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01-圆(一)P55-58

发布时间:2013-09-19 10:32:16  

第七章 圆

圆(一)

教学目标

1.使学生理解圆的定义,并能从集合的观点对圆的定义加以理解;

2.使学生掌握点和圆的位置关系,了解“?”符号的使用;

3.通过圆的有关性质的学习,培养学生观察、分析和归纳问题的能力。 教学重点和难点

用点的集合定义圆的有关概念是重点;使学生理解以点的集合定义圆所应具备的两各条件是难点。

教学过程设计

一、创设情景,引入新课

1.在小学,我们已经学过一些圆的知识,并且知道,圆不仅在几何学中占有极重要的地位,而且圆在日常生活和生产实践中有着广泛的应用。你能举例说明我们周围哪些物体是圆形的吗?

在学生回答的基础上,教师总结:实际生活中,圆形物体的例子很多。比如说:车辆的轮子是圆的,各种管道的截面是圆的,就连大多数的锅沿、碗口、盆边也都是圆的......。(教师可以示一些实物给学生看,激发学生学习兴趣)

2.介绍本章的章头图 —— 一副古代的马车图。(可用电脑或投影演示)

通过学习此图,说明我国劳动人民很早对圆就有了认识,并十分准确地描述了圆的定义。至今,人们仍然把各种车辆的轮子做成圆形的。(可放一段街道上行驶的各种车辆的录像)

3.提问:人们为什么把车轮都做成圆形的呢?

在学生回答的基础上,教师指出,这是因为圆具有一些特殊的性质,在这一章我们将系统研究:什么是圆?圆有哪些性质?(板书课题)

二、描述圆的发生过程,给出圆的定义

1.如何用圆规画出一个圆?

回忆小学学过的画圆方法,教师在黑板上画圆,学生在下边画。

2.要在操场上画上一个半径为5米的大圆,如何画呢?

让学生动脑筋想办法。如可一根长5米的绳子,固定其一个端点,拉直绳子,绕着固定的一端旋转一周,就可画出要求的圆。

3.从实践活动中导出圆的定义。

首先,提问学生:以上两种画圆的过程,有何共同点?

答:都是在一个平面内,固定线段的一端,另一个端点随着

线段旋转一周,形成一个圆。 A然后,启发学生用数学语言描述圆的定义,最后教师归纳小

结什么是圆,并板书圆的定义:

在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,

í? 7£-1另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做

圆心,线段OA叫做半径,以点O为圆心的圆,记作⊙O,读作

“圆O”。

1

结合圆的定义,师生共同讨论以下几个问题:(先由学生回答)

(1)篮球是圆的吗?太阳是圆的吗?

指出:圆必须是“在同一个平面内”。

(2)以3厘米为半径画圆,能画出几个圆?为什么?

无数个,圆心不固定。

(3)以点O为圆心画圆,能画几个圆?为什么?

无数个,半径不定。

强调:圆心是确定圆的位置的,半径是确定一个圆的大小的;一个圆的圆心是唯一的,半径长度是确定的,二者缺一不可;圆是一条封闭的曲线,即是“圆周”而不是“圆面”。

(4)在圆的定义中,为什么要强调“另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆”?不是端点行吗?

强调端点意在说明:圆上各点到圆心O(定点)的距离都等于线段OA的长(定长)。如果不是“定长”,就可能得到一个别的圆形。

(5)反过来,平面内所有到点O的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗?

都在圆上。(可举反例说明,如图7-2所示的图形都不是圆)

通过(4)、(5)的讨论,师生共同总结出:

(i)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r)。

(ii)到定点的距离等于定长的点都在圆上。

以上两点体现了“纯粹性”和“完备性”的思想,是圆的本质属性。

于是可用集合的概念给出圆的定义: 图7-2 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

4.由于平面内的一个圆,把平面内所有的点分成三类,即圆上的点、圆内的点和圆外的点。引导学生进一步观察圆内各点和圆外各点的情况(图7-3),由学生类比圆的定义,用集合的思想定义圆的内部和圆的外部: 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合;

圆的外部可以看作是到圆新的距离大于半径的点的集合。

5.从圆、圆的内部和圆的外部的定义可以看出,圆上、

圆内、圆外这三类点分类的条件是由一个点到圆心的距离与半

径的大小关系——相等、小于或大于而决定的,也就是说,点

? 7£í-3和圆的位置关系与点到圆心的距离的数量关系是相互对应的,

这种对应关系启发学生自己得出:

如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则:

点在圆上?d = r; 点在圆内?d < r;

点在圆外?d > r;

三、例题分析,变式练习 例1 求证:矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同

一个圆上。 ? 7£í-

4首先引导学生搞清楚题目中的已知和求证,并画出圆形。

结合图形一步分析:

要证A,B,C,D四点在以对角线的交点O为圆心的圆上,只须证明A,B,C,D四个点与点O的距离相等。即证OA=OB=OC=OD。由矩形对角线的性质,很容易证得。

证明:(学生口述,教师板书)

为了证明的书写方便,可先用“因为、所以”的形式写出证明过程,然后给同学们介绍

2

一种新的符号“?”,读作“推出”。

练习 1 求证:菱形各边的中点在同一个圆上。

(先由学生回答证明思路,后由一名学生板演,要求用“?”符号)

练习 2 填空:(投影打出)

已知⊙O的半径r=5厘米,A为线段OP的中点,当OP=6厘米时,点A在⊙O____;当OP=10厘米时,点A在⊙O____;当OP=14厘米时,点A在⊙O____。

(学生回答,目的是使学生初步掌握点与圆的三种位置关系)

练习 3 设AB=3厘米,画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形。

(1)和点A的距离等于2厘米的点的集合;

(2)和点B的距离等于2厘米的点的集合;

(3)和点A,B的距离都等于2厘米的点的集合;

(4)和点A,B的距离都小于2厘米的点的集合。

(此题采取边画图边解答的方式进行,师生共同完

成,目的使学生初步掌握几何图形与点的集合之间的对

应关系。图7-5

四、课堂小结 ? 7£í-5

问:这节课学习的主要内容是什么?在学习时应注

意哪些问题?

在学生回答的基础上,教师小结:

1.这节课主要学习了圆的两种不同的定义方法以及点与圆的三种位置关系;

2.点的集合定义圆时,必须注意应具备两个条件,二者缺一不可。

五、作业

课本P82习题7.1.A组 1(1)(2),2,3,4。

板书设计 ×?

课堂教学设计说明

这份教案为1课时

在小学,学生接触过圆,对圆已有了一定的认识,并且已经学习过如何用圆规画圆。因此,本节课采用从画圆入手,引导学生发现圆的形成过程,给出圆的定义。但是如果学生对圆的 认识只停留在这个水平上,是很不够的,不便于应用,于是根据课本要求进一步从集合的角度给圆下定义。对于证明点在圆上等问题也就容易解决了。

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