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确定圆的条件

发布时间:2013-11-15 09:00:38  

1、过一点可以作几条直线?


A



A



B

2、过几点可确定一条直线?

经过一个已知点A能确 定一个圆吗?

A

点 能 作经 无过 数一 个个 圆已 知

经过两个已知点A、B能 确定一个圆吗?



O ●O




A

O
O



B

经过两个已知点 A、B能作无数个圆



经过三个已知点A, B,C能确定一个圆吗?

?已知:不在同一直线上的三点A、 B、C 求作: ⊙O使它经过点A、B、C
A

N
E O

B

作法:1、连结AB,作线段 F AB的垂直平分线MN; 2、连接AC,作线段AC的垂 C直平分线EF,交MN于点O; M 3、以O为圆心,OB为半径作 圆。所以⊙O就是所求作的圆。

过如下三点能不能做圆? 为什么?

A

B

C

不在同一直线上的三点确定一个圆

现在你知道了怎样要 将一个如图所示的破损的 A 圆盘复原了吗?
方法: 1、在圆弧上任取三点A、 B、C。 2、作线段AB、BC的垂 直平分线,其交点O即为 圆心。 3、以点O为圆心,OC 长为半径作圆。 ⊙O即为所求。

B

C

O

经过三角形各个顶点的圆 叫做三角形的外接圆,外接圆 的圆心叫做三角形的外心,这 个三角形叫做圆的内接三角形。
A O B 如图:⊙O是△ABC的 外接圆, △ABC是⊙O 的内接三角形,点O是 C △ABC的外心 ?外心是△ABC三条边的垂 直平分线的交点,它到三角 形的三个顶点的距离相等。

A A


A


O
C B ┐

O
C B



O
C

B

锐角三角形的外心位于三角形内. ?直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点. ?钝角三角形的外心位于三角形外.
?

某一个城市在一块空地新建了三个居 民小区,它们分别为A、B、C,且三个小 区不在同一直线上,要想规划一所中学, 使这所中学到三个小区的距离相等。请问 同学们这所中学建在哪个位置?你怎么确 定这个位置呢?


A


B



C

?图中工具的CD边所在直线恰好垂直平分 AB边,怎样用这个工具找出一个圆的圆心。 A
B

· 圆心
C

D

若一个多边形各顶点都在同一 个圆上,那么,这个多边形叫做圆 内接多边形,这个圆叫做这个多边 形的外接圆。
D E C B
O

B

C

A
A F

O

D E

如图,四边形ABCD为 圆内接四边形;⊙O为 四边形ABCD外接圆。
A
O

D

B

C

如图:圆内接四边形ABCD中, ∵ 弧BCD和弧BAD所对的 D 圆心角的和是周角
∴∠A+∠C=180°A 同理∠B+∠D=180°
B
O

C

圆的内接四边形的对角互补。

如果延长BC到E,那么 ∠DCE+∠BCD = 180°
A
O

D

B

C

E

又 ∠A +∠BCD= 180°
所以∠A=∠DCE

因为∠A是与∠DCE相邻的内 角∠DCB的对角,我们把 ∠A叫做∠DCE的内对角。 D
A
O

圆内接四边形的一个

B

C

E

外角等于它的内对角。

练习:
1、如图,四边形ABCD为⊙O 的内接四边形,已知∠BOD= 100°,求∠BAD及∠BC

D的度 A 数。
O

B

D C

圆内接平行四边形是?

矩形

A
O

B

D

C

例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点, 经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C,与 ⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E,与⊙O2 交于点F。 求证:CE∥DF
C E
O1

D A
O2

B

F

连结AB ABEC是⊙O1 ABFD是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形 ∠E+∠1=180°、∠1=∠F
A

D

∠E+∠F=180° C CE∥DF
E

1
O1

O2

B

F

证明:连结AB ∵ABEC是⊙O1的内接四边形, ∴∠E+∠1=180° ∵ADFB是⊙O2的内接四边形, ∴∠1=∠F D ∴∠E+∠F=180° A 1 ∴CE∥DF C
O1 O2

E

B

F

填空
A D (1)四边形ABCD内接于⊙O,则∠A+∠C=__ 180° , ∠B+∠ADC=_____;若∠B=800, 180° 80 80° B 则∠ADC=______ ∠CDE=______(图5) C 100° (2)四边形ABCD内接于⊙O,∠AOC=1000 50° 130° 则∠B=______∠D=______(图6) 图5 45° (3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____, E

解:

A

100
O B C

D

75° (4)梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,则∠C=_____
A D

O B C

圆的内接梯形一定是_____梯形。
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补充练习:
若ABCD为圆内接四边形,则下列哪 个选项可能成立( B )
(A)∠A∶∠B∶∠C∶∠D = 1∶2∶3∶4 (B)∠A∶∠B∶∠C∶∠D = 2∶1∶3∶4

(C)∠A∶∠B∶∠C∶∠D = 3∶2∶1∶4
(D)∠A∶∠B∶∠C∶∠D = 4∶3∶2∶1

圆内接四边形的判定:

定理: 如果一个四边形的 一组对角互补,那么这个 四边形内接于圆。


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