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2013年中考数学复习 第二章方程与不等式 第9课 不等式与不等式组课件

发布时间:2013-09-19 10:32:15  

第9课 不等式与不等式组

要点梳理
1.定义:

(1)用 不等号 连接起来的式子叫做不等式;
(2)使不等式成立的未知数的值叫做 不等式的解;

(3)一个含有未知数的不等式的解的全体,叫
做 不等式的解集 ;

(4)求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过
程,叫做解不等式.

2.不等式的基本性质: (1)不等式两边都 加上(或减去) 同一个数或同一个整式, 不等式仍然成立;若a>b,则a±c>b±c. (2)不等式两边都 乘以(或除以) 同一个正数,不等式仍然 成立;若a>b,c>0,则ac>bc,a > b . c c (3)不等式两边都 乘以(或除以) 同一个负数,改变不等号 的方向,改变后不等式仍能成立;若a>b,c<0,则 a b ac<bc, < . c c

3.解一元一次不等式的步骤及程序: 除了“当用一个负数去乘或除不等式的两边时,必须改 变不等号的方向”这个要求之外,与解一元一次方程相

同.
4.解不等式组: 一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在

数轴上,再求出它们的公共部分,就得到不等式组的解
集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解 集有四种情况,其口诀为“两大取其大、两小取其小、大

小小大中间找、大大小小无处找(无解)”.

[难点正本 疑点清源]
1. 正确理解不等式与不等式组的解与解集
与方程的解一样,不等式的一个解也是满足不等式的一 个未知数的值,但不等式的解常常会有无数个,所以只有 一个解的意义不大,要找的是不等式的所有解,也就是要 找不等式的解集.如果对不等式的解、解集的意义理解不 透彻,两者容易混淆.所谓不等式的解是指使不等式成立 的每一个数,而不等式的解集是指由全体不等式的解组成 一个集合.因此,不等式的解可以是一个或多个值,而不 等式的解集应包含满足不等式的所有解.

不等式的解与不等式的解集的区别:解集是能使不等

式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等
式的解则是使不等式成立的未知数的值,二者的关系是: 解集包括解,所有的解组成了解集.

求不等式组的解集,不管组成这个不等式组的不等式
有几个,都要先分别求解每一个不等式,再利用口诀或 数轴求出它们的公共解集.利用数轴可以直观地求出几

个不等式解集的公共部分,从而求得不等式组的解集,
这既是一种准确、快捷的做法,又体现了数形结合的思 想方法.

2. 正确理解不等式的基本性质,熟练掌握不等式的基本性 质

不等式的三条性质是不等式变形的重要依据,也是解一
元一次不等式的理论依据.性质3是重点,也是难点,在运 用不等式性质对不等式变形时要特别注意,不等式

两边同

乘以或除以同一个负数时,不等号的方向要改变.
将一个不等式两边同时加上(或减去)同一个数,不等号 方向肯定不变;将一个不等式两边同时乘(或除以)同一个

不确定的数,则需要进行分类讨论.

基础自测
1.(2011· 凉山)下列不等式变形正确的是( B ) A.由a>b,得ac>bc B.由a>b,得-2a<-2b C.由a>b,得-a>-b D.由a>b,得a-2<b-2

解析:由a>b,又-2<0,得-2a<-2b,不等式的
两边同乘以一个负数,不等号必须改变方向.

2.(2011· 宁波)不等式x>1在数轴上表示正确的是( C )

解析:x>1不包括1,可排除B、D,而A表示x<1,故选C.

3.(2011· 潜江)某不等式组的解集在数轴上表示如图,则 这个不等式组可能是( B ) A. C.
?x≥-2, ? ? ?x≤3 ? ?x>-2, ? ? ? ?x<3 ? B. ?x≥-2, ? ?x<3 ?

D.

?x>-2, ? ? ?x≤3 ?

解析:观察解集在数轴上的表示,可知x≥-2且x<3.

?x-3≥0, ? 4.(2011· 苏州)不等式组 ?x 的所有整数解之和是 ?2<3 ? ( B )

A.9

B.12

C.13

D.15

?x-3≥0, ? 解析:?x 解之,得3≤x<6, ?2<3 ?

整数x=3或4或5,其和为3+4+5=12.

5.(2011· 日照)若不等式2x<4的解都能使关于x的一次不等式 (a-1)x<a+5成立,则a的取值范围是( A ) A.1<a≤7 C.a<1或a≥7 解析:由2x<4得x<2;
a+5 ,其中a-1>0,a>1. a-1 又x<2使(a-1)x<a+5成立,

B.a≤7 D.a=7

由(a-1)x<a+5,得,x<

所以2≤

a+5 ,2(a-1)≤a+5,a≤7,故1<a≤7. a-1

题型分类 深度剖析
题型一 不等式的性质 【例 1】 若a<b<0,则下列式子:①a+1<b+2;② a >1; b 1 < 1 中,正确的有( ③a+b<ab;④ C ) b a A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:∵a<b<0,∴a+1<b+1<b+2. a ∴ >1. b 而a+b<0,ab>0, 1 1 ∴a+b<ab. ∴ < <0. b a 正确的有①、②、③,应选C.

探究提高
将一个不等式两边同时加上(或减去)同一个数,不等号方向 肯定不变;将一个不等式两边同时乘以(或除以)同一个不确定

的数,则需要进行分类讨论.
知能迁移1 (1)若a<b,则下列各式中一定成立的是( A ) A.a-1<b-1 B. a > b 3 3 C.-a<-b D.ac<bc 解析:∵a<b,∴a-1<b-1一定成立,应选A.

(2)如图,数轴上A、B两点分别对应实数a、b,则下列结论正

确的是( C )

A.a+b>0
C.a-b>0

B.ab>0
D.|a|-|b|>0

解析:∵b<0<a,且|b|>|a|,∴a-b>0正确,应选C.

题型二

一元一次不等式解法

【例 2】解不等式5x-12≤2(4x-3),并把它的解集在数轴上 表示出. 解:5x-12≤2(4x-3), 5x-12≤8x-6, 5x-8x≤-6+12, -3x≤6, ∴x≥-2. 在数轴表示如下:

探究提高 整个解一元一次不等式的过程与解一元一次方程极为相似, 只是最后一步把系

数化为1时,需要看清未知数的系数是正数 还是负数,如果是正数,不等号方向不变;如果是负数,不等 号方向改变.

知能迁移2

解不等式,并把解集在数轴上表示出来:

3?x+1? x+1 -1≤ +2x+5. 2 2
解:3?x+1?-1≤ x+1 +2x+5, 2 2 3(x+1)-2≤x+1+4x+10, 3x+3-2≤x+1+4x+10, 3x-x-4x≤1+10-3+2,-2x≤10, ∴x≥-5.

题型三

一元一次不等式组的解法 ?x-3 【例3】解不等式组 ? 2 +3≥x+1,① 并写出该不等式 ? ?1-3?x-1?<8-x,② ? 组的整数解. 解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢! 解:由①得x≤1, 由②得x>-2, [2分] [4分]

∴-2<x≤1,整数x=-1或0或1. 答:原不等式组的整数解是-1,0,1.

[5分] [6分]

探究提高

求不等式组的解集,不管组成这个不等式组的不等式有几
个,都要先分别求解每一个不等式,再利用口诀“两大取其 大,两小取其小,大小取其中,无中不相容”或利用数轴求

出它们的公共解集,还要确定其中的特殊解.

知能迁移3

?x+1<3, ? (1)解不等式组 ? 并把它的解表示在数轴集上. ?2x+9>3, ?

?x+1<3, 解:? ∴-3<x<2. ? ?2x+9>3, ?

2x-1 (2)解不等式:-1≤ <6. 3
2x-1 解:∵-1≤ <6, 3 ∴-3≤2x-1<18,-2≤2x<19,-1≤x<9.5.

(3)已知关于x的不等式组只有四个整数解,求实数a的取值范围. 解:原不等式组的解集是a≤x<2,四个整数解指1,0,-1,-2, ∴-3<a≤-2.

题型四

利用不等式组解一元二次不等式、分式不等式

【例 4】 先阅读理解下面的例题,再按要求解答:
例题:解一元二次不等式x2-9>0. 解:∵x2-9=(x+3)(x-3),∴(x+3)(x-3)>0.

由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得
? ? (1) ?x+3>0, (2) ?x+3<0, ? ? ?x-3<0. ? ? ?x-3>0, 解不等式组(1),得x>3,

解不等式组(2),得x<-3, 故(x+3)(x-3)>0的解集为x>3或x<-3,

即一元二次不等式x2-9>0的解集为x>3或x<-3. 5x+1 问题:求分式不等式 <0的解集. 2x-3

解:∵ 5x+1 <0, 2x-3 ?5x+1<0, ∴① ? 或② ? ?2x-3>0, ?

?5x+1>0, ? ? ?2x-3<0. ?

解不等式组①,无解;解不等式组②得- 1 <x< 3 . 5 2 5x+1 1 3 即不等式 <0的解集是- <x< . 5 2 2x-3 探究提高 本题应用有理数的乘除法法则“两数相乘除,同号得正, 异号得负.”分类讨论因式、分子、分母的正负,列出不等 式组,解出不等式组,即得原不等式的解集.这里也体现了 转化的数学思想.

知能迁移4

(1)已知方程组

?x+y=4a+5, ? ? 的解满足不等式 ?x-y=6a-5 ?

4x-5y<9,求a的取值范围.
?x+y=4a+5, ?x=5a, ? 解:∵

? ∴? ? ?x-y=6a-5 ?y=-a+5. ? ?

又∵4x-5y<9,
∴4(5a)-5(-a+5)<9, ∴20a+5a-25<9, 25a<34,a< 34. 25

?2x-m>2, (2)设关于x的不等式组 ? 无解,求m的取值范围. ? ?3x-2m<-1 ?

? m+2 ?x> 2 , ?2x-m>2, ? 解:∵ ? ∴? ?3x-2m<-1, ? ?x<2m-1. 3 ?
∵不等式组无解,
∴ m+2 ≥ 2m-1,3(m+2)≥2(2m-1), 2 3 3m+6≥4m-2, 3m-4m≥-2-6, -m≥-8,m≤8.

易错警示
5.明确不等式组解集的意义 试题
?x-a≥0, 已知关于x的不等式组 ? 的整数解共有5个, ? ?3-2x>-1 ?

求a的取值范围.
学生答案展示

?x-a≥0, ? 解:由不等式组 ? 得 ? ?3-2x>-1

?x≥a, ? ? ? ?x<2.

又因为不等式组有5个整数解, 所以a≤x<2,这5个整数解应是-3,-2,-1,0,1,

所以a≥-3.

剖析 本题主要考查学生是否会利用逆向思维法解决含有待定字母 的一元一次不等式组的特解,此例错在忽视了在a≤x<2中有5个 整数解时,a虽不唯一,但也有一定限制,a的取值范围在-3与 -4之间的任一处,其中包括-3但不包括-4,所以在确定a的 取值范围时扩大了解的范围.

正解 由 ?x-a≥0, 得 ?x≥a, ? ? ?x<2. ?3-2x>-1 ? ? 又因不等式组有5个整数解, 所以a≤x<2.则知这5个整数解应是-3,-2,-1,0,1,
?
?

所以a的取值范围是-4<a≤-3.
批阅笔记 本题主要考查逆向思维,一定要明确不等式组解集的意义, 可画数轴直观理解,如下图:

注意,包括-4则不等式组有6个整数解了.

思想方法 感悟提高
方法与技巧 1. 可以对照一元一次方程来学习一元一次不等式,比较它们之间 的共同点和不同之处有助于准确掌握概念,有助于花较少的精 力较好地掌握解题技能. 2. 解一元一次不等式的全部过程,与解一元一次方程相比,只是 最后一个步骤上有所变化.所以,在熟练了解一元一次方程的

基础上,解好一元一次不等式的关键是集中精力,细心完成好
最后一步——用未知数的系数去除不等式的两边.在这一步的 思考上,应分三步:由(未知数)系数的正负,确定原不等号的方

向是否改变;由不等号两边的符号,确定商的符号;弄清谁除
谁,而不弄错商的绝对值.

3. 对于解得的一元一次不等式(组)的解集是否正确,可以用以

下方法检验:第一步,把解集的端点值分别代入原不等式的
左边和右边,两边计算出来的数值应当相等;第二步,在所 得解集中选一个,在代入原不等式的左边或右边后,计算比

较简便的数,代入原不等式,原不等式应当成立.

失误与防范 1. 解一元一次不等式的一般步骤是:(1)去分母;(2)去括号;(3)移 项;(4)合

并同类项;(5)系数化为1.首先在去分母时,容易漏乘 了不含分母的项,其次是在最后一步利用不等式性质将系数化 为1时,不等式的两边同时乘以(或除以)了相同的负数,不等号 的方向没有改变,这些都是常见的错误. 2. 解不等式组,需要先解出每一个不等式的解,最后找出它们的 公共部分.解不等式在作变形时,一定要使用同解变形,不然 就会出错. 3. “≥”、“≤”分别表示“大于或等于”、“小于或等于”的意思, 二者只要其中一项成立,则由“≥”、“≤”连接的不等式即成 立,它们都包括后面连接的数.“非负整数”即“不是负整 数”,包含了0和正整数,此时0易被忽略,从而造成漏解.

完成考点跟踪训练 9


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