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初二数学 因式分解

发布时间:2013-11-15 10:54:30  

因式分解的常用方法

第一部分:方法介绍

主要介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法. 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提取公因式。

具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时,公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。

口诀:找准公因式,一次要提尽;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。

例如:-am+bm+cm=-(a-b-c)m

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。

注意:把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式

二、公式法

如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。

(1)(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b);

222222 (2) (a±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b);

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

下面再补充两个常用的公式:

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);

注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 分解因式技巧

1.分解因式技巧掌握:

①等式左边必须是多项式

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示

③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数; ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。

2.提公因式法基本步骤:

(1)找出公因式

1

(2)提公因式并确定另一个因式:

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母

②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式

③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。

例.已知a,b,c是?ABC的三边,且a2?b2?c2?ab?bc?ca,则?ABC的形状是( )

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

解:a2?b2?c2?ab?bc?ca?2a2?2b2?2c2?2ab?2bc?2ca

?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0?a?b?c

三、分组分解法.

(一)分组后能直接提公因式

例1、分解因式:am?an?bm?bn

分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。

解:原式=(am?an)?(bm?bn)

=a(m?n)?b(m?n每组之间还有公因式!

=(m?n)(a?b)

例2、分解因式:2ax?10ay?5by?bx

解法二:第一、四项为一组;

第二、三项为一组。

解:原式=(2ax?10ay)?(5by?bx)原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by)

=2a(x?5y)?b(x?5y)x(2a?b)?5y(2a?b)

=(x?5y)(2a?b)(2a?b)(x?5y)

练习:分解因式1、a2?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1

(二)分组后能直接运用公式

例3、分解因式:x2?y2?ax?ay

分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。

解:原式=(x2?y2)?(ax?ay)

=(x?y)(x?y)?a(x?y)

=(x?y)(x?y?a)

练习:分解因式3、x2?x?9y2?3y 4、x2?y2?z2?2yz

2

四、十字相乘法.

(一)二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。

特点:(1)二次项系数是1;

(2)常数项是两个数的乘积;

(3)一次项系数是常数项的两因数的和。

思考:十字相乘有什么基本规律?

例.已知0<a≤5,且a为整数,若2x2?3x?a能用十字相乘法分解因式,求符合条件的

a.

解析:凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求??b2?4ac>0而且是一个完全

平方数。

于是??9?8a为完全平方数,a?1

例5、分解因式:x2?5x?6

分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,

即2+3=5。

解:x2?5x?6=x2?(2?3)x?2?3

=(x?2)(x?3)

用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和

要等于一次项的系数。

例6、分解因式:x2?7x?6

解:原式=x2?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6)=(x?1)(x?6)(-1)+(-6)= -7

练习5、分解因式(1)x2?14x?24 (2)a2?15a?36 (3)x2?4x?5

(二)二次项系数不为1的二次三项式——ax2?bx?c

条件:(1)a?a1a2 a1c1

(2)c?c1c2 a2c2

(3)b?a1c2?a2c1 b?a1c2?a2c1

分解结果:ax2?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2)

例7、分解因式:3x2?11x?10

分析: (-6)+(-5)= -11

解:3x2?11x?10=(x?2)(3x?5)

练习7、分解因式:(1)5x2?7x?6 (2)3x2?7x?2

3

(三)二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式:a2?8ab?128b2

分析:将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。 8b+(-16b)= -8b 解:a2?8ab?128b2=a2?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b)

=(a?8b)(a?16b)

练习8、分解因式

(1)x2?3xy?2y2 (2)m2?6mn?8n2 (3)a2?ab?6b2

(四)二次项系数不为1的齐次多项式

例9、2x2?7xy?6y2例10、x2y2?3xy?2

把xy看作一个整体解:原式=(x?2y)(2x?3y)解:原式=(xy?1)(xy?2)

练习9、分解因式:(1)15x2?7xy?4y2 (2)a2x2?6ax?8

思考:分解因式:abcx2?(a2b2?c2)x?abc

五、换元法。

例13、分解因式(1)2005x2?(20052?1)x?2005

(2)(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x2

解:(1)设2005=a,则原式=ax2?(a2?1)x?a

=(ax?1)(x?a)

=(2005x?1)(x?2005)

(2)型如abcd?e的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=(x2?7x?6)(x2?5x?6)?x2

设x2?5x?6?A,则x2?7x?6?A?2x

∴原式=(A?2x)A?x2=A2?2Ax?x2

=(A?x)2=(x2?6x?6)2

例14、分解因式(1)2x4?x3?6x2?x?2

观察:此多项式的特点——是关于x的降幂排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法:提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。

1111解:原式=x2(2x2?x?6??2)=x2?2(x2?2)?(x?)?6? xxxx

4

11?t,则x2?2?t2?2 xx

∴原式=x2(2t2?2)?t?6?=x22t2?t?10

21???? =x2?2t?5??t?2?=x2?2x??5??x??2? xx????

21???? =x·2x??5·x·x??2?=2x2?5x?2x2?2x?1 ???xx????

=(x?1)2(2x?1)(x?2)

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式(1)x3?3x2?4

解法1——拆项。 解法2——添项。 原式=x3?1?3x2?3 原式=x3?3x2?4x?4x?4 =(x?1)(x2?x?1)?3(x?1)(x?1) =x(x2?3x?4)?(4x?4) 设x????????=(x?1)(x2?x?1?3x?3) =x(x?1)(x?4)?4(x?1) =(x?1)(x2?4x?4) =(x?1)(x2?4x?4) =(x?1)(x?2)2 =(x?1)(x?2)2

(2)x9?x6?x3?3

解:原式=(x9?1)?(x6?1)?(x3?1)

=(x3?1)(x6?x3?1)?(x3?1)(x3?1)?(x3?1)

=(x3?1)(x6?x3?1?x3?1?1)

=(x?1)(x2?x?1)(x6?2x3?3)

七、待定系数法。

例16、分解因式x2?xy?6y2?x?13y?6

分析:原式的前3项x2?xy?6y2可以分为(x?3y)(x?2y),则原多项式必定可分为(x?3y?m)(x?2y?n)

解:设x2?xy?6y2?x?13y?6=(x?3y?m)(x?2y?n)

∵(x?3y?m)(x?2y?n)=x2?xy?6y2?(m?n)x?(3n?2m)y?mn ∴x2?xy?6y2?x?13y?6=x2?xy?6y2?(m?n)x?(3n?2m)y?mn

?m?n?1?m??2?对比左右两边相同项的系数可得?3n?2m?13,解得? ?n?3?mn??6?

∴原式=(x?3y?2)(x?2y?3)

例17、(1)当m为何值时,多项式x2?y2?mx?5y?6能分解因式,并分解此多项式。

(2)如果x3?ax2?bx?8有两个因式为x?1和x?2,求a?b的值。

(1)分析:前两项可以分解为(x?y)(x?y),故此多项式分解的形式必为

(x?y?a)(x?y?b)

解:设x2?y2?mx?5y?6=(x?y?a)(x?y?b)

则x2?y2?mx?5y?6=x2?y2?(a?b)x?(b?a)y?ab

5

?a??2?a?2?a?b?m???比较对应的系数可得:?b?a?5,解得:?b?3或?b??3

?m?1?m??1?ab??6???

∴当m??1时,原多项式可以分解;

当m?1时,原式=(x?y?2)(x?y?3);

当m??1时,原式=(x?y?2)(x?y?3)

(2)分析:x3?ax2?bx?8是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因

式必为形如x?c的一次二项式。

解:设x3?ax2?bx?8=(x?1)(x?2)(x?c)

则x3?ax2?bx?8=x3?(3?c)x2?(2?3c)x?2c

?a?3?c?a?7??∴?b?2?3c 解得?b?14,

?2c?8?c?4??

∴a?b=21

1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解因式。 2分解因式:m3-4m= .

3.分解因式:x2-4y2= __ .

5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值为 .

22226、若x?y?5,xy?6,则xy?xy=_________,2x?2y=__________。

322237、多项式15mn?5mn?20mn的公因式是( )

2222A、5mn B、5mn C、5mn D、5mn

20、如图,在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中,挖去一个边长b=3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。

因式分解小结

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式;

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式;

3. 分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止;

4. 公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式;

5. 结果如有相同因式,应写成幂的形式;

6

6. 题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解;

7. 因式分解的一般步骤是:

(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;

(2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;

1. 通过基本思路达到分解多项式的目的

例1. 分解因式x5?x4?x3?x2?x?1

分析:这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把x5?x4?x3和?x2?x?1分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;也可把x5?x4,x3?x2,x?1分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。 解一:原式?(x5?x4?x3)?(x2?x?1)

?x3(x2?x?1)?(x2?x?1)

?(x3?1)(x2?x?1)

?(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)

解二:原式=(x5?x4)?(x3?x2)?(x?1)

?x4(x?1)?x2(x?1)?(x?1)

?(x?1)(x4?x??1)

?(x?1)[(x?2x?1)?x]

?(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)422

2. 通过变形达到分解的目的

例1. 分解因式x3?3x2?4

解一:将3x2拆成2x2?x2,则有

原式?x3?2x2?(x2?4)

?x2(x?2)?(x?2)(x?2)

?(x?2)(x?x?2)

?(x?1)(x?2)22

解二:将常数?4拆成?1?3,则有

7

原式?x3?1?(3x2?3)

?(x?1)(x2?x?1)?(x?1)(3x?3)

?(x?1)(x?4x?4)

?(x?1)(x?2)22

3. 在证明题中的应用

例:求证:多项式(x2?4)(x2?10x?21)?100的值一定是非负数

分析:现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数。

证明:(x2?4)(x2?10x?21)?100

?(x?2)(x?2)(x?3)(x?7)?100

?(x?2)(x?7)(x?2)(x?3)?100

?(x2?5x?14)(x2?5x?6)?100

设y?x2?5x,则

原式?(y?14)(y?6)?100?y2?8y?16?(y?4)2

?无论y取何值都有(y?4)2?0

?(x2?4)(x2?10x?21)?100的值一定是非负数

4. 因式分解中的转化思想

例:分解因式:(a?2b?c)3?(a?b)3?(b?c)3

分析:本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c与a+2b+c的关系,努力寻找一种代换的方法。

解:设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B

?原式?(A?B)3?A3?B3

?A3?3A2B?3AB2?B3?A3?B3

?3A2B?3AB2

?3AB(A?B)

?3(a?b)(b?c)(a?2b?c)

中考点拨

例1.在?ABC中,三边a,b,c满足a2?16b2?c2?6ab?10bc?0

求证:a?c?2b

证明:?a2?16b2?c2?6ab?10bc?0

8

?a2?6ab?9b2?c2?10bc?25b2?0即(a?3b)2?(c?5b)2?0

(a?8b?c)(a?2b?c)?0

?a?b?c

?a?8b?c,即a?8b?c?0

于是有a?2b?c?0

即a?c?2b

例2. 已知:x?1

x?2,则x3?1

x3?__________

解:x3?111

x3?(x?x)(x2?1?x) ?(x?11

x)[(x?x)2?2?1]

?2?1

?2

说明:利用x2?1

x2?(x?12

x)?2等式化繁为易。

题型展示

1. 若x为任意整数,求证:(7?x)(3?x)(4?x2)的值不大于100。 解:?(7?x)(3?x)(4?x2)?100

??(x?7)(x?2)(x?3)(x?2)?100??(x2?5x?14)(x2?5x?6)?100 ??[(x2?5x)?8(x2?5x)?16]

??(x2?5x?4)2?0

?(7?x)(3?x)(4?x2)?100

实战模拟

2. 已知:x?y?6,xy??1,求:x3?y3的值。

3. 矩形的周长是28cm,两边x,y使x3?x2y?xy2?y3?0,求矩形的面积。

9

5. 已知:a、b、c是非零实数,且a2?b2?c2?1,a(?)?b(?)?c(?)??3,求a+b+c111111

bccaab

的值。

2、x2?x?m?(x?n)2则m=____n=____

4、若xm?yn=(x?y2)(x?y2)(x2?y4),则m=_______,n=_________。

6、若x2?2(m?3)x?16是完全平方式,则m=_______。

9、若16(a?b)2?M?25是完全平方式M=________。

12、若x2?4x?4的值为0,则3x2?12x?5的值是________。

13、若x2?ax?15?(x?1)(x?15)则a=_____。

14、若x?y?4,x2?y2?6则xy?___。

1、多项式?a(a?x)(x?b)?ab(a?x)(b?x)的公因式是( )

A、-a、 B、?a(a?x)(x?b) C、a(a?x) D、?a(x?a)

2、若mx2?kx?9?(2x?3)2,则m,k的值分别是( )

A、m=—2,k=6,B、m=2,k=12,C、m=—4,k=—12、D m=4,k=12、

3、下列名式:x2?y2,?x2?y2,?x2?y2,(?x)2?(?y)2,x4?y4中能用平方差公 式分解因式的有( )

A、1个,B、2个,C、3个,D、4个

1、已知2x?y?1

3,xy?2,求 2x4y3?x3y4的值。

2、若x、y互为相反数,且(x?2)2?(y?1)2?4,求x、y的值 10

3、已知a?b?2,求(a2?b2)2?8(a2?b2)的值

1、对于任意自然数n,(n?7)2?(n?5)2都能被24整除。

2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米,其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。

2、用简便方法计算。

(2)2022-542+256×352 (3)

3、已知:x+y=1,xy=1.求x3y+2x2y2+xy3的值。 21997 21997?1996?1998

四、探究创新乐园

1、若a-b=2,a-c=,求(b-c)2+3(b-c)

2、求证:1111-1110-119=119×109

11

3.证明:(ac-bd)2+(bc+ad)2=(a2+b2)(c2+d2).

5.若x2+mx+n=(x-3)(x+4),求(m+n)2的值.

6.当a为何值时,多项式x2+7xy+ay2-5x+43y-24可以分解为两个一次因式的乘积.

7.若x,y为任意有理数,比较6xy与x2+9y2的大小.

8.两个连续偶数的平方差是4的倍数.

12

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