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2013年中考数学复习 第二章方程与不等式 第6课 一次方程与方程组课件

发布时间:2013-09-19 10:32:17  

第二章 方程 与不等式

第6课 一次方程与
方程组

要点梳理 1.定义: (1)含有未知数的 等式 叫做方程; 一次 一个 (2)只含有 未知数,且未知数的次数 是 ,这样的 一次 两个未知数 整式方程叫做一元一次方程; (3)将两个或两个以上的方程合在一起,就 构成了一个方程 组.总共含有 ,且未知数的次数 是 ,

2.方程的解: 相等的 能够使方程左右两边的值 未知数的值, 叫做方程的解.求方程解的过程叫做解方 程. 去分母 3.解法: 去括号 移项 合并同类项 (1)解一元一次方程主要有以下步骤: 消元 代入消元法 ; ; ;未知数的 加减消元法 ; 加减 代入 系数化为1. (2)解二元一次方程组的基本思想是 ,有 与

[难点正本 疑点清源]
1.正确掌握一元一次方程的概念以及解方程 的格式与步骤 理解一元一次方程的概念,必须注意以下三 点:(1)方程中只含有一个未知数;(2)未知数 的指数是1;(3)是整式方程. 应注意解方程的书写格式,不要把方程的变 形写成连等式,一般是一个方程写一行,每个 方程只能写一个等号.不能把它与代数式运算 相混淆. 解一元一次方程,常按照去分母、去括号、

2.灵活选用代入法或加减法解二元一次方程组 解二元一次方程组,目标是求出方程组中两 个二元一次方程的公共解,这时两个方程中同 一个未知数应取相同的值,实现这一目标的基 本思想是“消元”,这就需要正确地运用“代 入法”和“加减法”. 解二元一次方程组的方法要根据方程组的特 点灵活选择.当方程组中一个未知数的系数的 绝对值是1或一个方程的常数项为零时,用代入 法较方便;当两个方程中同一个未知数的系数 的绝对值相等或成整数倍时,用加减法较方便; 当方程组中同一个未知数的系数的绝对值不相

基础自测
1.(2011· 邵阳)请写出一个解为x=2的一元一 次方程:________. 答案:x=2,x-2=0 ,2x-3=1……,答案 B 不唯一.
?x=0, ?x=1, ?x=1, ?x=-1, ? ? ? ? ? ? ? ?y=-1 ?y=1 ?y=0 ?y=-1 ? ? ? ? 2 益阳)二元一次方程x-2y=1有无数 ? 2.(2011·

多个解,下列四组值中不是该方程的解的 是( )

?x=1, ? ? ?y=1 ?

3.(2011· 江津)已知3是关于x的方程2x- a=1的解,则a的值是( ) B A.-5 B.5 C.7 D.2

解析:∵x=3是方程的解,∴2×3-a= ?x-y=2, 1,a=5. ? 4.(2011· 肇庆)方程组 ? 的解是( D )
?2x+y=4 ?

A.

?x=1, ? ? ?y=2 ?

B.

?x=3, ? ? ?y=1 ?

C.

?x=0, ? ? ?y=-2 ?

?x=2, D. ? ? ?y=0 ?

?x=2, ? 解析:当 ? 时,x-y=2-0=2,2x+y=2×2+0=4, ?y=0

?

可知是方程组的公共解.

5.(2011· 枣庄)已知 的解, 则a-b的值为(
?x=2, ? ? ?y=1 ? ?a=2, ? ? ? ?b=3,

?x=2, ? ? ?y=1 ?

是二元一次方程组

?ax+by=7, ? ? ?ax-by=1 ?

A

A.-1 B.1 C.2 D.3 解析:把 得 代入方程组 得解之

?2a+b=7, ? ? ?2a-b=1, ?

)

所以a-b=2-3=-1.

题型分类 深度剖析 题型一 一元一次方程的解法 【例1】 解下列方程: 1 4 7

(1) x- = ;
x-1 x+2 解:5x-8=7,5x=8+7,5x=15, 2 3 ∴x=3.

2

5

10

(2)x-

=2-



1 (3)7x- 2

1 [x 2 -

(x

2 -1)]= 3

(x-1)

1? 2 1 ?1 ? x+ ? 2? 3 2 ?2 ? 解:7x- 1 ? 2 = (x-1), 2 1 3 4 4 3

7x- x- = x- ,
5 去分母,得84x-3x-3=8x 73 (4)3[2x-1-3(2x-1)]=5.

-8, 解:设y=2x-1,∴3(y-3y)=5,

84x-3x-8x=-8+3,73x ,x= 1 . -6y=5,y=- 5 ,即(2x-1)=- 5 6 12 6 =-5, ∴x=- .

探究提高 1.去括号可用分配律,注意符号,勿漏乘; 含有多重括号的,按去括号法则逐层去括号. 2.去分母,方程两边同乘各分母的最小公 倍数时,不要漏乘没有分母的项(尤其是常 数项),若分子是多项式,则要把它看成一 个整体加上括号. 3.解方程后要代回去检验是否解正确. 4.当遇到方程中反复出现相同的部分时, 可以将这个相同部分看作一个整体来进行运

5 3 知能迁移1 (1)3- 7 5 5 8 5 7 5 7

x=1 ;
7 5 49 25

解:- x= -3,- x=- ,∴x 2x-1 5x+1 = 6. 8
(2) = ;

x+2 2x-3 解:4(2x-1)=3(5x+1),8x-4= 4 6 15x+3, 8x-15x=3+4,-7x=7, ∴x=-1.

题型二 二元一次方程组的解法 【例2】 解下列方程组: ? (1)
?2x-y=7, ? ?2x+y=5. ?
?2x-y=7,① ? ? ?2x+y=5,② ?

解: ①+②,得4x=12,x=3; ①-②,得-2y=2,y=-1, ∴
?x=3, ? ? ?y=-1. ?

?x+y+x-y=6, ? 2 3 (2)? ?4?x+y?-5?x-y?=2. ?
?1 1 解:设x+y=a,x-y=b, ?a=8, ? a+ b=6, ? ?2 3 ?4a-5b=2, ?
? ?x-y=6, ? ? ?b=6. ?

则 ?x+y=8,解之,得 ?x=7, ? ?
? ?y=1. ?





探究提高 1.解二元一次方程组的方法要根据方程组 的特点灵活选择,当方程组中一个未知数的 系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时, 用代入法较方便;当两个方程中同一个未知 数的系数的绝对值相等或成整数倍时,用加 减法较方便;当方程组中同一个未知数的系 数的绝对值不相等,且不成整数倍时,把一 个(或两个)方程的两边同乘适当的数,使两 个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等, 仍然选用加减法比较简便.

知能迁移2 解方程组:

(1)(2012· 丽水)

?2x-y=3,① ? ? ?3x+y=7.② ?

?x=2, 解:解法一:①+②,得5x= ? ? ?y=1. ? 10.∴x=2. 把x=2代入①,得4-y=3.∴y= 1.

∴方程组的解是

?x=2, ? ? ?y=1. ?

?7 ?18?x+y?=1,① (2)? ?3x+7?x+y?=5. ② ?4 9

解:把①代入②,得 x+2×1= 7 7 5, x=3,
18 18 18 10 ∴x=4,把x=4代入①, 7 7 ?x=4, 得 ?(4+y)=1,4+y= , ? 10 ?y=- 7 . ?

3 4

3 4

y= -4=- ,

3y-x (3)1-6x= 2

x+2y = 3

.


3y-x x+2y 2 3 解:1-6x= = 3y-x ? ?1-6x= 2 ,①



? ?3y-x=x+2y,② 3 ? 2

? 1 ?x=7, ?11x+3y=2, ? ? ? ?x=y, ? ?y=1. ? 7

化简得



题型三 已知方程(组)解的特征,求待定系 ?x+y=5k, ? 数 ?
?x-y=9k ?

【例3】3(1)若关于x、y的二元一次方程组 4 3 4 3 4 3 的解也是 4

B

二元一次方程2x+3y=6的解,则k的值是
( ) A.- B. C. D.-

?x+y=5k, ? ? ?x-y=9k ?

?x=7k, ? ? ?y=-2k, ?

(2)已知方程组

?2x-3y=3, ? ? ?ax+by=1 ?

?3x+2y=11, ? ? ?2ax+3by=3 ?



的解相同,

求a、b的值.
?x=3, ?2x-3y=3, ? ? 解题示范——规范步骤,该得的分,一分 ? ? ?y=1. ?3x+2y=11, ? ? 不丢! ?ax+by=-1, ? ? ?x=3, ? ?y=1. ? ? ? ?2ax+3by=3, ? ?3a+b=-1, ? ?6a+3b=3, ? ?3a+b=-1, ? 解:由题意得 ? ?2a+b=1, ? ?a=-2, ? 解之得 ? ?b=5. ?

[2分]



代入



[4分]

探究提高 1.先将待定系数看成已知数,解这个方程 组,再将求得的含待定系数的解代入方程 中,便转化成一个关于k的一元一次方程. 2.几个方程(组)同解,可选择两个含已知 系数的组成二元一次方程组求得未知数的 解,然后将方程组的解代入含待定系数的 另外的方程(或方程组),解方程(或方程组) 即可.

知能迁移3 (1)已知方程组
的和为12,求n的值; ?2x+3y=n, ?
? ?3x+5y=n+2, ?

?2x+3y=n, ? ? ?3x+5y=n+2, ?

的解x、y

解:解方程组 得

?x=2n-6, ? ? ? ?y=-n+4.

又∵x+y=12, ∴(2n-6)+(-n+4)=12,n=14.

(2)当m取什么值时,方程x+2y=2,2x+y= 7,mx-y=0有 ?x+2y=2, ?x=4, ? ? 公共解; ? ?
?2x+y=7, ? ?y=-1. ?

解:∵



1 4

代入mx-y=0,得4m+1=0,m= - .

(3)已知关于x、y的二元一次方程(a-1)x+(a +2)y+5-2a=0,当a每取一个值时,就 有一个方程,而这些方程有一个公共解, 试求出这个公共解. 解:解法一:取a=1,得3y+3=0,y=- 1, 取a=-2,得-3x+9=0,x=3, ?x

+y-2=0, ?x=3, ? ? ∴
? ?x-2y-5=0, ? ? ?y=-1. ? ?x=3, ? ? ?y=-1. ?

题型四 方程中看错系数

【例4】 孔明同学在解方程组

?y=kx+b, ? ? ?y=-2x ?

的过程中, ?x=-1, ?
? ?y=2, ?

错把b看成了6,他其余的解题过程没有出 -11 错,解得此方程组的解为

又已知直线y=kx+b过点(3,1),则b的正确 值应该是______.

探究提高 看错方程组中哪个方程的系数,所得的 解既是方程组中看错系数方程的解,也 是方程组中没有看错系数的方程的解, 把解代入没有看错系数的方程中,构建 新的方程组,然后解方程组.

知能迁移4 已知方程组 方程①中x=5, ? ?
? ?y=4, ?

?ax+5y=15,① ? ? ?4x+by=-2,② ? ?x=-3, ? ? ? ?y=1,

甲看错了

的a,得到方程组的解

乙看错了方程②

16 ? 中的b,得到 ?x=- 3 , ?-x+5y=15, ? ? ? ? ?4x+10y=-2. ?y=29. ? 15 方程组的解 若按正确的a、b计算,则原

方程组的解

16 3

29 15

109 15

易错警示
4. 注意二元一次方程的解的意义 试题 方程组 -5( ) B.是这个方程
?3x-7y=0, ? ? ?x-2y+1=0 ?

的解,对方程2x-3y=

A.是这个方程的唯一解 的一个解

学生答案展示 解方程组
?3x-7y=0, ① ? ? ?x-2y+1=0, ② ?

由②得x=2y-1, ③
?x=-7, ? 把③代入①得,3(2y-1)-7y=0,y ? ?y=-3 ? =-3. ?x=-7, 把y=-3代入③得x=-7. ? ?



?y=-3 ?

是方程组的解.

剖析 本题上述解法中基本思路是正确的,但在下 结论时忽略了二元一次方程的解有无数个这 一重要性质.x=-7, ? ?

正解 由上述解法可知 一个解,选B.

? ?y=-3 ?

是方程2x-3y=-5的

批阅笔记 二元一次方程的解与二元一次方程组的解是

思想方法 感悟提高
方法与技巧 1. 解一元一次方程的一般步骤是:去分母; 去括号;移项;合并同类项;未知数的系 数化为1.一般说来,当去完括号的方程的 两边,各自有较多同类项可合并时,以先 合并再移项为宜,可减少出错.关于步骤 中“去分母”、“去括号”的先后,也应 视具体情况具体处理,不要一概而论.

2. 一元一次方程的解,是一个数.二元一次 方程的解,是一组两个数,因为它有两个 未知数.解二元一次方程组时,将两个方 程化简为ax+by=c(其中a、b、c是已知数, 并且ab≠0)的形式,但为了运算的方便,a、 b都宜化为整数,再应用代入消元法或加 减消元法进行计算. 3. 解分式方程必须检验,因为用各分母的最 简公分母乘方程的两边时,不能肯定所得 方程与原方程同解,如果未知

数的取值使 这个最简公分母不为零,则这个步骤符合

失误与防范 1.在解一元一次方程时,不能按步骤正确 变形;在解二元一次方程组时,不能选 择适当的消元方法有目的地进行变形, 导致过程繁琐. 2.在解一元一次方程时,经常用到两个相 乘:一是去分母时,方程两边同乘以分 母的最小公倍数;二是将分母化为整数 时,把分母、分子同乘以10n.这两个 “同乘以”有着本质的区别,不可混 淆.

3.无论用“代入法”还是“加减法”,在解 题变形时必须根据等式的性质进行变形,否 则就会出错,同时,解题中大家还应注意以 下几点: (1)解方程组时,应该给方程编号,以免混乱; (2)当某个未知数的系数为±1或常数项为0时, 宜用代入法; (3)除(2)所说的类型以外的方程组,一般都用 加减法来解.用加减法消元时,首先把方程 组整理成标准形式,然后将两个方程中同一 未知数的系数变成它们的最小公倍数,再用

完成考点跟踪训练 6


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