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2013年中考数学复习 第九章探索型与开放型问题 第42课 方案设计型问题课件

发布时间:2013-09-19 10:32:16  

第42课 方案设计型问题

要点梳理
方案设计型问题是设置一个实际问题的情景,给出若干信息, 提出解决问题的要求,寻求恰当的解决方案,有时还给出几个不同 的解决方案,要求判断其中哪个方案最优,方案设计型问题主要考 查学生的动手操作能力和实践能力.方案设计型问题,主要有以下 几种类型: 1.讨论材料,合理猜想——设置一段讨论材料,让考生进行 科学的判断、推理、证明; 2.画图设计,动手操作——给出图形和若干信息,让考生按 要求对图形进行分割或设计美观的图案; 3.设计方案,比较择优——给出问题情境,提出要求,让考 生寻求最佳解决方案.

[难点正本 疑点清源]
1.方案设计型问题对解题的要求

方案设计题,它要求学生根据题意设计符合条件的方案,或
对已知方案进行评判,涉及到的知识点主要有函数思想、分类 讨论的思想、统计与概率、锐角三角函数、方程(组)或不等式 (组)的应用以及图形变换等,对学生的能力要求较高,符合新 课标的理念.

2.方案设计型问题的解题策略

在解答方案设计型考题时,关键是将实际问题转化为数学模
型,并且要求将求出的不同结果再转化为具有现实意义的各种 方案进行选择,方案设计问题的解答是多样的,需从不同的结

论中选择最佳方案.

基础自测
1.(2012· 大兴安岭)现有球迷150人欲同时租用A、B、C三种型号
客车去观看世界杯足球赛,其中A、B、C三种型号客车载客量 分别为50人、30人、10人,要求每辆车必须满载,其中A型客

车最多租两辆,则球迷们一次性到达赛场的租车方案有( B )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种

解析:分类讨论:当A租用一辆时,有3种方案;当A租用2辆时,

有1种方案,所以共有4种租车方案.

2.如图,正方形硬纸片ABCD的边长是4,点E、F分别是AB、 BC的中点,若沿左图中的虚线剪开,拼成如下右图的一座 “小别墅”,则图中阴影部分的面积是( B A.2 C.8 B.4 D.10 )

解析:阴影部分是正方形 1 1 面积的 , ×42=4. 4 4

3.在4×4的正方形网格中,已将图中的四个小正方形涂上阴影 (如图),若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影,使得 整个阴影部分组成的图形成轴对称图形,那么符合条件的小 正方形共有( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析:如图,符合条件的小正方形有3个.

4.小明家春天粉刷房间,雇用了5个工人,每人每天做8小时,做 了10天完成;用了某种涂料150升,费用为4800元;粉刷的面 积是150 m2.最后结算工钱时,有以下几种方案:①按工算, 每个工60元(1个工人干1天是一个工);②按涂料费用算,涂料 费用的60%作为工钱

;③按粉刷面积算,每平方米付工钱24元; ④按每人每小时付工钱8元计算.你认为付钱最划算的方案是 ( )B A.① B.② C.③ D.④

解析:方案①:5×10×60=3000(元); 方案②:4800×60%=2880(元); 方案③:150×24=3600(元); 方案④:5×8×10×8=3200(元). 所以方案②最省钱,选B.

5.(2012· 晋江)如图,将一张正方形纸片剪成四个小正方形,得 到4个小正方形,称为第一次操作;然后,将其中的一个正 方形再剪成四个小正方形,共得到7个小正方形,称为第二 次操作;再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形,共得 到10个小正方形,称为第三次操作;……;根据以上操作, 若要得到2011个小正方形,则需要操作的次数是( B A.669 B.670 C.671 D.672 )

解析:设操作了n次,有(3n+1)个小正方形, 所以3n+1=2011, ∴3n=2012,n=670,应选B.

题型分类 深度剖析
题型一 通过计算比较进行方案设计

【例 1】 某学校举行演讲比赛,选出了10名同学担任评委,并事
先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最 后得分(满分为10分):

方案1:所有评委所给分的平均数;
方案2:在所有评委所给分中,去掉一个最高分和一个最低分, 然后再计算其余给分的平均数;

方案3:所有评委所给分的中位数;
方案4:所有评委所给分的众数.

为了探究上述方案的合理性,先对某个同学的演讲成绩进行了统 计实验.下面是这个同学的得分统计图:

(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分; (2)根据(1)中的结果,请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这 个同学演讲的最后得分.

解:(1)方案1最后得分: 1 ×(3.2+7.0+7.8+3×8+3×8.4+9.8)=7.7; 10 方案2最后得分: 1×(7.0+7.8+3×8+3×8.4)=8; 8 方案3最后得分:8;
方案4最后得分:8或8.4. (2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响,不能反映这组数 据的“平均水平”,所以方案1不适合作为最后得分的方案;又 因为方案4中的众数有两个,从而使众数失去了实际意义,所以

方案4不适合作为最后得分的方案.
探究提高 通过计算得出各个方案的数值,逐一比较.

知能迁移1

某通讯器材商场,计划用60000元从厂家购进若干

部新型手机,以满足市场需求.已知该厂家生产三种不同型
号的手机,出厂价分别为:甲种型号手机每部1800元,乙种 型号手机每部600元,丙种型号手机每部1200元.

(1)若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部,并将
60000元恰好用完,请你帮助商场计算一下应如何购买; (2)若商场同时购进三种不同型号的手机共40部,并将60000元 恰好用完,并且要求乙种型号手机的购

买数量不少于6部且不 多于8部,请你求出商场每种型号手机的购买数量.

解:(1)①设商场同时购进甲种型号手机x台,乙种型号手机(40-x) 台.则1800x+600(40-x)=60000, 解之,得x=30,∴40-x=10. ∴商场同时购进甲种型号手机30台,乙种型号手机10台. ②设商场同时购进甲种型号手机y台,丙种型号手机(40-y)台, 则1800y+1200(40-y)=60000,

解之,得y=20,∴40-y=20.
∴商场同时购进甲种型号手机20台,丙种型号手机20台. ③设商场同时购进乙种型号手机z台,丙种型号手机(40-z)台,

则600z+1200(40-z)=60000,
解之,得z=-20,不合题意,舍去.

(2)设商场购进甲种型号手机a台,乙种型号手机6台,则丙种型号
手机(34-a)台,则1800a+6×600+1200(34-a)=60000, 解之,得a=26.

∴商场同时购进甲种型号手机26台,乙种型号手机6台,丙种
型号手机8台. 同样地,有1800b+7×600+1200(33-b)=60000,

解之,得b=27.
∴商场同时购进甲种型号手机27台,乙种型号手机7台,丙种 型号手机6台.

又有1800c+8×600+1200(32-c)=60000,
解之,得c=28. ∴商场同时购进甲种型号手机28台,乙种型号手机8台,丙种 型号手机4台.

题型二

利用方程(组)进行方案设计

【例 2】 “爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市,两 厂原来每周生产帐篷共9千顶,现某地震灾区急需帐篷14千顶,

该集团决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加
点,总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、 1.5倍,恰好按时完成了这项任务.

(1)在赶制帐篷的一周内,总厂和分厂各生产帐篷多少千顶?

(2)现要将这些帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A、B两地, 由于两市通往A、B两地道路的路况不同,卡车的运载量也不 同.已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数 如下表:
A地
每千顶帐篷 所需车辆数 甲市 乙市 4 3 9

B地
7 5 5

所急需帐篷数(单位:千顶)

请设计一种运送方案,使所需的车辆总数最少.说明理由,并
求出最少车辆总数.

解:(1)设总厂原来每周制作帐篷x千项,分厂原来每周制作帐
篷y千顶,则
?x+y=9, ? ? ?1.6x+1.5y=14, ? ?x=5, ? 解之,得? ?y=4. ?

∴1.6x=8, 1.5y=6. 答:在赶制帐篷的一周内,总厂、分厂各生产帐篷8千顶、 6千顶.

(2)设从总厂(甲市)调配m千顶帐篷到灾区的A地,则总厂调配到灾区 B地的帐篷为(8-m)千顶,分厂(乙市)调配到灾区A、B两地的帐 篷分别为(9-m)千顶、(m-3)千顶,并设甲、乙两市所需运送帐 篷的车辆总数为n辆. 由题意,得n=4m+7(8-m)+3(9-m)+5(m-3) =-m+68(3≤m≤8), ∵k

=-1<0,∴n随m的增大而减小. ∴当m=8时,n有最小值60. 答:从总厂运送到灾区A地帐逢8千顶,从分厂运送到灾区A、B 两地帐篷分别为1千顶、5千顶时,所用车辆最少,最少车辆为60 辆. 探究提高 认真审题,设未知数,通过列方程(组)来解答.

知能迁移2

(2011· 河南)某旅行社在暑假期间面向学生推出“林州
人数m 0<m≤100
90

红旗渠一日游”活动,收费标准如下:
100<m≤200
85

m>200
75

收费标准(元/人)

甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲 校报名参加的学生人数多于100人,乙校报名参加的学生人数少

于100人.经核算,若两校分别组团共需花费20800元,若两校
联合组团只需花费18000元. (1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗?说明

理由;
(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?

解:(1)设两校人数之和为a.

若a>200,则a=18000÷75=240.
若100<a≤200,则a=18000÷85=211 13 ,不合题意. 17 所以这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人,

超过200人.

(2)设甲学校报名参加旅游的学生有x人,乙学校报名参加旅游 的学生有y人,则 ①当100<x≤200时,得 解得
?x=160, ? ? ?y=80. ?

?x+y=240, ? ? ?85x+90y=20800, ?

?x=53 , ? 3 此解不合题意,舍去. 解得 ? ?y=1862. 3 ?
游的学生有80人.

?x+y=240, ②当x>200时,得? ? ?75x+90y=20800, ? 1

∴甲学校报名参加旅游的学生有160人,乙学校报名参加旅

题型三

利用不等式(组)进行方案设计

【例 3】 (2009· 河南)某家电商场计划用32400元购进“家电下乡” 指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台.三种家电的进价

和售价如下表所示:
价格

进价(元/台)
种类 电视机 冰箱 2000 2400

售价(元/台)
2100 2500

洗衣机

1600

1700

(1)在不超出现有资金的前提下,若购进电视机的数量和冰箱的 数量相同,洗衣机数量不大于电视机数量的一半,商场有哪几 种进货方案?

(2)国家规定:农民购买家电后,可根据商场售价的13%领取补

贴.在(1)的条件下,如果这15台家电全部销售给农民,国家财
政最多需补贴农民多少元? >> 解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢!

解:(1)设购进电视机、冰箱各x台,则洗衣机为(15-2x)台. ?15-2x≤1x, ? 2 则? [4分] ?2000x+2400x+1600?15-2x?≤32400, ? 解这个不等式组,得6≤x≤7.
∵x为整数,∴x=6或7. 方案1:购进电视机和冰箱各6台,洗衣机3台; 方案2:购进电视机和冰箱各7台,洗衣机1台. [6分] [5分]

(2)方案1需补贴:(6×2100+6×2500+3×1700)×13%=4251(元);
[7分] 方案2需补贴:(7×2100+7×2500+1×170

0)×13%=4407(元).

[8分]
答:国家财政最多补贴农民4407元.

探究提高
生活中经常会遇到用不等式组求最佳方案的问题,如问题中 涉及到“最低”、“最高”等问题,就可以利用不等(组)来处理.

知能迁移3

(2009· 湖州)随着人民生活水平的不断提高,我市家庭

轿车的拥有量逐年增加.据统计,某小区2006年底拥有家庭轿 车64辆,2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.

(1)若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长
率都相同,求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆? (2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资15万元再建造若干个停

车位.据测算,建造费用分别为室内车位5000元/个,露天车位
1000元/个,考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内 车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,求该小区最多可建两

种车位各多少个?试写出所有可能的方案.

解:(1)设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x, 则64(1+x)2=100, 1 解之,得x1= =25%,x2=- 9 (不合题意,舍去), 4 4 ∴100×(1+25%)=125. 答:该小区到2009年底家庭轿车将达到125辆.

(2)设该小区可建室内车位a个,露天车位b个,则:
?0.5a+0.1b=15,① ? ? ?2a≤b≤2.5a,② ?

由①,得b=150-5a.③ 把③代入②,得2a≤150-5a≤2.5a, 解之,得20≤a≤21 . 3 7 ∴整数a=20或21. 当a=20时,b=150-5×20=50; 当a=21时,b=150-5×21=45. ∴方案一:建室内车位20个,露天车位50个; 方案二:建室内车位21个,露天车45个.

题型四

利用函数进行方案设计

【例 4】 (2009· 抚顺)某食品加工厂,准备研制加工两种口味的核
桃巧克力,即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力.现有主要原 料可可粉410克,核桃粉520克.计划利用这两种主要原料,研

制加工上述两种口味的巧克力共50块.加工一块原味核桃巧克
力需可可粉13克,核桃粉4克;加工一块益智核桃巧克力需可可 粉5克,核桃粉14克.加工一块原味核桃巧克力的成本是1.2元,

加工一块益智核桃巧克力的成本是2元.设这次研制加工的原味
核桃巧克力x块. (1)求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案? (2)设加工两种巧克力的总成本为y元,求y与x的函数关系式,并 说明哪种加工方案使总成本最低?总成本最低是多少元?

解:(1)由题意,得 ?13x+5?50-x?≤410,① ? ?4x+14?50-x?≤520,② ?
由①得,x≤20,由②得,x≥18,∴18≤x≤20. ∴整数x=18, 19, 20. 当x=18时,50-x=32; 当x=19时,50-x=31; 当x=20时,50-x=30. ∴一共有三种方案: 方案1:加工原味核桃巧克力18块,益智巧克力32块; 方案2:加工原味核桃巧克力19块,

益智巧克力31块; 方案3:加工原味核桃巧克力20块,益智巧克力30块.

?

(2)y=1.2x+2(50-x)=-0.8x+100.

∵k=-0.8<0,
∴y随x的增大而减小, ∴当x=20时,y有最小值84.

答:当加工原味核桃巧克力20块,加工益智巧克力30块时,
总成本最低,最低总成本是84元. 探究提高 仔细审题,理解问题情境中的等量关系,并根据等量关系列 出函数解析式,由函数的性质来确定问题的答案.

知能迁移4

某市的A县和B县春季育苗,急需化肥分别为90吨和

60吨,该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨,全部调配 给A县和B县,已知C、D两县运化肥到A、B两县的运费(元/吨)。

如下表所示:
出发地
运费 目的地 C D

A
B

35
30

40
45

(1)设C县运到A县的化肥为x吨,求总运费W(元)与x(吨)的函数
关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)求最低总运费,并说明运费最低时的运送方案.

解:(1)列表如下:
出发地
目的地 A B C x 100-x D 90-x x-40

∴W=35x+40(90-x)+30(100-x)+45(x-40) =35x+3600-40x+3000-30x+45x-1800 =10x+4800.

?x≥0, ? ∵ ?90-x≥0, ∴40≤x≤90. ? ?100-x≥0, ?x-40≥0, ?

(2)∵W=10x+4800,
又k=10>0,W随x的增大而增大, ∴当x=40时,W最小值=400+4800=5200. 方案如下:
出发地
目的地 A B C 40 60 D 50 0

易错警示
30.实际问题中变量往往有其特定的性质或取值范围
试题 某工厂现有甲种原料360 kg,乙种原料290 kg,计划利用 这两种原料生产A、B两种产品50件.生产一件A产品需要甲种

原料9 kg,乙种原料3 kg,可获得利润700元;生产一件B产品
需要甲种原料4 kg,乙种原料10 kg,可获得利润1200元. (1)按要求安排A、B两种产品的生产,有哪几种方案?

(2)设A、B两种产品获得的总利润为y元,其中A产品的生产件
数为x,试写出y与x之间的函数关系,并利用函数的性质说明 (1)中哪种生产方案获得的总利润最大,最大利润是多少?

学生答案展示
解:设安排生产A种产品x件,则生产B种产品为(50-x)件, 因此安排生产的方案的条件为,
?9x+4?50-x?≤360, ? ? ?3x+10?50-x?≤290, ?

由此可解得30≤x≤32. 因为x有无穷多个取值,所以生产方案不能确定.

剖析

在解不等式应用题时,必须注意每一个变量的实际意义,

因为这些变量的实际意义本身就确定了它们的取值范围.本 题中解答出错原因就是没有考虑在实际问题中,x作为产品件

数,只能取整数30、31、32,不能是非整数解,所以A、B两
种产品的生产方案应该有三种,而不是无解.

正解 解:(1)设安排生产A产品x件,则生产B产品(50-x)件,因此安 ?9x+4?50-x?≤360, ? 排生产方案的条件为

? ?3x+10?50-x?≤290, ? 因此可解得30≤x≤32. 又因为x只能为整数,所以x可取30、31、32, 所以A、B两种产品的生产方案有三种: ①A产品30件,B产品20件; ②A产品31件,B产品19件; ③A产品32件,B产品18件.

(2)在每种确定的生产方案下,所获最大利润为 y=700x+1200(50-x)=-500x+60000, y随x的增大而减小, 因此,当x=30时,y取最大值, 即生产A产品30件,B产品20件时, 利润最大,最大值为45000元. 批阅笔记 建立方程或不等式模型,所求得的变量的值需要满足生产、

生活的实际要求,或者根据这些变量的实际意义确定变量的值
或取值范围,从而求得问题的解.

思想方法 感悟提高
方法与技巧 1. 方程或不等式解决方案设计问题:首先要了解问题取材的 生活背景;其次要弄清题意,根据题意建构恰当的方程模型或 不等式模型,求出所求未知数的取值范围;最后再结合实际问 题确定方案设计的种数. 2. 择优型方案设计问题:这类问题一般方案已经给出,要求 综合运用数学知识比较确定哪种方案合理的问题.此类问题要 注意两点:一是要符合问题描述的要求,二是要具有代表性.

3. 动手操作型方案设计问题:大体可分为三类,即图案设 计类、图形拼接类、图形分割类等.对于图案设计类,一般 运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决;对于图形 拼接类,关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在 关系,然后逐一组合;对于图形分割类,一般遵循由特殊到 一般、由简单到复杂的动手操作过程.

失误与防范 1.方程(组)、不等式(组)方案设计应用题涉及知识面广,综 合性强,所要讨论的问题大多是要求出某个变量的取值范围或 极端可能值.涉及我们日常生活的广告宣传、经济决策、文化 娱乐、商品买卖、物品分配等多个方面.解题关键是建立不等 式模型,同时注意运用方程、代数等方面的知识.

2.解决函数型方案设计问题的一般步骤是: (1)根据题意建立函数关系式; (2)根据实际意义建立方程或不等式组,求方程或不等式组的 解; (3)根据求到的解,利用函数的性质求最大、最小值. 3.利用几何知识进行方案设计,不仅要有一定的几何作图 能力,而且要能熟练的运用几何的有关性质及全等、相似、图 形变换、方程、三角函数的有关知识,并注意充分发挥分类讨 论、类比归纳、猜想验证等数学思想方法的作用.

完成考点跟踪训练 42


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