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04-垂直于弦的直径(一)P64-68

发布时间:2013-09-19 10:32:17  

垂直于弦的直径(一)

教学目标

1.使学生理解圆的轴对称性,掌握垂径定理,并能应用它解决有关的计算和证明问题; 2.激发学生探索和发现问题的欲望,培养学生观察、分析、归纳的能力

3.向学生渗透“由特殊到一般,再由一般到特殊”的基本思想方法,并培养学生联系发展的辨证唯物主义观点。

教学重点和难点

垂径定理及其应用是重点;垂径定理的证明是难点。

A

£?O

B

教学过程设计

一、从特殊到一般提出问题

1.教师提问:什么叫弦?什么叫弧? 首先根据学生的回答,用电脑或投影演示图7-19,说出图C中的弦和弧(优弧、劣弧)。

进一步观察,图中每一条弦

?£O把圆分成两部分,是这条弦所对

的两条弧,并且电脑进一步演示弦经过圆心时,弦变成直径,弧D变成半圆的过程。(图7-20)

? 7£í-20

2.实验:引导学生亲自动

手折叠课前准备的圆心纸片,教师电脑演示一圆形沿着任一直线对折,两侧半圆的重合情况。(图7-21)

OE

全体师生共同分析,得出圆的一条基本性质:圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称

轴。

? 7£í-21

3.从特殊到一般提出猜想

投影显示两条直径相交到互相垂直的特殊情况,如图7-22。 学生观察图形特点,发现两个圆形C

B中的直径都是互相平分的,即AO=BO,

CO=DO,所不同的是图(1)是斜交,

图(2)是垂直。 A

由一名学生回答当两条直径互相垂直时(图2),直径CD的两侧相邻的两条弧是否相等。 学生观察回答: AD=BD,AC=BC。

?

? 7£í-19

O

O

F

C

B

? 7£í-22

???

1

接着再观察,若把直径AB向下平移,变成非直径的弦如 图7-23时,直径CD两侧相邻的两条弧是否相等? 学生通过观察,猜想出上述结论依然成立,即AD=BD,

?

?

O

AC=BC。

??

继续引导学生观察。在图7-23中,还有相等的关系吗?

? 7£í-23请一名中等生答出AE=BE。

最后,教师再用电脑或投影演示图7-22中沿着直径CD折

叠,这条特殊的直径两侧的图形重合的情况,进一步观察验证上述猜想,并给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。(教师板书课题)

二、证明猜想,形成垂径定理

1.猜想是否正确,要加以证明。启发学生根据图7-23,写出已知,求证,分析证明思路,然后阅读课本的证明过程。

当大部分学生看懂证明思路后,由学习较好的学生在黑板上写出证明过程。 结合证明过程提问:

C

(1)课本上的证明利用乐圆的什么性质? (2)证明AE=BE还有其它方法吗?

(3)证明AD=BD,AC=BC,根据是什么? 在学生回答的基础上,教师指出:(1)此命题的证明主要利用了圆的轴对称性;证明AE=BE还可以利用等腰△OAB三线合一的性质来证(图7-24);AD=BD,AC=BC是根

?

?

?

?

????

? 7£í-24

据等弧的定义。

教师将学生自己归纳的定理内容写在黑板的显著位置上,指出这个定理叫做垂径定理。 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。

2.分析定理的条件和结论,引导学生说出定理的几何语言表达形式(结合图7-24):

CD是直径 AE=BE

(CD过圆心) ? AC=BC CD?AB AD=BD

3.运用反例和变式图形,揭示定理的本质属性。

看下列图形,能否使用垂径定理?为什么?(图7-25)

?

?

?

?

C£?O¨1££?

¨2££?O

O

¨3££?

? 7£í-25

B

O

¨4££?

学生回答后,教师强调:定理中的两个条件缺一不可。

2

三、应用举例,变式练习

例1 如图7-26,已知在⊙O中,弦AB的长为8厘米,AEB圆心O到AB的距离为3厘米,求⊙O的半径。

分析:由题设可作出OE?AB,垂足为E,要求⊙O的半

径,自然想到要连结OA(或OB)。

解:由学生口述解题方法和解题过程,教师板书。

解后提出问题。 ? 7£í-26(1)如图7-26,若OA=10厘米,OE=6厘米,求弦

AB的长。

(2)如图7-26,若圆心到弦的距离用d表示,半径用R表示,弦长用a表示,这三者之间有怎样的关系式?

第(1)个问题结合例1思考,学生较易得出结论。

第(2)个问题有了前面两问做铺垫,启发学生把垂径定理和勾股定理合并考虑,这样就把问题转化为解直角三角形的问题,于是得出:

R=(2a22)+d 2

£?OB据此,在a,R,d三个量中,知道任何两个量就可求出第A三个量。 变式1 如图7-27若以O为圆心再画一个圆交弦AB于C,

D,则AC与BD间可能存在什么关系?(投影显示)

引导学生作出判断后再思考证法。

估计学生会考虑到以下两种证法,此时教师可有意识引导

学生进行讨论。(图7-28)

最后通过比较择优,突出“过圆心作弦的垂线段”这条辅

助线的重要性和应用垂径定理的优越性。 ? 7£í-27

AA? 7£í-28

¨2££?? 7£í-29

变式2 如图7-29,若将AB向下平移,当移到过

圆心时,结论AC=BD还成立吗?

属特殊情况,学生易证得AC=BD。

变式3 将图7-29变成图7-30后,则有EA=

______,EC=______。试证明之。 ?£分析:只要将小圆隐去,问题转化成变式1,于OEDF是有EA=FB;同理只要将中圆隐去,问题也转化成

变式1,有EC=FD。

变式4 在图7-27中,将大圆隐去,连结OA,

OB,得图7-31,设AO=BO,求证AC=BD。 ? 7£í-30 3 O

变式5 在图7-27中,连结OC,OD,将小圆隐去,得图77-32,设OC=OD,求证AC=BD。

? 7£í-31?£O? 7£í-33? 7£í-32

引导学生分析思考,得出解决这类题的关键在于利用垂径

定理,由圆心O引弦AB的垂线段,最后请两名学生上黑板板演证明过程。

变式6 如图7-33,当弦AB移到与小圆只有一个交点时,AC与BC相等吗? 指出:这个问题我们今后将会学到,有兴趣的同学可在课后预习一下。

四、师生共同小结

问:这节课我们学习了哪些主要内容?学习了哪些基本观点和方法?应用垂径定理要注意哪些问题?

学生回答的基础上教师归纳:

1.投影打出垂径定理的基本图形。(图7-34)

然后指出,本节课主要学习了(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理。

2.有关弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形,便将问题转化为解直角三角形的问题。

3.垂径定理的证明,是通过“实验——观察——猜想——证明”实现的,体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点,定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法。

AB

O? 7£í-34五、布置作业

1.课本P82~84.习题7.1.A组11,12 。B组2。

2.利用:

(1)CD是直径 (3)AE=BE

? (4)AC

=BC

(2)CD?AB 5)AD=BD

提出问题: ????

4

(i)把(1)和(3)互换,命题成立吗?

(ii)把(2)和(3)互换,命题成立吗?

(iii)把(2)和(4)互换,命题成立吗?

提出问题,给学生留有思考的余地,为学习垂径定理的推论作准备。

板书设计

课堂教学设计说明

这份教案为1课时

垂径定理是本节课的重点也是难点,其难在定理的证明方法上,因为这一定理的证明是利用圆的轴对称性来证明的,为了更好地达到教学目标,在教学中要尽量借助教具、学具等,增强知识的直观性,使学生形象地理解圆是轴对称图形,再由轴对称发现新结论,从而得到垂径定理,这样可以培养学生的教学直观能力,启迪学生的探索灵感。

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