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2013年中考数学复习 第二章方程与不等式 第7课 一元二次方程课件

发布时间:2013-09-19 10:32:16  

第7课 一元二次方程

要点梳理
1.定义:
只含有 一个未知数 ,并且未知数的最高次数是 2 ,这样 的整式方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形

式: ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数,a≠0) ,其中a、b、c
分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.

2.解法:
直接开平方法 ; 因式分解法 公式法 . ; 配方法 ;

3.公式: 一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式:
-b± b2-4ac (b2-4ac≥0). x= 2a

4.简单的高次方程、二次根式方程的概念、解法:

(1)高次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数大
于2的整式方程. (2)无理方程:根号内含有未知数的方程.

(3)解高次方程的思想是“降次”,即把高次方程通过因式分
解、换元等方法转化为一元一次方程或一元二次方程. (4)解无理方程的思想是通过方程左右两边平方、换元等方法

去根号转化为整式方程,要注意验根,舍去增根.

5.二元二次方程组的概念及解法:

(1)二元二次方程组:由一个二元一次方程和一个二元二次方
程所组成的方程组或由两个二元二次方程组成的方程组叫做 二元二次方程组.

(2)解二元二次方程组的思想是“消元”,即把多元通过加减、
代入、换元等方法转化为一元方程来解,或“降次”利用因 式分解转化为二元一次方程组或一元一次方程来解.

[难点正本 疑点清源]
1.正确理解并掌握一元二次方程的概念 识别一元二次方程必须抓住三个条件: (1)整式方程;(2)含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2. 满足上述三个条件的方程才是一元二次方程,不满足其中任何一 个条件的方程都不是一元二次方程,即三个条件缺一不可. 在确定方程各项系数时,应把一元二次方程化成一般形式, 指明各项系数时不要漏掉前面的符号.一元二次方程的一般形式 不是唯一的,但习惯上把二次项系数化为正整数.

2.正确使用各种方法解一元二次方程 一元二次方程的解法有四种,在解方程时,要注意灵活选

择.直接开平方法、因式分解法只适用于特殊形式的方程;而公
式法则是最普遍的方法;配方法用的不多,一般根据方程的特征 灵活运用.

解一元二次方程要根据方程的特点,选择合适的方法解题,但
一般顺序为:直接开平方法→因式分解法→公式法,一般没有特 别要求的不用配方法.

用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义;
因式分解法解方程的依据是:若ab=0,则a=0,或b=0,方程的 右边一定要化为0,才能用因式分解法求解.

运用公式法之前一定要确认两点:其一,该方程是一元二 次方程,其二,方程的判别式非

负,满足这两点即可使用求 根公式. 配方法是一种重要的数学方法,它既是恒等变形的重要手 段,又是研究相等关系、讨论不等关系的常用方法,在配方 前,先将二次项系数a提出来,使括号中的二次项系数化为1, 然后通过配方分离出一个完全平方式.

基础自测
1.(2011· 嘉兴)一元二次方程x(x-1)=0的解是( C ) A.x=0 B.x=1 C.x=0或x=1 D.x=0或x=-1

解析:x(x-1)=0,x=0或x-1=0,即x=0或x=1.

2.(2011· 南充)方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( D ) A.2 B.3 C.-1,2 D.-1,3

解析:(x+1)(x-2)=x+1, (x+1)(x-2)-(x+1)=0, (x+1)(x-3)=0. ∴x1=-1,x2=3.

3.(2011· 江西)已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根,则方程 的另一个根是( C ) A.1 C.-2 B.2 D.-1

解析:当x=1时,1+b-2=0,b=1.
∴x2+x-2=0,x1=1,x2=-2,另一个根是-2.

4.(2011· 大理)三角形的两边长分别是3和6,第三边的长是方程 x2-6x+8=0的一个根,则这个三角形的周长是( C ) A.9 C.13 B.11 D.11或13

解析:方程x2-6x+8=0的根为x=2或4,而第三边3<x<9,
故x=4,三角形周长为3+6+4=13.

5.(2011· 武汉)若x1,x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根, 则x1x2的值是( B ) A.4 C.-4 B.3 D.-3

解析:方程x2+4x+3=0,x1=-1,x2=-3,
所以x1x2=(-1)×(-3)=3.

3 (或根据根与系数的关系直接得出x1x2= =3.) 1

题型分类 深度剖析
题型一 一元二次方程的解法
【例 1】 解下列方程: (1)3x2-75=0

解:3x2-75=0,x2=25,x=±5,x1=5,x2=-5.
(2)x(x+5)=24 解:x(x+5)=24,x2+5x-24=0,x1=-8,x2=3.

(3)(y+3)(1-3y)=1+2y2 解:(y+3)(1-3y)=1+2y2,y-3y2+3-9y=1+2y2, ∴5y2+8y-2=0,y= -8± 104= -4± 26, ∴y1= -4+ 26 ,y2=
5

2×5 -4- 26. 5

5

(4)(3x+5)2-5(3x+5)+4=0 解:(3x+5)2-5(3x+5)+4=0, (3x+5-1)(3x+5-4)=0, (3x+4)(3x+1)=0, 3x+4=0或3x+1=0, 4 1 ∴x1=- ,x2=- . 3 3

(5)(1997-x)2+(x-1996)2=1
解:解法一:(1997-x)2+(x-1996)2-1=0, (1997-x)2+(x-1997)(x-1995)=0,

(x-1997)[(x-1997)+(x-1995)]=0,
2(x-1997)(x-1996)=0, x1=1997,x2=1996. 解法二:因为(1997-x)2+(x-1996)2 =[(1997-x)+(x-1996)]2-2(1997-x)(x-1996), 所以原方程可化为:1-2(1997-x)(x-1996)=1, 2(1997-x)(x-1996)=0, x1=1997,x2=1996.

探究提高 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题, 但一般顺序为:直接开平方法→因式分解法→公式法.一般 没有特别要求的不用配方法. 知能迁移1 解方程:

(1)(2x-1)2=9(用直接开平方法); 解:(2x-1)2=9,2x-1=±3, 1± 3 ∴x=

,x1=2,x2=-1. 2

(2)x2+3x-4=0(用配方法);

解:x2+3x-4=0,x2+3x=4, 2+3x+ 9 =4+ 9 ,(x+ 3 )2= 25, x 4 4 4 2 3 5 3 5 x+ =± ,x=- ± , 2 2 2 2 ∴x1=1,x2=-4.
(3)x2-2x-8=0(用因式分解法);

解:x2-2x-8=0,(x-4)(x+2)=0,
x-4=0或x+2=0, x1=4,x2=-2.

(4)x(x+1)+2(x-1)=0. 解:x(x+1)+2(x-1)=0,x2+x+2x-2=0,
-3± 17 . 2×1 -3- 17 ∴x1= ,x2= -3+ 17 . 2 2

x2+3x-2=0,x=

题型二

配方法

【例 2】 试说明:代数式2x2-x+3的值不小于 23. 8 解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢! 解:2x2-x+3=2(x2 - 1 x)+3 2 =2[x2- 1 x+( 1 )2-( 1)2]+3 2 4 4 =2[(x- 1 )2- 1 ]+3 4 16 =2(x- 1 )2- 1+3=2(x-1 )2 + 23 . 8 4 4 8 ∵不论x取何实数,2(x- 1)2 ≥0, 4 1 2 23 23 ∴2(x- ) + ≥ . 4 8 8 23 2-x+3的值不小于 即代数式2x . 8

探究提高

配方法是一种重要的数学方法,它既是恒等变形的重要手段,
又是研究相等关系,讨论不等关系的常用方法,在配方前,先 将二次项系数2提出来,使括号中的二次项系数化为1,然后通

过配方分离出一个完全平方式.

知能迁移2

对于二次二项式x2-10x+36,小聪同学作出如下结

论:无论x取什么实数,它的值都不可能等于11,你是否同意他
的说法?说明你的理由. 解:不同意小聪的说法. 理由如下:x2-10x+36=x2-10x+25+11=(x-5)2+11≥11, 当x=5时,x2-10x+36有最小值11.

题型三

应用方程根的定义解题

【例 3】(1)(2012· 绵阳)若实数m是方程x2- 10 x+1=0的一个根, 则m4+m-4=________. 62 解析: ∵x=m, ∴m2- 10 m+1=0, 1 ∴m2+1= 10m,m+ = 10 , m 1 1 两边平方,得m2+2+ 2 =10,m2+ 2=8, m m 再平方,得m4+2+ 14=64,m4+ 14 =62, m m 即m4+m-4=62.

(2)已知a是方程x2-2009x+1=0的一个根,试求a2-2008a + 2009 值. a2+1 解:∵x=a,∴a2-2009a+1=0,

∴a2-2008a=a-1,a2+1=2009a, 2009 = 2009 =1 . a2+1 2009a a 1 a2-a+1 ?a2+1?-a ∴原式=a-1+ = = a a a = 2009a-a = 2008a =2008. a a

探究提高

1.利用方程根的概念,将方程的根代入原方程,再解关于
待定系数的方程,就可以求出待定系数的值. 2.采用整体的思想方法,结合一元二次方程根的定义及分

式加减运算的法则可得(2)中代数式的值.

知能迁移3

(1)已知方程x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另

一个根及k的值; 解:∵x=2,∴4+2k-6=0,2k=2,k=1.

∴x2+x-6=0,x1=2,x2=-3.
∴方程的另一个根是-3,k=1.

(2)已知关于x的二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解 是正数,且也是方程(x+4)2-52=3x的解.你能

求出m和n的 值吗? 解:(x+4)2-52=3x,x2+5x-36=0,x1=4,x2=-9, ∴x2+mx+n=0的两根是2和4,
?4+2m+n=0, ?2m+n=-4, ? 即? ?16+4m+n=0, ?4m+n=-16, ?m=-6, 解得 ? ?n=8.

(3)(2012· 广州)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有两
ab2 个相等的实数根,求 的值. 2 2 ?a-2? +b -4

分析:对于(3),由于这个方程有两个相等的实数根,因此△=b2
ab2 -4a=0,可得出a、b之间的关系,然后将 化简 2 2 ?a-2? +b -4 后,用含b的代数式表示a,即可求出这个分式的值.

解:∵ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根,
∴△=b2-4ac=0,即b2-4a=0,b2=4a.
ab2 ab2 ab2 ab2 . ∴ = 2 = 2 = 2 2 2 2 2 ?a-2? +b -4 a -4a+4+b -4 a -4a+b a 2 2 ab= b= 4a ∵a≠0,∴ 2 =4. a a a

题型四

与几何问题的综合

【例 4】已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x +3=0的解,求这个三角形的周长. 解:解方程x2-4x+3=0得x1=1,x2=3.

又三角形的第三边a的范围是2<a<6,
∴x=3,∴三角形的周长=2+4+3=9. 探究提高

这道题将构成三角形的条件“三角形任何两边之和大于第三
边”与一元二次方程的解结合在一起,并考查了分类讨论的思 想.

知能迁移4

已知等腰三角形底边长8,腰长是方程x2-9x+20=0

的一个根,求这个等腰三角形的腰长. 解:解方程x2-9x+20=0,x1=4,x2=5, 当腰长x=4时,4+4=8,不合题意,舍去, ∴腰长x=5.

答题规范
3.解一元二次方程“失根”现象评析
考题再现 1.解方程:3x(x+2)=5(x+2).

2.解方程:9x2+6x+1=9.
3.解方程:x2-2x+1=0.

学生作答 1.解:3x(x+2)=5(x+2), 两边同时除以(x+2)得,3x=5,∴x=5 . 3 2.解:9x2+6x+1=9,

左边因式分解,得(3x+1)2=9.
2 两边开平方,得3x+1=3. ∴x= . 3

3.解:x2-2x+1=0,

配方,得(x-1)2=0,
两边开平方,得x-1=0,∴x=1.

规范解答 1.解:3x(x+2)=5(x+2), 3x(x+2)-5(x+2)=0,(x+2)(3x-5)=0, ∴x+2=0或3x-5=0, ∴x1=-2,x2= 5 . 3 2.解:9x2+6x+1=9, 左边因式分解得(3x+1)2=9. 两边开平方,得3x+1=±3. 即3x+1=3或3x+1=-3. ∴x1= 2 ,x2=- 4 . 3 3

3.解:x2-2x+1=0,

配方,得(x-1)2=0,
两边开平方,得x-1=0. ∴x1=x2=1.

老师忠告
1.解方程3x(x+2)=5(x+2)时,方程两边同时除以含x的代数式 破坏了方程的同解性,遗失了一个根x=-2;解方程9x2+6x

+1=9,在开平方时,由于只取了一个算术平方根,这样就把
未知数的取值范围缩小了,遗失了一个根;解方程x2-2x+1 =0时,解得的结果应写成x1=x2=1.

2.

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式表明,在△=b2
-4ac≥0时,有两个实数根,即△>0时有两个不相等的实数根, △=0时有两个相等的实数根.但在解题过程中,往往出现只

有一个根的现象,这就表明遗失了一个根.
3.规范解答,理解一元二次方程的解法:直接开平方法、配方法、 因式分解法、求根公式法的规范步骤,才能避免失根.

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.

关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b=0时,方程有 两个不相等的实数根的条件是“a、c异号”.用因式分解法解 这个方程ax2+c=0时,只有当a、c异号,二次式ax2+c才是可 以分解的;用开平方法解这个方程x2=- c ,只有当a、c异号 a c 才有两个互为相反数的平方根.因此一元二次方 时,正数- a 2+bx+c=0(a≠0)根的判别式b2-4ac,在a、c异号时,b2 程ax -4ac>0,方程一定有两个不相等的实数根.

2. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).

(1)当b=0,c≠0时,只考虑开平方法,x2=- c ,x=± a 其中a、c异号;

c , -a

(2)当c=0,b≠0时,用因式分解法(提取公因式x),x1=0,x2=- ; b (3)当b≠0,c≠0时,考虑因式分解(十字分解)法,或利用公式法. a 在进行以上思考前,使a为正;把a、b、c都整理为整数;约去a、 b、c的公因数.

3. 解好利用“根的判别式”为工具的有关问题.当给出了根 的情况的结论,求a、b、c中所含字母的取值或取值范围, 先求出并化简根的判别式△的表达式,然后根据所给的结 论,以△≥0或△<0或△>0或△=0,再解所得的不等式或 方程.

失误与防范

1. 对于最高次项系数含有参数的方程,这并不能断定该方程即为
一元二次方程,解题时要分一元一次方程和一元二次方程加以 讨论.对于二次项系数含有参数的方程,题设已交代了是一元

二次方程,不能忽视二次项的系数应为非零实数,这是个隐含
条件,最易被忽视.任何一个关于x的一元二次方程中有一个 隐含条件:即二次项系数a≠0.

2. 正确理解“方程有实根”的含义.方程有一个实数根或有两个
实数根:如有一个实数根则原方程为一元一次方程;若有两个 实数根则原方程为一元二次方程.在解题时,要特别注意“方 程有实数根”、“有两个实数根”等关键文字,要挖掘出它们 的隐含条件,以免陷入关键字的“陷阱”.

3. 在运用直接开平方法求一元二次方程的解时,容易出现将平
方根和算术平方根混淆的错误,使得在解题时出现失根的现 象.例如将x2-9=0变形为x2=9后,根据平方根的意义得

到方程的根应该是x=±3,而非x=3.
用因式分解法解方程时,含有未知数的

式子可能为零,所以 在解方程时,不能在两边同时除以含有未知数的式子,以免

丢根,需通过移项的方式,将方程右边化为0.

配方法是指通过配方,利用完全平方式,将一元二次方程左边

化成一个含有未知数的整式的平方,方程右边就是一个非负数
的形式,然后再用直接开平方法求解.因此用配方法解方程必 须注意以下几点:一是要注意配方时必须在方程的左右两边同

时加上一次项系数绝对值的一半的平方,二是要注意在配方时
所配系数必须是一次项系数的绝对值的一半的平方. 所有的一元二次方程都可以用公式法进行求解,所以一元二次

方程有无实数根,就取决于根的判别式△的值,即b2-4ac的大
小.如果b2-4ac>0,则方程有两个不相等的实数根;如果b2- 4ac=0,则方程有两个相等的实数根;如果b2-4ac<0,则方程

无实数根.

完成考点跟踪训练 7


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