-2a+2b

解析:-2(a-b)=-2a+2b,去括号法则,利用分配律,选D.

(3)计算:3(2xy-y)-2xy

解:3(2xy-y)-2xy

=6xy-3y-2xy

=4xy-3y

探究提高

整式的加减,实质上就是合并同类项,有括号的,先去括号.只要算式中没有同类项,就是最后的结果.

题型二 同类项的概念及合并同类项

【例2】 (1)若单项式2x2ym与-xny3是同类项,则m+n的值是________.

解析:根据同类项的意义,有n=2,m=3,则m+n=5.

(2)若-4xay+x2yb=-3x2y,则a+b=________.

解析:-4xay+x2yb=-3x2y,可知-4xay,x2yb,-3x2y是

同类项,则a=2,b=1,a+b=3.

探究提高

1.判断同类项时,看字母和相应字母的指数,与系数无关,也与字母的相关位置无关,两个只含数字的单项式也是同类项. 2.只有同类项才可以合并.

+-知能迁移 (1)单项式-xabya1与3x2y是同类项,则a-b的值

为( )

A.2 B.0 C.-2 D.1

解析:因为a+b=2且a-1=1,所以a=2,b=0,a-b=2,选A.

(2)下列各式中,与x2y是同类项的是( )

A.xy2 B.2xy C.-x2y D.3x2y2

解析:-x2y与x2y,相同字母的指数相同,选C.

题型三 幂的运算

【例3】 (1)计算a3÷a2=( )

A.a3 B.a4 C.a5 D.a6

+- 解析:a4·a3÷a2=a432=a5,选C.

(2)计算-x2·(-x)3·(-x)2=________.

解析:-x2·(-x)3·(-x)2

=-x2·(-x3)·x2

=x2·x3·x2=x7.

探究提高

1.幂的运算法则是进行整式乘除法的基础,要熟练掌握,解题时要明确运算的类型,正确运用法则.

2.在运算的过程中,一定要注意指数、系数和符号的处理.

题型四 整式的混合运算及求值

【例4】 (本题5分)先化简,再求值:

3x(x2-x-1)-(x+1)(3x2-x),其中x=- .

探究提高

注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏,另外去括号时,要注意符号的变化,最后把所得式子化简,即合并同类项,再代值计算.

知能迁移 已知x2-5x=14,求(x-1)(2x-1)-(x+1)2+1的值.

解:(2)(x-1)(2x-1)-(x+1)2+1

=(2x2-3x+1)-(x2+2x+1)+1

=x2-5x+1,

当x2-5x=14时,原式=14+1=15.

题型五 乘法公式

【例5】 (1)计算(a+b)(a-b)+(a+b)2-2a2的值, 1 其中a=3,b2;

解:(1)(a+b)(a-b)+(a+b)2-2a2

=a 2 -b2+a2+2ab+b2-2a2=2ab, 11 当a=3,b=- 时,原式=2×3×(- )=-3. 22

(2)已知x2+y2=25,x+y=7,且x>y,求x-y的值.

解:(2)∵(x+y)2=x2+y2+2xy,

∴2xy=(x+y)2-(x2+y2)=72-25=24,

∴(x-y)2=x2+y2-2xy=25-24=1.

∵x>y,∴x-y= =1. 1 探究提高

1.算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算,任何时候都要遵循先化简,再求值的原则.

2.在利用完全平方公式求值时,通常用到以下几种变形:

(1)a2+b2=(a+b)2-2ab;

(2)a2+b2=(a-b)2+2ab;

(3)(a+b)2=(a-b)2+4ab;

(4)(a-b)2=(a+b)2-4ab.

注意公式的变式及整体代入的思想.

方法与技巧

1. 整式是初中数学的主要内容,整式的乘除法是整式的重要运算,要明确运算的类型,不要混淆.乘法公式的运用是本节的重点,也是难点,要熟练掌握它的各种变化,在今后的代数计算中还会经常遇到.

2. 应用公式时,要注意:一个二项式的两项,和另一个二项式的两项,如果系数(只指其绝对值)、字母及其指数不能都对应相同,如(x-2y)(2x+y),那么不能应用乘法公式简化运算;如果都能对应相同,如(x-2y)(-x-2y),和(x-2y)(2y-x),那么,一定能运用乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2或(a±b)2=a2±2ab+b2简化运算.

12

第3课 因式分解

[难点正本 疑点清源]

1.正确理解因式分解的意义

理解因式分解的意义,应注意:

(1)因式分解与整式乘法是个相反的过程,因式分解的左边是多项式,右边是几个因式的积,不含其它运算;

(2)因式分解不含非整式的式子;

(3)因式分解是个恒等变形的过程,从左到右的变形不能改变原式的大小.

2.注意提取公因式法、运用公式法的要点

多项式因式分解往往需要对一些隐含的公因式(如互为相反数的因式)进行调整变形,其依据是乘方的符号法则,变形时一般要进行观察,需要调整项的标准有两个:(1)使需要调整的项尽量少;(2)尽量调整指数为偶数的项,这样可以减少符号变化带来的麻烦及错误;平方差公式主要运用于二项式的因式分解,完全平方公式主要运用于三项式的因式分解. 分解因式必须分解到不能再分解为止,特别是一些比较隐晦的,或者在解答过程中新出现的公因式要引起重视.解题结果的简单明了是解题的基本要求之一,这样才可能使解题的答案具有唯一性,所以因式分解的结果中的每一个因式必须是最简形式.

要点梳理

1.因式分解:

把一个多项式化成几个是互逆运算.

2.基本方法:

(1)提取公因式法:

ma+mb+mc=.

(2)公式法:

运用平方差公式:a2-b2= ;

运用完全平方公式:a2±2ab+b2=

3.因式分解的一般步骤:

(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式;

(2)如果各项没有公因式,那么尽可能尝试用公式来分解;

(3)分解因式必须分解到不能再分解为止,每个因式的内部不 再有括号,且同类项合并完毕,若有相同因式写成幂的形式,这些统称分解彻底.

(4)注意因式分解中的范围,如x4-4=(x2+2)(x2-2),在实数范围内分解因式,x4-4=(x2+2)(x )(x2 ),题目不作说明的,表明是在有理数范围内因式分解. 2 题型分类

题型一 因式分解的意义

【例1】 下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )

A.(a+b)2=a2+2ab+b2

B.a2+2a-1=a(a+1)-1

C.a2+1=a

D.-a2+b2=(-a+b)(a+b)

解析:-a2+b2=b2-a2=(b+a)(b-a),平方差公式分解因式.

探究提高

熟练地掌握因式分解的意义.因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形,若结果不是积的形式,则不是因式分解

题型二 提取公因式法分解因式

【例2】(1)多项式6xy-2xy2+4xyz中各项的公因式是 .

解析:6xy=2xy·3;

-2xy2=2xy·(-y);

4xyz=2xy·2z,

各项的公因式是2xy

探究提高

1.当某项正好为公因式时,提取公因式后,该项应为1,不可漏掉.

2.首项系数为负数时,一般公因式的系数取负数,使括号内首项系数为正.

3.公因式也可以是多项式.

知能迁移 (1)把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提公因式(m-1)后,余下的部分是( )

A.m+1 B.2m

C.2 D.m+2

解析:提取公因式后,前项余下m+1,后项余下1,

(m+1)+1=m+2.

题型三 运用公式法分解因式

【例3】 (1)下列多项式中,能用公式法分解因式的是( )

A.x2-xy B.x2+xy

C.x2-y2 D.x2+y2

解析:x2-y2=(x+y)(x-y),符合平方差公式,选C.

探究提高

1.用平方差公式分解因式,其关键是将多项式转化为a2-b2的形式,需注意对所给多项式要善于观察,并作适当变形,使之符合平方差公式的特点,公式中的“a”“b”也可以是多项式,可将这个多项式看作一个整体,分解后注意合并同类项.

2.用完全平方公式分解因式时,其关键是掌握公式的特征

题型四 综合运用多种方法分解因式

【例4】 给出三个多项式: x2+x-1; x2+3x+1; x2-x,请你选择其中两个进行加法运算,并把结果分解因式.

解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢!

解:( x2+x-1)+( x2+3x+1)=x2+4x=x(x+4);

( x2+x-1)+( x2-x)=x2-1=(x+1)(x-1);

( x2+3x+1)+( x2-x)=x2+2x+1=(x+1)2.

探究提高

1.具有一定的开放性.

2.灵活运用多种方法分解因式,其一般顺序是:首先提取公因式,然后再考虑用公式,最后结果一定要分解到不能再分解为止.

题型五 因式分解的应用

【例5】 (1)若a+b=4,则a2+2ab+b2的值是( )

A.8 B.16 C.2 D.4

解析:a2+2ab+b2=(a+b)2=42=16,选B.

(2)已知a2+b2+6a-10b+34=0,求a+b的值.

解:∵a2+b2+6a-10b+34=0,

∴a2+6a+9+b2-10b+25=0,

(a+3)2+(b-5)2=0,

∴a+3=0且b-5=0,

∴a=-3,b=5,

∴a+b=-3+5=2.

(3)如果多项式2x3+x2-26x+k有一个因式是2x+1,求k的值.

解:∵2x+1是2x3+x2-26x+k的因式,

∴可设2x3+x2-26x+k=(2x+1)·R,

令2x+1=0,x=- ,

1?1?? ???? 得2× ? 3+? - 2-26×? - 1 ? +k=0, -?2??2??2??????? 11 - + +13+k=0, k=-13. 4探究提高 4

1.利用因式分解,将多项式分解之后整体代入求值.

2.一个问题有两个未知数,只有一个条件,考虑到已知式右边等于0,若将左边转化成两个完全平方式的和,而它们都是非负数,要使和为0,则每个完全平方式都等于0,从而使问题得以求解.

3.逆向思维,推出多项式分解后的几个因式,采用系数求等的方法列方程组求解,或者

利用恒等变形的性质,设2x+1=0,x=- 代入原式,可求得k.

知能迁移 若△ABC的三边长分别为a、b、c,且a+2ab=c+2bc,判断△ABC的形状. 解:∵a+2ab=c+2bc,

∴a-c+2ab-2bc=0,(a-c)+2b(a-c)=0,

(1+2b)(a-c)=0.

∵1+2b≠0,

∴a-c=0,a=c,

∴△ABC是等腰三角形.

思想方法 感悟提高

1. 多项式的因式分解有许多方法,但对于一个具体的多项式,有许多方法是根本不适用的.因此,拿过一道题目,先试试这个方法,再试那个办法,对于迅速解出题目意义十分重大.

2.先从大的方面着手,安排合理的思考程序,建议如下:

(1)提取公因式;(2)看几项;(3)分解彻底.

在分解出的每个因式化简整理后,把它作为一个新的多项式,再重复以上程序进行思考,试探分解的可能性,直至不可能分解为止. 12 12

第4课 分式及其运算

一、[难点正本 疑点清源]

1.正确理解分式的概念及分式有意义

判断某一个代数式属于不属于分式,不能看化简后的结果,而应看到它的本来面目,分式的概念是以形式上规定的.

解有关分式是否有意义的问题时,常用到“或”与“且”来表达,正确使用“或”与“且”也是解题的关键.“或”表示一种选择关系,含有“你行,他也行”的意思;“且”表示递进关系,也有“同时”的意思

2.注意分式运算的法则和顺序

分式的乘除运算,一般先利用法则转化为分式的乘法后,能约分的要先约分,再计算,否则运算非常复杂;对于乘除、乘方混合运算,就遵循“先乘方,后乘除”的运算顺序;异分母分式相加减,或分式与整式的加减运算,可把整式看作一个整体与分式通分后,按同分母的分式相加减来进行运算.分式运算中,每步运算都要符合法则或运算律,不能随意套用运算律.

3.理解分式方程的增根并检验是否产生增根

在分式方程化为整式方程时,一般是将方程两边同乘以含未知数的整式(最简公分母),当所乘整式不为零时,所得整式的根为增根,因此,验根是解分式方程的必要步骤.

分式方程的增根是解题时极易忽视的知识点,在一般情形下,检验未知数的值是否是增根并不难,而当题目明确有增根时,反推此时未知数的值就会让人不知所措,此时关键是要具备逆向的思维能力,特别是涉及分式方程的解而又未明确涉及增根问题时,探讨是否有增根(或与增根有关问题)就成了隐含条件,稍不留心就会发生差错.

二、要点梳理

1.分式的基本概念: AA,B是整式,且B中含有字母,B≠0) (1)形如( B (2)当B≠0 时,分式 有意义;当时,分式无意义;

当 A=0且B≠0 时,分式的值为零.

2.分式的基本性质:

分式的分子与分母都乘以(或除以,分式的值不变,A÷MA (M是不等于零的整式) . ÷M

3.分式的运算法则:

(1)符号法则:分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变. a-a-aa-a 用式子表示为: =-,- = = -bb-b-bb

(2)分式的加减法:

4.分式的约分、通分:

把分式中分子与分母的公因式约去,这种变形叫做约分,其根据是分式的基本性质. 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式,这种变形叫做分式的通分,通分的根据是分式的基本性质.通分的关键是确定几个分式的最简公分母.

5.分式的混合运算:

在分式的混合运算中,应先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,最后进行加减运算.遇有括号,先算括号里面的.灵活运用运算律,运算结果必须是最简分式或整式. abab

6.解分式方程,其思路是去分母转化为整式方程,要特别注意验根,使分母为0的未知数的值,是增根,需舍去.

三、题型分类 深度剖析

题型一 分式的概念,求字母的取值范围 2

【例1】 (1)当x=_______时,分式 x-1 无意义;

解析:当x-1=0,x=1时,分式无意义.

x-2 (2)(2011·泉州)当x=_______时,分式 的值为0. x+2

解析:当x-2=0,x=2时,分母x+2=4,分式的值是0.

探究提高

1.首先求出使分母等于0的字母的值,然后让未知数不等于这些值,便可使分式有意义.

2.首先求出使分子为0的字母的值,再检验这个字母的值是否使分母的值为0,当它使分母的值不为0时,这就是所要求的字母的值.

题型二 分式的性质 a2b2

【例2】 (1)(2011·湛江)化简 的结果是( ) a-ba-b A.a+b B.a-b C.a2-b2 D.1

22b2a2?a+b??a-b?a-b = =a+b. a-ba-ba-ba-b 12x-14xy-2y(2)已知 - =3,求分式 的值. x-2xy-yx探究提高

1.分式的基本性质是分式变形的理论依据,所有分式变形都不得与此相违背,否则分式的值改变.

2.将分式化简,即约分,要先找出分子、分母的公因式,如果分子、分母是多项式,要先将它们分别分解因式,然后再约分,约分应彻底.

3.巧用分式的性质,可以解决某些较复杂的计算题,可应用逆向思维,将要求的算式向已知条件“凑”而求得结果.

题型三 分式的四则混合运算

【例3】 先化简代数式a + 2)1,然后选取一个合适的a值,代入 a+2a-2a-4求值.

探究提高

准确、灵活、简便地运用法则进行化简,注意在取a的值时,不能取使分式无意义的±2. 知能迁移

(2011·贵阳)在三个整式x2-1,x2+2x+1,x2+x中,请你从中任意选择两个,将其中一个作为分子,另一个作为分母组成一个分式,并将这个分式进行化简,再求当x=2时分式的值.

解:答案不唯一. x2-122 如,选择x-1为分子,x+2x+1为分母, 组成分式 x+2x+1?x? = + 1 ? · x - 1 ?= x-1 .

x+1 ? x+1?12-1 将x=2代入,得原式= = . 2+131y

题型四 分式方程的解法

1 =0. 【例4】 解分式方程: 5- x-xx+3x

解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢!

解: 去分母,5(x-1)-(x+3)=0,

去括号,5x-5-x-3=0, [2分]

4x-8=0,

4x=8,x=2.

经检验,x=2是原方程的根.

∴原方程的根是x=2. [4分]

探究提高

1.按照基本步骤解分式方程,其关键是确定各分式的最简公分母.若分母为多项式时,应首先进行分解因式.将分式方程转化为整式方程,乘最简公分母时,应乘原分式方程的每一项,不要漏乘常数项.

2.检验是否产生增根:分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根,但因为它使分式方程的某些分母为零,故应是原方程的增根,须舍去.

四、思想方法 感悟提高

1.分式运算过程较长,运算中错一个符号,往往会使原来能够化简的趋势改观,使算式越来越繁,形成对分式运算厌烦甚至惧怕的心理.为了避免这种现象,一定要养成分类分级逐步演算的习惯,每次添、去括号时,要注意每一个符号的正确处理.

2.在加深对方法的原理理解的前提下,清楚地归纳运算步骤,宜分步式,不宜跳步,不宜一个符号下完成数个步骤.

第5课 二次根式及其运算

一、[难点正本 疑点清源]

1.正确理解二次根式的意义

二次根式 定义中的“a≥0”是定义的一个重要组成部分,不可以省略,因为负数没有平方根,所以当a<0时,没有意义.在具体问题中,一旦出现了二次根式 ,就意味着a≥0,这通常作为一个重要的隐含条件来应用;被开方数a既可以是具体的数,也可以是单项式或多项式,如: 3 、 (ab≥0)x +

3 (x≥-3)都是二次根式. ab

2.注意正确的化简及二次根式的混合运算

实数的混合运算与有理数混合运算相似,而二次根式的混合运算则与整式、分式的混合运算有很多相似之处,如:运算顺序都是先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减,如有括号,应先算括号里面的;有理数、整式、分式运算中的运算律(分配律、结合律、交换律等)和所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式中的运算仍然适用.

3.与二次根式相关的求值问题 条件二次根式的求值,问题往往与整式、分式综合起来,因此技巧性较强,解题不要急于动手,宜先统筹好解题的方法与过程.通常是将已知式与求值式化简后,再按照求代数式的方法进行,以简便、准确为目的.

二、要点梳理

1.二次根式的概念:

2 (1)( a=|a|= )2=

(3) =. = . b3.二次根式的运算:

(1)二次根式加减法的实质是合并同类根式;

(2)a ·b = (3)二次根式的除法: a b

4.最简二次根式:

运算结果中的二次根式,一般都要化成最简二次根式.

最简二次根式,满足两个条件:

①被开方数不含分母;

②被开方数中不含开得尽方的因数或因式.

三、题型分类 深度剖析

题型一 k-1【例1】 (1)等式 2k-1 成立,则实数k的范围 k-3k-3 是( ) 1 A.k>3或k< B.0<k<3 2 C.k≥ 1 D.k>3

21??k≥?2 k -1≥0,2 解析:要使等式成立,必须 ? 有 ∴? k>3. ? ???k-3>0, ?k>3.

(2)已知a、b、c是△ABC的三边长,试化简:

+ b + c ? + ? a - b - c ? 2 a - b ? 2. + ? a?b-c-a? c -

解:原式=|a+b+c|+|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|

=(a+b+c)+(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)

=2a+2b+2c.

探究提高

1.对于二次根式,它有意义的条件是被开方数非负.

2.注意二次根式性质( a )2=a(a≥0) =|a|的区别,

判断出各式的正负性,再化简. 知识迁移:若化简|1-x|x 2 - 8 x 16 的结果为2x-5,则x的取值范围是1≤x≤4 +

题型二 二次根式的运算

【例2】 132(2)24 - -2 623 136 解:原式=2 6 - + - = . 6 6 26 2

题型三 二次根式混合运算

【例3】 计算:

2 -1)(1+2 )-(2 2 -1)2;

(2)( 10 -3)2010·( 10 +3).

解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢!

22 解:(1)原式=2 )-1-2 )-4 +1]

=181-8+4 2 1 [2分]

=8+2 [4分]

(2)原式=[( 10 -10 +3)]2010 [2分]

=10 )2-2010

=-9)2010=1 [4分]

探究提高

1.二次根式混合运算,把若干个知识点综合在一起,计算时要认真仔细.

2.可以适当改变运算顺序,使运算简便.

知识迁移:已知 10 的整数部分为a,小数部分为b,求a2-b2的值

解:∵3< 10 ,

∴ 的整数部分a=3,小数部分b=10 -3.

∴a2-b2=3210 -3)2

=9-(10-6 10 +9)

=-10+10

题型四

22【例4】 (1)已知x=23 ,y=2+3 ,求:x+xy+y的值;

(2)已知x+ =-3,求x- 的值.

知能迁移 (1)若y3 x - 3 x +x3,则10x+2y的 6 + 6 -

平方根为________ 111x1x

四、思想方法 感悟提高

方法技巧

1.二次根式相加减,必须先化成最简二次根式,才能有效地合并同类二次根式;二次根式乘除,不必化简为最简二次根式,因为有时在乘除中可直接约分为最简二次根式或有理式,即使没有约分的情况,一般来说,只需把积(商)进行一次化简(因为结果须是最简二次根式),当然较先化最简二次根式一次,又把积(商)再化简一次较为简单.

2.混合运算时,要根据实际情况,灵活确定运算顺序,可适当改变运算的顺序,使运算简便. 失误与防范

1.求 时,一定要注意确定a的大小,应注意利用等式 =|a|,当问题中已知条件不能直接判定a的大小时就要分类

讨论.

2.化简二次根式的题目,形式多样,应先化简后求值,应力求把根号去掉.在求算术平方根时,要先用含绝对值的式子表示含字母的式子,保证求原式的算术平方根有意义,然后再根据题目条件,判断求绝对值的式子的符号.

3.一般情况下,我们解题时,总会习惯地把重点放在探求思路和计算结果上,而忽视了一些不太重要、不直接影响求解过程的附加条件.要特别注意,问题中的条件没有主次之分,都必须认真对待.

第6课 一次方程与方程组

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com