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2013年中考数学复习 第二章方程与不等式 第10课 不等式(组)的应用课件

发布时间:2013-09-19 10:32:17  

第10课 不等式(组)的应用

要点梳理
1. 列不等式(组)解应用题的一般步骤: (1) (2) 审题 设元 ; ; ;

(3)找出能够包含未知数的 不等量关系 (4) 列出不等式(组) ; (5) 求出不等式(组) ;

(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的未知数的值; (7)写出答案.

2.列不等式组解应用题应注意的问题: (1)一般情况下题目中的条件在列不等式时不能重复使用,要 仔细寻找题目中的隐含条件; (2)正确理解题目中的关键词语:如不足、不到、不大于、不 小于、不超过、至少等确切的含义; (3)在列不等式(组)解应用题中,有时会出现多个未知数,除

有不等量关系外,还有一些等量关系也要用到,这样的题目
有不等式、也有等式,就需要列混合式组来解答.在求混合 式组的解时,不需要求出混合式组中所有未知数的解,只需

要求出题目所需且符合题意的解,常用的方法是“代入消元
法”,转化为一元一次不等式(组).

[难点正本 疑点清源]
1. 正确掌握列不等式(组)解应用题的基本思想 列不等式(组)解决实际问题,就是根据问题中的不等关系列出不 等式(组),把实际问题转化成数学问题,再通过解不等式(组)得到 实际问题的答案.列一元一次不等式解应用题与列方程解应用题的 基本思路是一致的,一般可根据所求解的问题设未知数,关键是分 析题中各种数量的实际意义,列出正确的不等式.在解题的时候, 要注意不等号方向是否需要改变,所得的解是否符合实际意义,把 不合题意的解舍去.对于含有多种不等式的问题,可通过列不等式 组来解决.值得注意的是:解实际问题时,应根据实际意义,检验 结果的合理性,必要时,应在解集范围内取正整数.

2. 利用不等式(组)解决方案设计型问题 设计方案型应用题是考查学生的创新意识和创造性思维能力 的一种题型.这类问题常利用下列知识加以解决: (1)求不等式的正整数解; (2)求不等式组的正整数解,注意在分情况讨论过程中不要丢 解.

基础自测
1.(2011· 滨州)若二次根式 1+2x 有意义,则x的取值范围
为( C ) A.x≥ 1

2 1 2

B. x≤

1 2 1 2 1 2

C.x≥-

D.x≤-

解析:二次根式有意义,1+2x≥0, 2x≥-1,x≥- .

2.(2011· 黄石)双曲线y= 2k-1 的图象经过第二、四象限, x 则k的取值范围是( B ) A.k> 1

2 C.k=1 2
k< 1 .

B. k< 1

2

D.不存在

解析:双曲线的图象经过第二、四象限,可知2k-1<0,

2

3.(2011· 永州)某市打市话的收费标准是:每次3分钟以内(含3分
钟)收费0.2元,以后每分钟收费0.1元(不足1分钟按1分钟计). 某天小芳给同学打了一个6分钟的市话,所用电话费为0.5元. 小刚现准备给同学打

市话6分钟,他经过思考以后,决定先打 3分钟,挂断后再打3分钟,这样只需电话费0.4元.如果你想 给某同学打市话,准备通话10分钟,则你所需要的电话费至 少为( ) B A.0.6元 B.0.7元 C.0.8元 D.0.9元

解析:10=3×3+1,可以先打3分钟、挂断后打3分钟,挂断

后再打4分钟,所需电话费为3×0.2+0.1=0.7(元).

4.(2011· 杭州)若a+b=-2,且a≥2b,则( A. b有最小值 1 2 a C. a有最大值2 b B. b 有最大值1 a D. a 有最小值- 8 b 9

C)

解析:∵a+b=-2,a≥2b, ∴b<0,在a≥2b两边都除以b, 则 a ≤2,有最大值2. b

5.(2011· 乐山)已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限,

且与x轴交于点(2 , 0),则关于x的不等式a (x-1)-b>0的解集
为( ) A B.x>-1 C.x >1 D.x<1 A. x<-1

解析:把x=2,y=0代入y=ax+b,得2a+b=0,b=-2a. 又直线经过第一、二、四象限,可知a<0. 由a(x-1)>b,得a(x-1)>-2a,x-1<-2,x<-1.

题型分类 深度剖析
题型一 一元一次不等式的应用

【例 1】 某次知识竞赛共有20道选择题.对于每一道题,若答 对了,则得10分;若答错了或不答,则扣3分.请问至少要

答对几道题,总得分才不少于70分?
解:设答对x道题. 10x+(20-x)(-3)≥70, 10x-60+3x≥70, 13x≥130,x≥10. 答:至少要答对10道题.

探究提高 利用列不等式解决实际问题,其关键是根据题中的“超 过”、“不足”、“大于”、“小于”、“不低于”、“不 少于”等反映数量关系的词语,列出不等式或不等式组,问 题便迎刃而解.

知能迁移1

(1)亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机,

他现在已存有45元,计划从现在起以后每个月节省30元,直到 他至少有300元.设x个月后他至少有300元,则可以用于计算 所需要的月数x的不等式是( A.30x-45≥300 C.30x-45≤300

B )

B.30x+45≥300 D.30x+45≤300

(2)一本科普读物共98页,王力读了一周(7天)还没有读完,而

张勇不到一周就读完了.张勇平均每天比王力多读3页,王
力平均每天读多少页(答案取整数)? 解:设王力平均每天读x页,则张勇平均每天读(x+3)页.



?7x<98, ? ? ?7?x+3?>98, ?

?x<14, ? ? ?x>11, ?

∴11<x<14,整数x=12或x=13.

答:王力平均每天读12页或13页.

题型二

一元一次不等式组的应用

【例 2】 学校将若干间宿舍分配给八年级(1)班的女生住,已知该
班女生少于35人,若每个房间住5人,则剩下5人没处住;若每 个房间住8人,则空一间房,并且还有一间房也不满.有多少间

宿舍?多少名女生?
解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢! 解:设有x间宿舍,女生有(5x+5)人, [1分]

∴ ?5x+5<35

,① ? ? ?0<?5x+5?-8?x-2?<8,② 由①得x<6, 由②得4 1 <x<7, 3 1 <x<6. ∴4 3 整数x=5, 5x+5=30.
答:有5间宿舍,女生有30人.

?

[4分]
[5分]

[6分]
[7分] [8分]

探究提高 抓住表示不等关系的语句,列出不等式组,问题的答案要根 据解集和题意两方面来确定(隐含条件,实际问题取整数),要使 实际问题有意义.

知能迁移2

乘坐某市出租汽车,当行驶路程小于2千米时,乘车

费用都是4元(即起步价4元);当行驶路程大于或等于2千米时, 超过2千米部分每千米收费1.5元. (1)请你求出x≥2时乘车费用y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数 关系式; (2)按常规,乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入” 后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时, 应付车费10元),小红一次乘车后付了车费8元,请你确定小红这 次乘车路程x的范围. 解:(1)y=4+(x-2)×1.5=1.5x+1. ?1.5x+1≥7.5, 1 (2) ? 解之,得4 ≤x<5. ? 3 ? ?1.5x+1<8.5, 答:小红这次乘车路程x的范围是4 1 ≤x<5. 3

【例 3】 (2011· 茂名)某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2000只进
行饲养,已知甲种小鸡苗每只2元,乙种小鸡苗每只3元. (1)若购买这批小鸡苗共用了4 500元,求甲、乙两种小鸡苗各购买

了多少只?
(2)若购买这批小鸡苗的钱不超过4 700元,问应选购甲种小鸡苗至 少多少只?

(3)相关资料表明:甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%,
若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡的总费用最小,问 应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只?总费用最小是多少元?

解:设购买甲种小鸡苗x只,那么购买乙种小鸡苗为(2000-x)只.
(1)根据题意列方程,得2x+3(2000-x)=4500, 解这个方程得:x=1500(只),

2000-x=2000-1500=500(只),
即:购买甲种小鸡苗1500只,乙种小鸡苗500只. (2)根据题意得:2x+3(2000-x)≤4700, 解得:x≥1300, 即:选购甲种小鸡苗至少为1300只.

(3)由题意得:94%x+99%(2000-x)≥2000×96%,

解得:x≤1200,
设购买这批小鸡苗总费用为y元, 根据题意得:y=2x+3(2000-x)=-x+6000,

因为购买这批小鸡苗的总费用y随x增大而减小,
所以当x=1200时,总费用y最小,y=-1200+6000=4800(元), 乙种小鸡苗为:2000-1200=800(只), 即:购买甲种小鸡苗为1200只,乙种小鸡苗为800只时,总费用y 最小,最小为4800元.

探究提高
设计方案型应用题是考查学生的创新意识和创造性思维能力 的一种题型,这类问题常利用下列知识加以解决:

(1)求不等式的正整数解;
(2)求不等式组的正整数解. 注意在分情况讨论的过程中不要丢解,弄清在什么情况下取

得最值.


知能迁移3

(2011· 泉州)某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、
类别 进价(元/台) 售价(元/台) 冰箱 2320 2420 彩电 1900 1980

彩电的进价和售价如下表所示:

(1)按国家政策,农民购买“家电下乡”产品享受售价13%的政 府补贴.农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台,可以 享受多少元的补贴?

(2)为满足农民需求,商场决定用不超过85000元采购冰箱、彩
电共40台,且冰箱的数量不少于彩电数量的.若要使商场获利最 大,请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台?最大获

利是多少?

解:(1)(2420+1980)×13%=572(元). (2)①设冰箱采购x台,则彩电采购(40-x)台,根据题意得

?2320x+1900?40-x?≤85000, ? 解不等式组得18 2 ≤x≤21 .3 ? 5 11 7 ?x≥6?40-x?, ?
因为x为整数,所以x=19、20、21,
方案一:冰箱购买19台,彩电购买21台;

方案二:冰箱购买20台,彩电购买20台;
方案一:冰箱购买21台,彩电购买19台. 设商场获得总利润为y元,则 y=(2420-2320)x+(1980-1900)(40-x)=20x+3200. ∵20>0,∴y随x的增大而增大, ∴当x=21时,y最大=20×21+3200=3620(元).

【例 4】 (2011· 枣庄)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,
创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”,计划用 不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型

两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80
本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本, 人文类书籍60本.

(1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来;
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书 角的费用是570元,试说明(1)中哪种方案费用最低,最低费用是

多少元?

解:(1)设组建中型图书角x个,则组建小型图书角(30-x)个.
?80x+30?30-x?≤1900, 由题意,得 ? ?50x+60?30-x?≤1620. 解这个不等式组,得18≤x≤20.

由于x只能取整数,∴x的取值是18,19,20. 当x=18时,30-x=12;

当x=19时,30-x=11;
当x=20时,30-x=10. 故有三种组建方案:

方案一,中型图书角18个,小型图书角12个;
方案二,中型图书角19个,小型图书角11个; 方案三,中型图书角20个,小型图书角10个.

(2)方案一的费用是:860×18+570×12=22320(元);

方案二的费用是:860×19+570×11=22610(元);
方案三的费用是:860×20+570×10=22900(元). 故方案一费用最低,最低费用是22320元. 探究提高 本题运用一次不等式组求出解集,进而根据题意找出符合要 求的解(正整数),从而确定方案,并比较方案的优劣.

知能迁移4

(2012· 福州)郑老师想为希望小学四年级(3)班的

同学

购买学习用品,了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元, 用124元恰好可以买到3个书包和2本词典. (1)每个书包和每本词典的价格各是多少元? (2)郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用 品(一个书包或一本词典)后余下不少于100元且不超过120元的 钱购买体育用品,共有几种购买书包和词典的方案?

解:(1)设每个书包的价格是x元,每本词典的价格是y元.
?x=y+8, ?x=28, ? ∴? 解之得 ? ? ? ?y=20. ?3x+2y=124, ?

答:每个书包28元,每本词典20元. (2)设郑老师购买a个书包,则购买(40-a)本词典. 得100≤1000-[28a+20(40-a)]≤120,

解之,得10≤a≤12.5,有整数解10,11,12.
有三种方案:①购买10个书包,30本词典; ②购买11个书包,29本词典;

③购买12个书包,28本词典.

易错警示
6.不够全面分析问题中的等量、不等量关系

试题

某水库建有10个泄洪闸,现在水库的水位已经超过安全线,

上游河水还在按一不变的速度增加.为了防洪,需调节泄洪速 度,假设每个闸门泄洪的速度相同,经测算,若打开一个泄洪

闸,30小时水位可降至安全线;若打开两个泄洪闸,10个小时
水位可降至安全线.现在抗洪指挥部要求在3个小时内使水位降 至安全线以下,问至少要同时打开几个闸门?

学生答案展示

问题中水库原水量、上游河水的来水量,泄洪闸

的泄水量均不知,感到无从下手,没有办法解答.

剖析

若设水库已有超过安全线水位的水量x m3,上游河水以每小
?x+30y=3z, ? 即 ? ?x+10y=2×?10z?, ?
?x+30y=30z, ? 解得 ? ? ?x+10y=20z,
?x=15z, ? ? ?y=0.5z. ?

时y m3的水量注入水库,每个泄洪闸每小时泄洪z m3,按题意, 得

假设打开n个闸门,可在3小时内使水位降至安全线以下, 则有x+3y≤3zn. 将? ?
?x=15z, ?y=0.5z. ?

代入上式,得n≥5.5.

因为n为自然数,所以n≥6,即最少要同时打开6个闸门. 在这里,设每个泄洪闸每小时泄洪z m3,并用含z的代数式来表示 水库已超过安全线水位的水量,上游河水每小时的来水量,多设 一个量,可得到更多的等量、不等量关系.“设而不求”,可使 问题得以解决.

批阅笔记
利用不等式、方程解决实际问题中,在解题过程中审题要细 致,题中所求的未知量的特定意义要全部挖掘出来,增设辅助 未知数,给我们利用等量、不等量关系带来很大的便利,能起 到沟通数量关系,架起连接已知量和未知量的桥梁作用.

思想方法 感悟提高
方法与技巧 1. 能根据实际问题列出不等式组,通过求解不等式组而解决

实际问题;用转化思想将实际问题中

的不等关系抽象出来,用
不等式组的知识解答应用题和方案设计型试题. 2. 一方面注重对不等式组解法和与其它知识点联系的考查,

另一方面更注重对其与现实生活的联系,加强对解决简单实际
问题的数学考查.

失误与防范 1.利用列不等式解决实际问题,其关键是根据题中的“超过” “不足”“大于”“小于”“不低于”“不少于”等反映数量 关系的词语(特别要注意理解好生活和生产实际中“不超过”“至 少”的含义,这两者转化为相应的不等号应分别是“≤”和“≥”), 列出不等式(组),

迎刃而解.
2.根据文字叙述列一元一次不等式时,应认真读题,正确理解 文字的顺序,才能正确列出不等式.在利用不等式(组)解决实际问

题时,解题的关键是根据题中的条件列出不等式,因此,解题第一
步就是先找出题中不等式关系,然后解答,最后取值时应考虑到问 题的实际意义.

完成考点跟踪训练 10


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