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2013年中考数学复习 第九章探索型与开放型问题 第43课 阅读理解型问题课件

发布时间:2013-09-19 10:32:16  

第43课 阅读理解型问题

要点梳理
阅读理解能力是初中数学课程的主要目标,是改变学生学 习方式,实现自主探索主动发展的基础. 阅读理解型问题,一般篇幅较长,涉及内容丰富,构思新 颖别致.这类问题,主要考查解题者的心理素质,自学能力和 阅读理解能力,考查解题者的观察分析能力、判辩是非能力、 类比操作能力、抽象概括能力、数学归纳能力以及数学语言表 达能力.这就要求同学们在平时的学习活动中,逐步养成爱读 书、会学习、善求知、勤动脑、会创新和独立获取新知识的良 好习惯.

[难点正本 疑点清源]
1.阅读理解型问题命题模式

阅读理解题是近年中考的常见题型,它由两部分组成:一是
阅读材料,二是考查内容.阅读理解题的一般模式是:先给出 一些全新的知识,让学生阅读理解,再设立问题,让我们运用 这些新知识去解决问题,主要涉及代数知识、几何知识、函数 与统计的解题方法和推理方法.

2.阅读理解型问题对解题的要求 阅读理解型问题要求我们根据阅读获取的信息回答问题.

提供的阅读材料主要包括:一个新的数学概念的形成和应用
的过程,或一个新数学公式的推导和应用,或提供新闻背景 材料等,考查内容既有考查基础的,也有考查自学能力和探

索能力等综合素质的.

3.阅读理解题型分类 题型一:考查掌握新知识能力的阅读理解题 命题者给定一个陌生的定义或公式或方法,让你去解决新问 题,这类考题能考查我们自学能力和阅读理解能力,能考查我 们接收、加工和利用信息的能力. 题型二:考查解题思维过程的阅读理解题 言之有据,言必有据,这是正确解题的关键所在,是提高我 们数学水平的前提.数学中的基本定理、公式、法则和数学思

想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础,这类试题
就是为检测我们理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨别 是非的能力而设置的.

题型三:考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题

理解知识不是拘泥于形式的死记硬背,而是要把握知识的内
涵或实质,理解知识间的相互联系,形成知识脉络,从而整体 地获取知识.这类试题意在检测我们对知识的理解以及认识问

题和解决问题的能力.
题型四:考查归纳、探索规律能力的阅读理解题 对材料信息的加工提炼和运用,对规律的归纳和发现能反映 出我们的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能 力.这类试题意在检测我们的“数学化”能力以及驾驭数学的 创新意识和才能.

基础自测
1.(2010· 深圳)观察下列算式,21=2, 22=4, 23=8, 24=16,2 5=32, 26=64, 27=128, 28

=256,?,用你所发现的规律得出 22010 的 末位数字是( B ) A.2 B.4 C.6 D.8

解析

末位数字的规律是 2, 4, 6, 8;因为 2010=4×502+2,

所以 22010 与 22 的未位数字相同.

2.(2011· 滨州)在快速计算法中,法国的“小九九”从“一一得一”
到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的,而 后面“六到九”的运算就改用手势了.如计算8×9时,左手伸

出3根手指,右手伸出4根手指,两只手伸出手指数的和为7,
未伸出手指数的积为2,则8×9=10×7+2=72.那么在计算 A 6×7时,左、右手伸出的手指数应该分别为( )

A.1, 2
解析 =42.

B.1, 3

C.4, 2

D.4,3

左手伸出1根手指,右手伸出2根手指,两只手伸出指数

的和为3,未伸出手指数的积为4×3=12,则6×7=10×3+12

3.为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文→ 密文(加密),接收方由密文→明文(解密).已知加密规则 为:明文a,b,c对应的密文a+1, 2b+4, 3c+9.例如明文1, 2, 3对应的密文2, 8, 18.如果接收方收到密文7, 18, 15,则

解密得到的明文为( B ) A.4, 5, 6 B.6, 7, 2 C.2, 6, 7 解析

D.7, 2, 6

a+1=7, 2b+4=18, 3c+9=15,可得a=6,

b=7,c=2.

4.为了求 1+2+22+23+?+22008 的值,可令 S=1+2+22+23+?+22008,则 2S=2+22+ 23+24+?+22009,因此 2S-S=22009-1, 所以 1+2+22+23+?+22008=22009-1. 仿照以上推理计算出 1+5+52+53+?+52009 的值是( A.52009-1 52009-1 C. 4 ) B.52010-1 D. 52010-1 4

解析

S=1+5+52+53+?+52009,

则 5S=5+52+53+54+?+52010, 因此 5S-S=52010-1, 52010-1 所以 S= . 4
答案 D

5.(2011· 永州)对点(x,y)的一次操作变换记为 P1(x,y ),定义其 变换法则如下:P1(x,y)=(x+y,x-y);且规定 Pn(x,y)= P1(Pn-1(x,y))(n 为大于 1 的整数).如 P1(1, 2)=(3,-1), P2(1, 2)=P1(P1(1, 2))=P1(3,-1)=(2, 4), P3(1, 2)=P1(P2(1, 2))=P1(2, 4)=(6,-2). 则 P2011(1,-1)=( A.(0, 21005 ) C.(0,-21006) ) B.(0,-21005 ) D.(0, 21006)

解析

P1(1,-1)=(0, 2),P2(1,-1)=(2,-2),P3(1,-1)=(0, 4), 8),P6(1,-1)=(8,-8),

P4(1,-1)=(4,-4),P5(1,-14)=(0, ??. 当 n 为奇数时,Pn(1,-1)=(0, ∴P2011(1,-1)应为(0, 21006).

n+1 2 ), 2

答案

D

题型分类 深度剖析
题型一
【例 1】

应用型(阅读—理解—建模—应用)
在平面几何中,我们可以证明:周长一定的多边

形中,正多边形的面积最大.使用上面的事实,解答下面 的问题:现有长度分别为2、3、4、5、6(单位: cm)的五 根木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),那么 在能够围成的三角形中,最大面积的是多少 cm

2?



如图①,AB=6,AC=2+4=6,BC=3+5=8, 1 过 A 画 AM⊥BC 于 M,则 BM= BC=4. 2 在 Rt△ABM 中, AM= 62-42= 20=2 5. 1 1 ∴S△ABC= BC· AM= ×8×2 2 2 5=8 5;

如图②,DE=2+5=7,DF=3+4=7,EF=6. 1 过 D 画 DN⊥EF 于 N,则 EN= EF=3. 2 在 Rt△DEN 中, DN= 72-32= 40=2 10. 10=6 10, 10.

1 1 ∴S△DEF= EF· DN= ×6×2 2 2 ∵ 320< 360,即 8 ∴S△ABC<S△DEF. 5<6

即两腰为 7,底边为 6 的三角形的面积最大,最大面积是 6

10 cm2.

探究提高

本题先给出一段文字,要求在阅读的基础,

理解其中的内容、方法和思想,然后研究并应用.

知能迁移 1

阅读材料:把形如 ax2+bx+c 的二次三项式(或其一部分)

配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公 式的逆写,即 a2± 2ab+b2=(a± 2.例如: b) (x-1) +3,(x-2)
2 2

?1 ?2 3 2 +2x,?2x-2? + x 是 x2-2x+4 4 ? ?

的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项. 请根据阅读材料解决下列问题: (1)比照上面的例子,写出 x2-4x+2 三种不同形式的配方; (2)将 a2+ab+b2 配方(至少两种形式); (3)已知 a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求 a+b+c 的值.



(1)x2-4x+2=(x2-4x+4)-2=(x-2)2-2; x2-4x+2=(x2-2 2x+2)+(2 2-4)x=(x- 2)2+(2 x2-4x+2=(2x2-4x+2)-x2=2(x-1)2-x2.
2 2 2

2-4)x;

1 2 3 2 1 2 3 2 (2)a +ab+b =(a +ab+ b )+ b =(a+ b) + b ; 4 4 2 4 3 1 3 1 a2+ab+b2= a2+( a2+ab+b2)= a2+( a+b)2. 4 4 4 2 (3)∵a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0, 1 2 3 ∴(a- b) + (b-2)2+(c-1)2=0, 2 4 1 从而 a- b=0,且 b-2=0,且 c-1=0, 2 ∴a=1,b=2,c=1,∴a+b+c=1+2+1=4.

题型二
【例 2】

猜想型(阅读—理解—归纳—验证)
(2009· 龙岩)阅读下列材料:正方形网格中,每个小正方形

的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫格点三角形. 数学老师给小明同学出了一题目:在图 1 正方形网格(每个小正方形 边长为 1)中画出格点△ABC,使 AB=AC= 5,BC= 2.

图1

图2

小明同学的做法是:由勾股定理,得 AB=AC= 22+12= 5, BC= 12+12= 2,于是画出线段 AB、AC、BC,从而画出格 点△ABC. (1)请你参考小明同学的做法,在图 2 正方形网格(每个小正方形 边长为 1)中画出格点△A′B′C′(A′点位置如图所示),使 A′B′=A′C′=5,B′C′= 10; (直接画出图形,不写过程) (2)观察△ABC 与△A′B′C′的形状,猜想∠BAC 与∠B′A′C′ 有怎样的数量关系,并证明你的猜想.



(1)正确画出△A′B′C′(画出其中一种情形即可).

(2)猜想∠BAC=∠B′A′C′. 证明:∵ AB AC 5 = = , A′B′ A′C

′ 5

BC 2 5 = = , B′C′ 10 5 AB AC BC ∴ = = . A′B′ A′C′ B′C′ ∴△ABC∽△A′B′C′. ∴∠BAC=∠B′A′C′.

探究提高

在仔细阅读之后,正确理解题意,理解其中的

内容、方法和思想,阅读特殊范例,推出一般结论.

知能迁移 2

(2011· 永州)探究问题:

(1)方法感悟: 如图①,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别 为 DC、BC 边上的点,且满足∠EAF=45° , 连接 EF,求证 DE+BF=EF. 感悟解题方法,并完成下列填空: 将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到△ABG,此时 AB 与 AD 重合,由旋转可得: AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90° , ∴∠ABG+∠ABF=90° +90° =180° ,因此,点 G、B、F 在同一条直线上. ∵∠EAF=45° , ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90° -45° =45° . ∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=45° ,即∠GAF=∠________. 又 AG=AE,AF=AF, ∴△GAF≌________. ∴________=EF,故 DE+BF=EF.

(2)方法迁移: 如图②,将 Rt△ABC 沿斜边翻折 得到△ADC,点 E、F 分别为 DC, 1 BC 边上的点,且∠EAF= ∠DAB. 2 试猜想 DE、BF、EF 之间有何数量关系,并证明你的猜想.

(3)问题拓展: 如图③,在四边形 ABCD 中,AB=AD,E、F 分别为 DC、BC 1 上的点,满足∠EAF= ∠DAB,试猜想当∠B 与∠D 满足什么 2 关系时,可使得 DE+BF=EF.请直接写出你的猜想. (不必说明理由)



(1)EAF;△EAF;GF. (2)DE+BF=EF,理由如下: 假设∠BAD 的度数为 m° ,将 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 m° 得到△ABG,此时 AB 与 AD 重合,由旋转可得: AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90° , ∴∠ABG+∠ABF=90° +90° =180° , 因此,点 G、B、F 在同一条直线上.

1 ∵∠EAF= m° , 2

1 1 ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=m° m° m° - = . 2 2 1 ∵∠1=∠2,∴∠1+∠3= m° . 2 即∠GAF=∠EAF. 又 AG=AE,AF=AF, ∴△GAF≌△EAF. ∴GF=EF. 又∵GF=BG+BF=DE+BF, ∴DE+BF=EF. (3)当∠B 与∠D 互补时,可使得 DE+BF=EF.

题型三 【例 3】

概括型(阅读—理解—概括—表达) (2012· 玉溪) (1)AB平行于CD.如图a,点P在AB、

CD外部时,由AB∥CD,有∠B=∠BOD,又因∠BOD是 △POD的外角,故∠BOD=∠BPD+∠D,得∠BPD= ∠B-∠D.如图b,将点P移到AB、CD内部,以上结论是 否成立?若不成立 ,则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量 关系?请证明你的结论;

(2)在图b中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直
线CD于点Q,如图c,则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间 有何数量关系?(不需证明) (3)根据(2)的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.

>> 解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢! 解:(1)不成立,结论是∠BPD=∠B+∠D.
延长BP交CD于点E,

∵AB∥CD,

∴∠B=∠BED.
又∠BPD=∠BED+∠D, ∴∠BPD=∠B+∠D.[4分]

(2)结论:∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.[7分]
(3)由(2)的结论得:∠AGB=∠A+∠B+∠E. 又∵∠AGB=∠CGF,

∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.[11分]

探究提高

在阅读理解后,需要总结解题思路和方法,应用

所得的结论解答新的问题.

知能迁移 3 阅读下列材料: 关于 x 的方程: 1 1 1 x+x=c+c的解是 x1=c,x2=c; 2 2 2 x+x=c+c的解是 x1=c,x2=c; 3 3 3 x+x=c+c的解是 x1=c,x2=c; ?? m m (1)请观察上述方程及解的特征,比较关于 x 的方程 x+ x =c+ c (m≠0)与 它们的关系,猜想它的解是什么,并利用“方程的解”的概念进行验证; (2)由上述的观察、比较、猜想、验证,可以得出结论:如果方程的左边是未 知数与其倒数的倍数的和,方程右边的形式与左边完全相同,只是把其中的 未知数换成了某个常数,那么这样的方程可以直接得解.请用这个结论解关 2 2 于 x 的方程:x+ =a+ . x-1 a-1



m m (1)x1=c,x2= c (m≠0).当 x=c 时,左边=c+ c , m 右边=c+ c .∵左边=右边,∴x=c 是方程的根. m 同样,x= c 也是方程的根. 2 2 (2)原方程可变形为:(x-1)+ =(a-1)+ , x-1 a-1 于是:x-1=a-1 或 x-1= a+1 ∴x1=a,x2= . a-1 2 , a-1

题型四
【例 4】

探究型(阅读—理解—尝试—探究)
先阅读一段文字,再回答下列问题:已知平面内两点坐标

P1(x1,y1),P2(x2,y2),其两点间的距离公式为 P1P2= ?x2-x1?2+?y2-y1?2, 同时当两点所在直线在坐标轴上或平行于坐标轴,两点间的距离公 式可简化成|x2-x1|或|y2-y1|. (1)已知 A(3,5),B(-2,-1),求 A、B 两点间的距离; (2)已知 A、B 在平行于 y 轴的直线上,点 A 的纵坐标为 5,点 B 的 纵坐标为-1,求 A、B 两点间的距离; (3)已知一个三角形各顶点坐标为 A(0,6),B(3,0),C(3,12),你能确定 此三角形的形状吗?说明理由.

解 (1)由公式,得 AB= ?-2-3?2+?-1-5?2= 25+36= 61. (2)AB=|-1-5|=6. (3)AB= ?0-3?2+?6-0?2= 45. AC= ?0-3?2+?6-12?2= 45. BC= ?3-3?2+?0-12?2= 144. ∵AB=AC, ∴△ABC 是等腰三角形.

探究提高

在看懂过程的同时注重其内蕴的数学思想方

法,并应用材料所提供的方法去解决相关的问题.

知能迁移 4

(2010· 东莞)阅读下列材料:

1 1×2= (1×2×3-0×1×2); 3 1 2×3= (2×3×4-1×2×3); 3 1 3×4= (3×4×5-2×3×4). 3 由以上三个等式相加,可得 1 1×2+2×3+3×4= ×3×4×5=20. 3 读完以上材料,请你计算下面各题: (1)1×2+2×3+3×4+?+10×11(写出过程

); (2)1×2+2×3+3×4+?+n×(n+1)=__________; (3)1×2×3+2×3×4+3×4×5+?+7×8×9=

.



(1)1×2+2×3+3×4?+10×11 1 = ×(1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3? 3 +10×11×12-9×10×11) 1 = ×10×11×12=440. 3 (2)1×2+2×3+3×4+?+n×(n+1) 1 = ×[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+? 3 +n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)] 1 1 = [n×(n+1)×(n+2)]= n(n+1)(n+2). 3 3

(3)1×2×3+2×3×4+3×4×5+?+7×8×9 1 = ×(1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+? 4 +7×8×9×10-6×7×8×9) 1 = ×7×8×9×10 4 =1260.

易错警示
31.不能正确理解材料,造成解题错误
试题 阅读下列材料,然后解答后面的问题: 我们知道方程 2x+3y=12 有无数组解,但在实际生活中, 我们往往只需要求出其正整数解,例:由 2x+3y=12,

?x>0, ? 12-2x 2 得 y= =4- x(x、y 为正整数),而? 2 3 3 ?4-3x>0, ?
2 2 则有 0<x<6,又 y=4- x 为正整数,则 x 为正整数, 3 3 2 由 2 与 3 互质,可知 x 为 3 的倍数,从而 x=3,则 y=4- x=2. 3 ∴2x+3y=12
?x=3, ? 的正整数解为? ?y=2. ?

问题: (1)请你写出 2x+y=5 的一组正整数解:________; 6 (2)若 为自然数,则满足条件的 x 的正整数值的个数有( x-2

)

A.2 B.3 C.4 D.5 (3)九年级某班为了奖励学习进步的学生,购买了单价为 3 元的笔 记本与单价为 5 元的钢笔两种奖品,共花费 35 元,问有几种购 买方案?
学生答案展示
?x=1, ? (1)? ?y=3, ? ?x=2, ? ? ?y=1. ?

(2)A

(3)设购买笔记本 x 本,钢笔 y 支,则有 3x+5y=35, 35-5y 变形,得 x= ,当 y=1 时,x=10. 3 答:只有一种购买方案:购买笔记本 10 本,钢笔 1 支.

剖析

(1)应在两组解之间用“或”连接,表示只选择一组,

使结论更符合题意更准确; (2)分析不严密,不完整,出现漏解.推导过程如下: ∵6 中含因数 1、2、3、6,∴x-2 的值为 1、2、3、6 时, 6 的值为自然数,可解得 x 的值为 3、4、5、8 四个, x-2 应选 C. 3 (3)设、列均正确,但变形为 y=7- x 更利于讨论正整数解. 5

正解

?x=1, ?x=2, (1)? 或? (2)C ?y=3 ?y=1.

(3)设购买笔记本 x 本,钢笔 y 支,则 3x+5y=35, 3 5y=35-3x,y=7- x. 5 ∵x、y 为正整数, ?x>0, ? ∴? 3 7- x>0. ? 5 ? 2 解得 0<x<11 ,且 x 为 5 的整数倍. 3 ∴x 可取 5、10,相应的 y 的值分别为 4、1. ?x=5, ?x=10, ∴正整数解为? 或? ?y=4 ?y=1. 答:共有两种购买方案:买 5 本笔记本,4 支钢笔或 10 本笔记本,1 支钢笔.

批阅笔记

仔细阅读材料,理解数学概念的形成和应用的过

程,理解数学公式的推导和应用.

思想方法 感悟提高

方法与技巧 1. “阅读——理解——归纳”型问题,要理解所提供的材料,通过 操作、观察、猜想、发现等探究过程,遵循“特殊——一般— —特殊”的认识规律. 2. “阅读——理解——应用”型问题,要灵活转化内容,用自己的 语言来理解定义或定理等. 3. “阅读——理解——拓展”型问题,要充分挖掘材料的内涵和实 质,整体获得知识,提高认知水平.同时要注重对信息的加工 和提炼. 4.解决阅读理解型问题的关键是首先仔细阅读信息,然后将信息 转化为数学问题,感悟数学思想和方法,形成科学的思维方式 和思维策略,进而解决问题.

失误与防范 1.解决阅读理解题的关键是把握实质并在其基础上作出回 答.首先仔细阅读信息,收集处理信息,以领悟数学知识 或感悟数学思想方法;然后运用新知识解决新问题,或运 用范例形成科学的思维方式和思维策略,或归纳与类比作 出合理判断和推理,进而解决问题. 2.解决阅读理解问题,不仅要掌握初中数学的基础知识, 更要注重提高阅读理解、知识迁移、分析转化、探索归纳

等多方面的素质.

完成考点跟踪训练 43


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