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公式法解一元二次方程2个课时的课件

发布时间:2013-11-15 09:00:37  

心动
2

不如行动

公式法是这样生产的
ax2+bx+c=0(a≠0)吗?

你能用配方法解方程

b c 解 : x ? x ? ? 0. ?1.化1:把二次项系数化为1; a a b c 2 x ? x?? . ?2.移项:把常数项移到方程的右 a a2 2 b ? b ? ? b ? c边; ?3.配方:方程两边都加上一次项 2 x ? x ? ? ? ? ? ? ? . 系数绝对值一半的平方; a ? 2a ? ? 2a ? a 2 b ? b 2 ? 4ac ? ?4.变形:方程左分解因式, . ?x? ? ? 2 2a ? 4a 右边合并同类; ? 当b 2 ? 4ac ? 0时, ?5.开方:根据平方根意义, b b 2 ? 4ac 方程两边开平方; x? ?? . 2a 2a ?6.求解:解一元一次方程; 2 ? b ? b ? 4ac 2 ?7.定解:写出原方程的解. ?x ? .?b ? 4ac ? 0?.

心动
2

不如行动

公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)

? 一般地,对于一元二次方程

当b ? 4ac ? 0时, 它的根是 :
? b ? b 2 ? 4ac 2 ?x ? . b ? 4ac ? 0 . 2a

?

?

?上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. ?用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 ?老师提示: ?用公式法解一元二次方程的前提是: ?1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). ?2.b2-4ac≥0.由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数


用公式法解一元二次方程的一般步骤:

b c 1、把方程化成一般形式,并写出 a、、 的值。 2 2、求出 b ? 4ac 的值,
特别注意:当

b ? 4ac ? 0
2

时无解

当△=b2 -4ac>0时,能求出方程的两个不相等的实数根。 当△= b2 -4ac=0时,能求出方程的两个相等的实数根。

?b ? b ? 4ac 3、代入求根公式 : ? x ? 2a x 4、写出方程的解: x1、 2
2

归纳 一元二次方程的根有三种情况(根的判别式) 2 1 当b ? 4ac ? 0时, 、 方程有两个不相等的实数根;
2、 当b ? 4ac ? 0时, 方程有两个相等的实数根; 2 3 当b ? 4ac ? 0时, 、 方程没有实数根;
2

学习是件很愉快的事

公式法
程为一般形式;

? 例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0 ?1.变形:化已知方 解 : a ? 5, b ? ?4, c ? ?12 ?
b ? 4ac ? ?? 4? ? 4 ? 5 ? (?12) ? 256 ? 0.
2 2

6 ? x1 ? ? ; x 2 ? 2. 5

? b ? b 2 ? 4ac ?x ? 2a ? ?? 4 ? ? 256 4 ? 16 ? ? . 2?5 10 2?8 ? 5

?2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数; ?3.计算: b2-4ac 的值; ?4.代入:把有关数 值代入公式计算; ?5.定根:写出原方 程的根.

学习是件很愉快的事

例 1 解方程: x 2 ? 7 x ? 18 ? 0

?b ? b2 ? 4ac x? 2a

解:这里 a ? 1 b ? ?7 c ? ?18

? b ? 4ac ? ? 7 ? 4 ? 1 ? 18 ? 121 ( ) ( )
2 2

7 ? 121 7 ? 11 ? x? ? 2?1 2
即:
x1 ? 9 x2 ? ?2

学习是件很愉快的事 例 2 解方程: x ? 3 ? 2 3 x
2

?b ? b2 ? 4ac x? 2a

解: 化简为一般式:x 2 ? 2 3 x ? 3 ?

0
这里 a ? 1、 b= - 2 3、 c= 3

? b2 ? 4ac ? ? 2 3 2 ? 4 ? 1 ? 3 ? 0 ( ) ? 2 3 ? 0 2 3 () ? x? ? ? 3 2?1 2
即:
x1 ? x2 ? 3

学习是件很愉快的事

例 3 解方程:? x ? 2??1 ? 3 x ? ? 6
解:去括号,化简为一般式:

?b ? b2 ? 4ac x? 2a

3x ? 7x ? 8 ? 0
2

这里

a ? 3、 b= - 7、 c= 8
? 49 ? 96 ? - 47 ? 0

? b2 ? 4ac ? ? 7 2 ? 4 ? 3 ? 8 ( )

? 方程没有实数解。

随堂 练习 用公式法解下列方程:

(1)2x2-9x+8=0; (2)9x2+6x+1=0; (3)16x2+8x=3.
(4) 4x ? 4x ? 10 ? 1 ? 8x 2 2 2 (5) x ?x? ?0 3 3
2

(6) (1 ? 2 x)(1 ? 3x) ? 6

学习是件很愉快的事

不解方程判别下列方程的根的情况

1、x2-6x+1=0 有两个不相等的实数根
2、2x2-x+2=0 没有实数根 3、9x2+12x+4=0 有两个相等的实数根

思考题

1、 m取什么值时,方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解

2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a,b,c 满足什么条件时,方程的两根为 互为相反数?

我最棒
?解下列方程:

,解题大师——规范正确!
? 参考答案:

?(1). x2-2x-8=0;
?(2). 9x2+6x=8;

?1?.x1 ? ?2; x2 ? 4.
2 4 ?2?.x1 ? ; x2 ? ? . 3 3 3 ?3?.x1 ? 1; x2 ? . 2 3 ?4?. y1 ? y2 ? . 3

?(3). (2x-1)(x-2) =-1;

?4?.3 y

2

? 1 ? 2 3 y.

动脑筋
关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个不相等的

1 ? ? 且 m ? 0 ( b2-4ac=4m+1 ) 实数根,则m_________________ 4
变题1:关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个相等的实数

1 ?? 根,则m___________________ 4
变题2:关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 没有实数根,则

1 ?? m___________________ 4
变题3:关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两实数根,则

1 ? ? 且 m?0 m___________________ 4

我最棒

,会用公式法解应用题!

? 一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角 形的三边长.

解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得

x ? ?x ? 2? ? ?x ? 2? .
2 2 2

B

即x ? 8x ? 0.
2

解这个方程, 得
x1 ? 8, x2 ? 0(不合题意, 舍去).
A C

? x ? 2 ? 6, x ? 2 ? 10.
答 : 三角形的三条边长分别为6,8,10.

思考题: 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a,b,c 满足什么条

件时,方程的两根为互为相反数?
2、m取什么值时,方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实 数解

解方程:

2 ?1 ? x ? x ? 1? ? ? x ? 2 ? ?2 ?

这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?


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